С теориями количественной и порядковой полезности

Если потребитель предпочитает набор потребительскому набору и из этих наборов обязательно выберет набор , то говорят, что на потребительских наборах и задано отношение сильного предпочтения или . Отношение предпочтения не обладает свойством рефлексивности .

Если потребителю все равно, какой из двух наборов выбирать или , то говорят, что на потребительских наборах и задано отношение безразличия, т.е. ̴ . Отношение безразличия есть отношение эквивалентности, обладающее свойством рефлексивности ̴ , симметричности ̴ ̴ и транзитивности ̴ ̴ ̴ .

Если потребительский набор предпочитается или безразличен для набора , то говорят, что на потребительских наборах и задано отношение предпочтения-безразличия, т.е. ( ). Отношение предпочтения-безразличия представляет собой отношение порядка, т.е. такое бинарное отношение, которое обладает свойствами рефлексивности , антисимметричности ̴ , транзитивности . Функция полезности задает отношение предпочтения-безразличия следующим образом: . Или ̴ , .

Карта линий безразличия задает отношение предпочтения-безразличия следующим образом: если потребительский набор находится на линии безразличия , расположенной выше и правее линии , на которой находится набор , то . Если наборы находятся на одной кривой безразличия, то ̴ . Имеется отношение предпочтения-безразличия, так называемое лексикографическое упорядочение, для которого не существует функции полезности. Таким образом, кроме количественной и порядковой теории полезности теория отношения предпочтения-безразличия представляет собой более общую теорию потребительского поведения.

Отношение предпочтения-безразличия обладает свойством полноты. Свойство полноты означает, что множество всех потребительских наборов таких, что , является вполне упорядоченным множеством по отношению предпочтения-безразличия . По отношению , которое для -мерных векторов понимается как покоординатное, множество потребительских наборов является только частично упорядоченным множеством.

Множество всех потребительских наборов , предпочитаемых или безразличных набору , называется хорошим множеством для набора , т.е. .

Множество всех потребительских наборов , которым набор предпочитается или безразличен, называется плохим множеством для набора , т.е. .

Множество всех потребительских наборов , безразличных набору , называется множеством безразличия для набора , т.е. ̴ .

Неравенство для -мерных векторов и понимается покоординатно , неравенство означает, что справедливо неравенство и хотя бы для одной координаты справедливо строгое неравенство .

Свойство ненасыщаемости означает, что из следует, что , рис. 4.1. Обратное , очевидно, не имеет места. На рис. 4.1. , однако неверно, что , ибо для них . Свойство ненасыщаемости справедливо не всегда (кривые безразличия в таком случае напоминают классическую кривую предложения с положительным наклоном).

Отношение предпочтения-безразличия обладает свойством непрерывности множеств безразличия , строгой выпуклости для любого потребительского набора, гладкости функции полезности, если функция полезности включается в рассмотрение.

Отношение на множестве потребительских наборов называется отношением предпочтения-безразличия, если для него характерны восемь свойств: рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, полноты, ненасыщаемости, непрерывности, строгой выпуклости и гладкости функции полезности.

Отношение предпочтения-безразличия и функция полезности.Отношение предпочтения-безразличия, для которого выполняются названные выше свойства, кроме строгой выпуклости и гладкости функции полезности, однозначно определяет функцию полезности . В случае в каждой точке кривой безразличия функция полезности принимает конкретное значение. Поэтому и множество значений полезности непрерывно. Непрерывность означает, что если , то ; или наоборот, если , то . Доказательство не приводится.

Лексикографическое упорядочение -мерных векторов аналогично упорядочению студентов группы по алфавиту: Александров, Белоусов, Васильев и т.д. Если , то вектор лексикографически предпочитается вектору , что записывается так: . Если и ,то и т.д.

Лексикографическое упорядочение обладает свойствами рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, полноты, ненасыщаемости. Однако оно не удовлетворяет предположению о непрерывности. Это утверждение приводится без доказательства. Для лексикографического упорядочения не существует функции полезности. Положение приводится без доказательства.

Заключение по разделу

Измерение благосостояния потребителя можно измерить маршаллианским потребительским избытком. Однако более точное его измерение обеспечивается компенсирующей и эквивалентной вариацией дохода. Их исчисление позволяет более точно определить, в какой мере обеспечено повышение благосостояния пенсионеров, например, после очередного повышения пенсий с 1 августа 2008 года при известных темпах инфляции, измеренной по индексу потребительских цен за семь месяцев с начала года.

Теория отношения предпочтения-безразличия расширяет рамки представлений о предпочтениях потребителя и является исходной предпосылкой для глубокого анализа концепции выявленных предпочтений.

Проектное заданиесостоит в том, чтобына основе лекций преподавателя и рекомендуемой литературы раскрыть содержание маршаллианского потребительского избытка, его измерение и показать, почему он не является точной мерой изменения благосостояния потребителя. При изменении цен изменение благосостояния измеряется компенсирующей и эквивалентной вариацией дохода, позволяющей точно определять величину компенсации, которую необходимо выплатить пенсионеру, другим категориям потребителей в условиях инфляции так, чтобы их благосостояние не изменилось, а если изменилось, то определить, в какой степени изменилось. Определение отношений предпочтения, безразличия и предпочтения-безразличия, их свойств и связи с функцией полезности используется для углубленного понимания поведения потребителя в концепции выявленных предпочтений.

Контрольные вопросы

1. Почему показатель изменения потребительского излишка в результате изменения цены товара не точно измеряет изменение благосостояния потребителя?

2. В каких случаях компенсирующая вариация дохода больше изменения потребительского избытка?

3. В каких случаях равны компенсирующая вариация дохода, эквивалентная вариация дохода и изменение потребительского избытка?

4. В каких случаях при изменении цены чистый эффект цены равен нулю?

5. В каких случаях целесообразно для измерения изменений выгоды потребителя использовать показатель компенсирующей вариации дохода, а в каких показатель эквивалентной вариации дохода?

6. Выделите компенсирующую и эквивалентную вариацию дохода, используя определение реального дохода по Е. Слуцкому. Учитывают ли такие показатели эффект изменения потребления?

7. Что представляет собой отношение предпочтения-безразличия, задаваемое функцией полезности?

8. Что собой представляет отношение эквивалентности, отношение порядка?

9. Определите свойства отношения предпочтения-безразличия такие как рефлексивность, антисимметричность, транзитивность, полнота, ненасыщаемость, гладкость, непрерывность, выпуклость.

10. Что собой представляют «хорошее», «плохое» множество и множество безразличия в пространстве потребительских наборов?

11. Что такое лексикографическое упорядочение? Показать, что такое упорядочение – пример отношения предпочтения-безразличия.

12. Как строится функция полезности для отношения предпочтения-безразличия, обладающего свойством непрерывности?

13. Поясните связь лексикографического упорядочения и функции полезности.

Задание рубежного контроля

1. Поясните, при каких условиях показатели изменений выгоды потребителя – изменение маршаллианского потребительского излишка, компенсирующей и эквивалентной вариации дохода равны.

2. Поясните ситуации, в которых . Как изменяется цена товара в каждом случае и каким благом он является?

3. Эффект изменения потребления достигнут исключительно за счет эффекта замещения. Как был достигнут такой результат?

4. При каком условии чистый эффект изменения цены превышает величину потребительского излишка?

5. Как изменяется благосостояние потребителя, если повышение цены товара сопровождается ростом номинального дохода потребителя на величину эквивалентной вариации дохода?

6. Задана функция полезности потребителя . Доход равен руб., цены товаров руб. Цена товара снизилась вдвое. Определите .

7. Функция полезности потребителя имеет вид , где - композитный товар, т.е. расходы на все остальные товары кроме товара . Доход потребителя руб., руб. Определите , если цена товара снижается до 40 руб. На какую величину изменяется под влиянием чистого эффекта цены, эффекта дохода и эффекта замещения?

8. Иванов заправляет автомобиль на бензоколонках фирмы «Альфа». Его функция полезности , где - бензин, а - расходы на все остальные товары. Месячный доход Иванова составляет руб. Фирма объявляет о повышении цены на бензин в 2 раза. Постоянным клиентам предлагается приобрести абонемент за 310 руб., предоставляющий право покупать бензин по прежней цене. Возникает ряд вопросов. Покупать или не покупать абонемент? Если фирма снизит абонементную плату до 280 руб. в месяц, как поступить в таком случае – покупать абонемент или не покупать. Сколько бензина купил бы Иванов, если бы абонементная плата составила бы 200 руб.?

9. Докажите утверждения:

- отношение безразличия есть отношение эквивалентности;

- отношение предпочтения-безразличия есть отношение порядка.

10. Приведите пример функции полезности, для которой не выполняется свойство ненасыщаемости.

11. Расположите в порядке возрастания общности теории – теорию количественной полезности, теорию порядковой полезности и теорию предпочтения-безразличия.

12. Какими свойствами обладает отношение предпочтения (рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, ненасыщаемости, полноты)? Обоснуйте ответ.

13. Какими свойствами обладает отношение безразличия (рефлексивности, антисимметричности, транзитивности, ненасыщаемости, полноты)? Обоснуйте ответ.

14. Что собой представляет множество безразличия, рассматриваемое в его связи с хорошим и плохим множествами?

15. Охарактеризуйте множество лексикографического упорядочения.

16. Докажите, что для лексикографического упорядочения функции спроса на первый продукт при не существует.

Литература

Аллен Р. Математическая экономия. М.: ИЛ. 1963.

Вехи экономической мысли. Теория потребительского поведения и спроса. Т. 1. / Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа . 2000.

Замков О.О., Толстопятенко А.В.,Черемных Ю.Н. Математические методы в экономике. М.: ДИС. 2001.

Интрилигатор М. Математические методы оптимизации и экономическая теория. М.: АЙРИС ПРЕСС. 2002.

Малыхин В.И. Математическое моделирование экономики. М.: УРАО. 1998.

Теория потребительского поведения и спроса. Под ред. В.М. Гальперина. СПб.: Экономическая школа. 1993.

Самуэльсон П. А. Основания экономического анализа. СПб.: 2002.

Хикс Джон Р. Стоимость и капитал. М.: Издательская группа «Прогресс», 1993.

Чеканский А.Н., Фролова Н.Л. Микроэкономика. Промежуточный уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2005.

Черемных Ю. Н. Микроэкономика. Продвинутый уровень. Учебник. М.: ИНФРА-М. 2008.