Модели различных портфелей ценных бумаг

Современная практика показывает, что однородный по содержанию портфель не обеспечивает стабильной доходности держателю портфеля. Вот почему более распространен диверсифицированный портфель, т. е. портфель с самыми разнообразными ценными бумагами.
Нынешнее состояние финансового рынка заставляет быстро и адекватно реагировать на его изменения, поэтому роль управления инвестиционным портфелем резко возрастает и заключается в наxождении той грани между ликвидностью, доходностью и рискованностью, которая позволила бы выбрать оптимальную структуру портфеля. Этой цели служат различные модели.
2.1. Модель Марковитца.Основная идея модели Марковица заключается в том, чтобы статистически

рассматривать будущий доход, приносимый финансовым инструментом, как

случайную переменную, т.е. доходы по отдельным инвестиционным объектам

случайно изменяются в некоторых пределах. Тогда, если неким образом

определить по каждому инвестиционному объекту вполне определенные вероятности

наступления, можно получить распределение вероятностей получения дохода по

каждой альтернативе вложения средств. Для упрощения модель Марковица

полагает, что доходы по альтернативам инвестирования распределены нормально.

По модели Марковица определяются показатели, характеризующие объем инвестиций

и риск, что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения

капитала с точки зрения поставленных целей и тем самым создать масштаб для

оценки различных комбинаций. В качестве масштаба ожидаемого дохода из ряда

возможных доходов на практике используют наиболее вероятное значение, которое

в случае нормального распределения совпадает с математическим ожиданием.

Имеется некоторый рынок активов. Совокупность активов, орошающихся на рынке,

обозначим через А. Отдельный актив будем обозначать строчной буквой а.

Мы можем перенумеровать активы:

и вместо символа актива использовать его номер (индекс).

Множество всевозможных состояний рынка мы обозначим через S, а отдельное

состояние будем обозначать строчной буквой j или буквой с индексом

и т.п.

Множество состояний может быть в принципе любым, в том числе и бес конечным.

Однако для упрощения изложения мы будем считать его конечным.

Каждому состоянию s припишем некоторую вероятность — неотрицательное число

р(s). При этом будем считать выполнимым следующее условие:

т. е. сумма вероятностей всех состояний равна 1.

На языке теории вероятностей это означает, что пара <S, р>, состоящая из

множества S и вероятностей меры p, образует дискретное вероятностное

пространство. Мера p дает вероятности лишь отдельных (элементарных) состояний.

Ее можно продолжить на произвольные множества состояний.

Так, для любого можно определить:

Смысл этого равенства заключается в следующем. Для каждого подмножества

состояний тот факт, что текущее состояние рынка принадлежит этому

подмножеству, означает некоторое «событие». Приведенная формула определяет

вероятность этого события через вероятность «элементарных событий», т. е.

отдельных состояний. Заметим, что если A=Æ, т. е. событие А —

«невозможное», то его вероятность равна 0. С другой стороны, «событие» S— или

«достоверное» событие — обладает вероятностью 1.

События А и В называются независимыми, если

Здесь обозначает

событие, состоящее в одновременном наступлении события А и В

(их пересечение на теоретико-множественном языке).

Построение вероятностного пространства <S, Р>, где Р —

вероятная мера, определенная на произвольных множествах событий, — первый этап

в построении вероятностной модели рынка. Следующим этапом является формализация

понятия доходности и риска.

В модели Марковица это делается следующим образом. Каждому активу a

ставится в соответствие случайная величина

, представляющая доходность этого актива для выбранного инвестиционного

горизонта Т. Ее конкретное значение или реализация — это значение доходности

, которое инвестор может вычислить по прошествии инвестиционного периода.

Формально случайная величина определяется как функция, определенная на

пространстве состояний. В современных обозначениях это можно записать как:

R - множество вещественных чисел.

Более традиционная запись имеет вид:

.

На практике редко используется описание случайной величины исходя из ее

формального определения. Чаще прибегают к такой важной ее характеристике, как

ее распределение. Распределение для дискретной (т.е., принимающей

конечное число значений) случайной величины строится следующим образом. Сначала

перечисляются всевозможные ее значения:

а затем для каждого из этих значений ( ) определяется его вероятность:

.

Таким образом, распределение дискретной случайной величины можно задать

таблицей вида:

Таблица 1

Значения: r	.
Вероятность: p	.

С точки зрения теории вероятностей в распределении содержится «вся»

необходимая информация о случайной величине. Неудобство состоит в том, что

распределение является функцией, в дискретном случае задаваемой таблично.

Непосредственное использование распределений (таблиц) при сравнении активов

затруднительно, поскольку в реальности число «различимых» значений доходности

может быть достаточно большим.

На практике вместо распределений часто используются лишь важнейшие

количественные характеристики случайной величины — ее математическое

ожидание, дисперсия и стандартное отклонение.

Если R — случайная величина, заданная на дискретном

вероятностном пространстве <S, р>, то ее математическим

ожиданием называется число, определяемое выражением:

.

Эта формула использует исходное определение случайной величины. Однако

математическое ожидание можно вычислить непосредственно по ее распределению.

Так, для случайной величины, распределение которой описывается в табл. 1,

соответствующая формула имеет вид:

.

Математическое ожидание часто называют средним значением случайной

величины — оно представляет собой число, вокруг которого «группируются»

значения случайной величины.

В теории Марковица математическое ожидание есть формальный аналог понятия

«ожидаемой доходности».

Следующей важнейшей характеристикой случайных величин является дисперсия,

которая характеризует «степень отклонения» (разброс) случайной величины от ее

среднего значения. Ее также называют (особенно в финансовой литературе)

вариацией. Дисперсия задается выражением:

.

Иными словами, это математическое ожидание квадрата отклонения случайной

величины от ее среднего значения. Дисперсию можно вычислять исходя из основного

определения случайной величины, в этом случае вместо случайной величины R

рассматривается случайная величина

, являющаяся функцией от исходной величины R. Дисперсию можно вычислить

и по распределению случайной величины:

.

Здесь — математическое ожидание случайной величины R.

Из определения дисперсии видно, что она имеет размерность квадрата размерности

величины R. Для того чтобы использовать в качестве меры разброса характеристику

той же размерности, вместо дисперсии часто используют среднеквадратичное

или стандартное отклонение:

.

В модели Марковица дисперсия или, что, по существу, то же самое, стандартное

отклонение служит мерой риска актива. При этом принимается важное

соглашение, состоящее в том, что инвестор при принятии инвестиционных

решений основывается лишь на упомянутых двух характеристиках активов и их

портфелей: ожидаемой доходности, представляемой математическим ожиданием, и

риске, представляемом дисперсией. Такой подход получил в англоязычной

финансовой литературе название “mean — variance approach» (mean — среднее,

variance — вариация, дисперсия). Следует отчетливо понимать, что упомянутое

соглашение есть постулат портфельной теории Марковица.

Выбор двух количественных характеристик или критериев — ожидаемой доходности и

риска — делает задачу выбора оптимальной стратегии инвестирования

двукритериальной. Если эта стратегия состоит в инвестировании всего капитала

лишь в актив одного вида, то необходимо, чтобы он был наилучшим сразу по двум

этим критериям, т.е. обладал наибольшей доходностью и наименьшим риском.

Допустим, что инвестора удовлетворяет любая доходность, но совершенно не

устраивает большой риск имеющихся активов. В этом случае инвестор вместо выбора

одного актива, скорее всего, составит портфель из них, стремясь по возможности

«диверсифицировать» (перераспределить) риск с целью уменьшения его

количественной оценки. Степень возможности такой диверсификации зависит от

характеристики, служащей мерой связи (в вероятностном статистическом смысле)

между случайными величинами, представляющими доходности активов. Речь идет о

ковариации. Для любых двух случайных величин

и , определенных на

вероятностном пространстве <S, p>, эта характеристика

определяется следующим образом:

.

Заметим, что в случае совпадения случайных величин, т.е.

, ковариация превращается в дисперсию:

.

На ковариацию «оказывают влияние» не только связь между величинами

и , но и их

дисперсии. Чтобы выделить меру собственно связи между случайными величинами,

прибегают к нормированию ковариации. Такая нормированная величина называется

коэффициентом корреляции:

.

В отличие от ковариации, которая может принимать любые значения, коэффициент

корреляции по абсолютной величине всегда меньше 1:

.

При этом для совпадающих случайных величин коэффициент корреляции равен в

точности 1:

.

Как ковариация, так и корреляция являются симметричными функциями от

случайных величин, т. е.

и

Параметрическая модель рынка, или рынок по Марковицу описывается тройкой:

,

где — конечный набор активов, составляющих рынок,

— вектор ожидаемых

доходностей, т. е.

— математическое ожидание случайной величины

, представляющей доходность актива

за выбранный инвестиционный период Т, а

- ковариационная матрица порядка n,

где — ковариация случайных величин и причем в случае i=j:

,

т. е. диагональные элементы задают дисперсию (риск) активов.

Марковиц разработал очень важное для современной теории портфеля ценных бумаг

положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две

составные части. С одной стороны, это так называемый рыночный

(систематический) риск, который нельзя исключить, и которому подвержены все

ценные бумаги практически в равной степени. С другой – собственный (или

несистематический) риск для каждой конкретной цепной бумаги, который можно

избежать при помощи управления портфелем ценных бумаг.

Модель Марковица можно определить как практически-нормативную, что, конечно,

не означает навязывания инвестору определенного стиля поведения на рынке

ценных бумаг. Задача модели заключается в том, чтобы показать, как

поставленные цели достижимы на практике.

По данной модели определяются показатели, характеризующие объем инвестиций и риск, что позволяет сравнивать между собой различные альтернативы вложения капитала. Мы не будем останавливаться подробно на математической интерпретации данной модели, однако отметим, что Марковитц разработал очень важное для современной теории портфеля ценных бумаг положение, которое гласит: совокупный риск портфеля можно разложить на две составные части. Первая - это систематический риск, который нельзя исключить и которому подвержены все ценные бумаги практически в равной степени. Вторая - специфический риск для каждой конкретной ценной бумаги, которого можно избежать, управляя портфелем ценных бумаг.
При помощи разработанного Марковитцем метода критических линий можно выделить неперспективные портфели и тем самым оставить только эффективные, т. е. портфели, содержащие минимальный риск при заданном доходе или приносящие максимально возможный доход при заданном максимальном уровне риска, на который может пойти инвестор.

Разделение риска на независимые составляющие дает любому инвестору возможность проанализировать ценные бумаги со всех сторон и определить их сильные и слабые стороны при формировании портфеля.

CAPM модель

Хотя теория портфеля в том виде, в каком она была разработана Марковитцем, учит инвесторов тому, как следует измерять уровень риска, она не конкретизирует взаимосвязь между уровнем риска и требуемой доходностью. Данную взаимосвязь конкретизирует модель оценки доходности финансовых активов(САРМ), разработанная более или менее независимо друг от друга Дж. Линтнером, Я. Мойссином и У. Шарпом. САРМ основана на допущении наличия идеальных рынков капитала и на некоторых других допущениях: отсутстствие налогов, трансакционных издержек и т. п. Согласно этой модели, требуемая доходность для любого вида рисковых активов представляет собой функцию трех переменных: безрисковой доходности, средней доходности на рынке ценных бумаг и индекса колеблемости доходности данного финансового актива по отношению к доходности на рынке в целом.
В САРМ зависимость между риском и ожидаемой доходностью графически можно описать с помощью линии рынка капитала.

Уравнение линии рынка капитала может быть записано в виде:
где М - рыночный портфель; K_RF - актив без риска; s_М - риск рыночного портфеля; - ожидаемая доходность рыночного портфеля.
Уравнение показывает, что ожидаемая доходность эффективного портфеля равна сумме безрисковой ставки (K_RF) и премии за риск умноженной на среднеквадратичное отклонение портфеля (s_р).
Уравнение линии рынка ценных бумаг выглядит следующим образом:
K_i = K_RF + (K_M - K_RF) x b_i, где K_i - требуемая доходность i-й ценной бумаги; K_RF - безрисковая доходность; K_M - требуемая доходность портфеля, состоящего из всех ценных бумаг или рыночного портфеля; b_i - b-коэффициент i-й ценной бумаги (характеризует изменчивость доходности i-й ценной бумаги относительно доходности рынка ценных бумаг).
В качестве причин, по которым требуемая и ожидаемая доходности не совпадают, могут быть:

1) изменение безрисковой ставки ввиду пересмотра ожидаемого темпа инфляции;

2) изменение b;

3) переоценка отношения инвестора к риску.
САРМ хорошо обоснована с позиции теории, однако она не может быть подтверждена эмпирически, ее параметры с трудом поддаются оценке. Поэтому применение САРМ на практике ограничено.

2.3. Модель выровненной цены или модель арбитражного ценообразования.

В данной модели ожидаемый доход акции зависит от множества факторов. Используя арбитражную стратегию, можно избежать неравновесия на рынках наличных денег и в отношениях между рынками наличных денег и фьючерсными рынками.
На практике очень трудно выяснить, какие конкретные факторы риска нужно включать в модель. В настоящее время в качестве таких факторов используют следующие показатели: развитие промышленного производства, изменение уровня банковских процентов, инфляции, риска неплатежеспособности конкретного предприятия и т. д.
В целом любые модели инвестиционного портфеля являются открытыми системами и, соответственно, могут дополняться и корректироваться при изменениях условий на финансовом рынке. Модель инвестиционного портфеля позволяет получить аналитический материал, необходимый для принятия оптимального решения в процессе инвестиционной деятельности.
Определив для себя структуру портфеля, инвестор занимает по отношению к рынку как бы статическую позицию и может сохранять ее достаточно долго, если сам рынок сохраняет общую динамику и внутренние пропорции. Вместе с этим при резких изменениях в рыночной ситуации или неожиданных сдвигах в доходах и курсах конкретных бумаг, инвестор может срочно откорректировать свой портфель с помощью широчайшего арсенала способов, в том числе предоставляемых опционными сделками и их сочетаниями с короткими или длинными позициями по отдельным бумагам.
То, что курс акций подвержен частым колебаниям, которые далеко не всегда адекватны реальным изменениям в делах компании-эмитента, известно всем. Поэтому многие спекулянты пытаются вовремя воспользоваться такими недолгими ситуациями. Вместе с этим существует мнение, что на рынке всегда есть бумаги с устойчиво завышенными или заниженными ценами. Имеются в виду не внезапные скачки курсов, а продолжительные ценовые несоответствия. Такая гипотеза эквивалентна утверждению о том, что средняя цена отдельных бумаг, рассчитанная за достаточно длительный прошедший период, была выше или ниже "правильной". Однако понятие "правильная" цена для каждой ценной бумаги и инвестора может иметь весьма различное значение.
Получение математической оценки состояния портфеля на разных этапах инвестирования при учете влияния различных факторов делает возможным непрерывно управлять структурой портфеля на каждом этапе принятия решения, т. е., по сути, управлять рисками.