Конечные гармонические ряды Фурье

Другим часто используемым подходом моделирования реализации процесса является использование тригонометрических полиномов или конечных гармонических рядов Фурье [24, 25, 10, 26, 19, 27, 28, 29]. Так, моделирование стандартной составляющей суточного графика нагрузки [19, 27, 29] осуществляют в виде

, (4.2)

где – коэффициенты разложения Фурье , определяемые по известным формулам [30, 31, 32] и представляющие 2m+1 параметр модели; – частоты основной и высших гармоник анализируемой реализации процесса. Число гармонических слагаемых m для радиоэлектронных систем, как правило, выбирается равным 8 – 10 и более [19, 29].

Моделирование составляющей реализации горнодобывающего предприятия моделью (4.2) осуществляется с погрешностью не более 3,5 %, если m = 8 при числе точек графика n = 48 и частотах [19].

Зачастую в форме (4.2) реализуют модель последовательной совокупности графиков за месяц [24] или неделю [26, 27]. Так в энергосистеме Сан-Диего отдельно моделируются в виде (4.2) 5 рабочих суток недели и отдельно двухдневный период выходных дней [27]. При этом m = 9 и выбираются гармоники с номерами: для рабочих суток , для выходных .

При моделировании месячной выборки реализации процесса (720 часов) реализуется гармоническая модель, несколько отличная от (4.2), с мультипликативным наложением гармонических составляющих [24]

, (4.3)

где – столбец коэффициентов модели, определяемый по предыстории; – столбец координатных гармонических функций, определяемых как слагаемые произведения после раскрытия скобок выражения

где T₁=30 сут. =720 ч; T₂=7 сут. =168 ч; T₃=1 сут. =24 ч.

Таким образом, столбец содержит 54 координатные функции

.

По утверждению из [24], такая модель (4.3) за счет мультипликативного наложения позволяет учесть зависимость амплитуд колебаний друг от друга и от линейной тенденции (т.е. в терминах планирования эксперимента [66] все взаимодействия колебательных факторов и фактора роста).

Коэффициенты модели (4.3) определяются на основе метода экспоненциального сглаживания в результате минимизации суммы по предыстории [41]

.

Коэффициент определяет скорость забывания устаревшей информации из предыстории в модели.

Такое определение коэффициентов может быть сведено [41] к решению системы линейных алгебраических уравнений. Однако эта система, как правило, плохо обусловленная и требует применения при решении методов регуляризации по Тихонову [42]. Применение формулы (4.3) вместо (4.2) не приводит к резкому повышению точности и поэтому целесообразность ее применения должна определяться в соответствии с конкретной задачей.

Неудобством использования рядов Фурье при построении динамических моделей анализируемых реализаций является изменяющееся распределение составляющих сигнала по частотным составляющим, что приводит к построению моделей не всегда минимально возможной размерности.

Задача суммирования ряда Фурье также относится к некорректным плохо обусловленным задачам [26, 42]. Приближенное решение задачи суммирования ряда Фурье путем усечения бесконечного ряда является L-неустойчивым [42], т.е. ее число обусловленности является логарифмической функцией размерности .

Поэтому естественно при построении модели реализации на основе аппарата ряда Фурье использовать и известный арсенал приемов регуляризации:

1) Выбор требуемого оптимального шага дискретизации процесса, так как эта процедура обладает регуляризирующим и стабилизирующим свойством, называемым саморегуляризацией [43]. Увеличение шага ведет к регуляризирующему эффекту, но одновременно к снижению точности модели и наоборот.

2) Выбор минимальной требуемой размерности задачи, т.е. минимально возможного числа слагаемых в конечной сумме (4.2). При этом суммируются только те члены ряда Фурье, коэффициенты которых превышают уровень их погрешности [44], т.е. чем больше погрешность исходных данных, тем проще, грубее, агрегированнее должна быть математическая модель. Этот способ регуляризации путем усечения ряда Фурье идейно близок к подавлению шумов (фильтрации) в радиотехнике.

3) Введение стабилизирующих множителей (весов) при суммировании ряда по ортогональным функциям. Например, по Тихонову предлагается [67]

, , , , .

В случае прогнозирования суммарной нагрузки радиоэлектронной системы предлагается следующий метод выбора весов [26, 42]:

,

где – дисперсия коэффициентов Фурье; – математическое ожидание коэффициента Фурье.

В связи с вышеуказанным при использовании в качестве моделей конечных рядов Фурье актуальными остаются задачи: выбора частоты дискретизации моделируемых процессов; построения агрегированных регуляризированных интерполяционных моделей на основе гармонического представления процессов, позволяющих фильтровать, восстанавливать процесс и путем простых процедур осуществлять идентификацию.