Принципиальная схема динамического баланса

Производя-щие отрасли	Потребляющие отрасли
Межотраслевые потоки текущих затрат	Межотраслевые потоки капитальных вложений	Конечный продукт	Валовый продукт
		…	n			…	n
			…				…
			…				…
…	.	.	…	.	.	.	…	.	.	.
n			…				…

Модель содержит две матрицы межотраслевых потоков. Матрица текущих производственных затрат с элементами совпадает с соответствующей матрицей статического баланса.

Элементы второй матрицы показывают, какое количество продукции i-й отрасли направлено в текущем периоде в j-ю отрасль в качестве производственных капитальных вложений в ее основные фонды. Материально это выражается в приросте в потребляющих отраслях производственного оборудования, сооружений, производственных площадей, транспортных средств и др.

В статическом балансе потоки капиталовложений не дифференцируются по отраслям-потребителям и отражаются общей величиной в составе конечной продукции каждой i-й отрасли. В динамической схеме конечный продукт включает продукцию i-й отрасли, идущую в личное и общественное потребление, накопление непроизводственной сферы, прирост оборотных фондов, незавершенного строительства,

на экспорт. Таким образом, сумма потоков капиталовложений и конечного продукта динамической модели равна конечной продукции статического баланса:

,

поэтому уравнение распределения продукции вида (3.2) в динамическом балансе преобразуется в следующее:

(3.27)

Межотраслевые потоки текущих затрат можно выразить, как в статической модели, через валовую продукцию отраслей с помощью коэффициентов прямых материальных затрат:

.

В отличие от потоков текущих затрат межотраслевые потоки капитальных вложений связаны не со всей величиной выпуска продукции, а обусловливают прирост продукции; причем в рассматриваемой модели предполагается, что прирост продукции текущего периода обусловлен вложениями, произведенными в этом же периоде. Если текущий период обозначить через t,то прирост продукции равен разности абсолютных уровней производства в период tи в предшествующий (t-1)-й период:

Полагая, что прирост продукции пропорционален приросту производственных фондов, можно записать:

. (3.28)

Рассмотрим в равенстве (3.28) коэффициенты пропорциональности . Поскольку

,

то экономический смысл этих коэффициентов заключается в том, что они показывают, какое количество продукции i-й отрасли должно быть вложено в j-ю отрасль для увеличения производственной мощности j-й отрасли на единицу продукции. Предполагается, что производственные мощности используются полностью и прирост продукции равен приросту мощности. Коэффициенты называются коэффициентами

вложений, или коэффициентами приростной фондоемкости.

С помощью коэффициентов прямых материальных затрат и коэффициентов вложений систему уравнений (3.27) можно представить в следующем виде:

. (3.29)

Система (3.29) представляет собой систему линейных разностных уравнений первого порядка. Ее можно привести к обычной системе линейных уравнений, если учесть, что все объемы валовой и конечной продукции относятся к некоторому периоду t, а прирост валовой продукции определен в сравнении с (t-1)-м периодом:

.

Отсюда можно записать следующие соотношения:

. (3.30)

Пусть нам известны уровни валовой продукции всех отраслей в предыдущем периоде (величины ) и конечный продукт отраслей в t-мпериоде. Тогда очевидно, что соотношения (3.30) представляют собой систему nлинейных уравнений с nнеизвестными уровнями производства t-гопериода. Таким образом, решение динамической системы линейных уравнений позволяет определить выпуск продукции в последующем периоде в зависимости от уровня, достигнутого в предыдущем периоде. Связь между периодами устанавливается через коэффициенты вложений , характеризующие фондоемкость единицы прироста продукции.

Переходя от дискретного анализа к непрерывному, вместо (3.27) будем иметь:

.

Выражение (3.28) в пределе дает:

.

Окончательно для случая непрерывных изменений получим следующую систему соотношений:

. (3.31)

Соотношения (3.31) представляют собой систему nлинейных дифференциальных уравнений первого порядка с постоянными коэффициентами. Для ее решения помимо матриц коэффициентов прямых материальных текущих затрат и коэффициентов капитальных затрат (вложений) необходимо знать уровни валового выпуска в начальный момент времени t=0 и закон изменения величины конечного продукта, т.е. вид функций . . На основе этих данных путем решения получившейся задачи Коши для системы дифференциальных уравнений (3.31) можно найти уровни валового выпуска теоретически для любого момента времени. Практически же более или менее достоверное описание валовых и конечных выпусков как функций времени может быть получено лишь для относительно небольших промежутков времени.

В динамической модели особую роль играют коэффициенты приростной фондоемкости . Они образуют квадратную матрицу n-го порядка

,

каждый столбец которой характеризует для соответствующей j-й отрасли величину и структуру фондов, необходимых для увеличения на единицу ее производственной мощности (выпуска продукции). Матрица коэффициентов приростной фондоемкости дает значительный материал для экономического анализа и планирования капитальных вложений.

Коэффициенты приростной фондоемкости определенным образом связаны с валовыми коэффициентами прямой фондоемкости продукции , рассмотренными в предыдущем параграфе. Коэффициенты показывают, сколько всего фондов данного вида приходится на единицу валового выпуска продукции, а коэффициенты отражают прирост фондов на единицу прироста продукции. Если бы технический прогресс в отраслях производства отсутствовал, то на единицу прироста продукции потребовалось бы столько же новых фондов, сколько их уже занято на единицу выпускаемой продукции, т.е. коэффициенты приростной фондоемкости и валовой прямой фондоемкости были бы равны между собой. Так как новые капитальные вложения производятся на новом более высоком техническом уровне по сравнению с объемом и структурой действующих фондов, то на практике коэффициенты приростной

фондоемкости и коэффициенты прямой фондоемкости различаются по величине. Однако между этими двумя группами коэффициентов существует вполне определенная связь, и это используется при разработке динамических моделей, особенно в связи с тем, что достоверные данные о фондоемкости продукции получить легче, чем непосредственно рассчитать коэффициенты вложений.

Кроме коэффициентов прямой фондоемкости коэффициенты вложений связаны с другими показателями, например с соответствующими коэффициентами текущих затрат, отражающими износ основных фондов и равными амортизации, приходящейся на единицу продукции.

В рассмотренной динамической модели межотраслевого баланса предполагается, что прирост продукции текущего периода обусловлен капиталовложениями, произведенными в этом же периоде. Для сравнительно коротких периодов это предположение может оказаться нереальным, так как существуют известные, иногда довольно значительные отставания во времени (так называемые временные лаги) между вложением средств в производственные фонды и приростом выпуска продукции. Модели, так или иначе учитывающие лаг капитальных вложений, образуют особую группу динамических моделей межотраслевого баланса. Из теоретических моделей данного типа следует назвать прежде всего линейную динамическую межотраслевую модель Леоньтева, в которой капитальные вложения представлены в виде так называемого инвестиционного блока в форме Леонтьева. Математическим обобщением этой и ряда других динамических моделей является динамическая модель в матричной форме Неймана, основанная на математической теории равномерного пропорционального роста экономики (так называемая магистральная теория).

Вопросы и задания

1. В чем суть балансового метода исследования социально-экономических систем?

2. Поясните принципиальную схему межотраслевого баланса и раскройте экономическое содержание ее разделов.

3. Опишите экономико-математическую модель статического межотраслевого баланса и поясните экономический смысл входящих в нее элементов.

4. Дайте определение коэффициентов прямых и полных материальных затрат и укажите способы их вычисления.

5. Поясните понятие продуктивности матрицы коэффициентов прямых материальных затрат.

6. Раскройте экономический смысл коэффициентов прямой и полной трудоемкости и дайте описание экономико-математической модели межотраслевого баланса затрат труда.

7. В чем заключается экономическое содержание коэффициентов прямой и полной фондоемкости? Поясните порядок их расчета на основе экономико-математической модели МОБ.

8. Раскройте содержательный смысл принципиальной схемы динамического межотраслевого баланса. Дайте характеристику динамической межотраслевой балансовой модели.

Задачи

1. На основании данных, приведенных в нижеследующих таблицах, рассчитать коэффициенты прямых и полных материальных затрат.

а)

Отрасль	Прямые межотраслевые потоки	Конечный продукт

б)

Отрасль	Прямые межотраслевые потоки	Конечный продукт

в)

Отрасль	Прямые межотраслевые потоки	Конечный продукт

2. В таблицах приведены коэффициенты прямых материальных затрат и объемы конечной продукции в межотраслевом балансе для трех отраслей:

а)

Отрасль	Коэффициент прямых затрат	Конечный продукт
	0,2	0,2	0,1
	0,5	0,3	0,2
	0,2	0,2	0,4

б)

Отрасль	Коэффициент прямых затрат	Конечный продукт
	0,3	0,4	0,2
	0,2	0,1	0,3
	0,1	0,5	0,2

Требуется:

1) проверить продуктивность матрицы коэффициентов прямых затрат;

2) рассчитать коэффициенты полных материальных затрат;

3) найти объемы валовой продукции отраслей.

3. На основе данных таблиц в задаче 2 восстановить схемы межотраслевого материального баланса.

Рекомендуемая литература

1. Бережная Е.В., Бережной В.И. Математические методы моделирования экономических систем: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2001.

2. Федосеев В.В., Гармаш А.Н., Дайитбегов Д.М. Экономико- математические методы и прикладные модели: Учеб. пособие. - М.: ЮНИТИ, 1999.

3. Фомин Г. П. Методы и модели линейного программирования в

коммерческой деятельности: Учеб. пособие. - М.: Финансы и статистика, 2000.

4. Фомин Г. П. Модели выбора решений в коммерческих операциях. - М.: МГУК, 1996.

5. Фомин Г. П. Математические методы и модели в коммерческой деятельности: Учебник. – М.: Финансы и статистика, 2004.

6. Хазанова Л.Э., Математическое моделирование в экономике: Учеб. пособие. - М.: БЕК, 1998.