Приемы разработки и выбора управленческих решений в условиях полной неопределенности

Экономическая ситуация уникальна, и решение в условиях неопре­деленности может приниматься с использованием методов моделиро­вания, основанных на теории игр (теории игр с природой) [16].

Формально изучение игр с природой должно начинаться с постро­ения платежной матрицы, так как это, по существу, наиболее трудоем­кий этап подготовки принятия решения. Ошибки в платежной матрице не могут быть компенсированы никакими вычислительными методами и приведут к неверному итоговому результату.

Отличительная особенность игры с природой состоит в том, что в ней сознательно действует только один из участников, в большинстве случаев называемый игроком 1. Игрок 2 (природа) сознательно против игрока 1 не действует, а выступает как не имеющий конкретной цели и случайным образом выбирающий очередные «ходы» партнер по игре. Термин «природа» характеризует некую объективную действительность, которую не следует понимать буквально, хотя вполне могут встретиться ситуации, в которых «игроком» 2 действительно может быть природа (например, обстоятельства, связанные с погодными условиями или природными стихийными силами).

Методы принятия решений в играх с природой зависят от характера неопределенности, точнее, оттого, известны или нет вероятности со­стояний (стратегий) природы, т.е. имеет ли место ситуация риска или ситуация неопределенности. Ниже будут описаны методы, применя­емые в обоих случаях [16].

Рассмотрим организацию и аналитическое представление игры с при­родой. Пусть игрок 1 имеет т возможных стратегий: A₁,A₂,…, А_т, ау при­роды имеется п возможных состояний (стратегий): П₁, П₂,..., П_п, тогда условия игры с природой задаются матрицей А выигрышей игрока 1:

Платит, естественно, не природа, а некая третья сторона (или сово­купность сторон, влияющих на принятие решений игроком 1 и объеди­ненных в понятие «природа»).

Возможен и другой способ задания матрицы игры с природой — не в виде матрицы выигрышей, а в виде так называемой матрицы рисков

R = || r_ij ||_m,n ,или матрицы упущенных возможностей. Величина риска — это размер платы за отсутствие информации о состоянии среды. Мат­рица R может быть построена непосредственно из условий задачи или на основе матрицы выигрышей А.

Риском r_ij игрока при использовании им стратегии A_i и при состоя­нии среды П_j будем называть разность между выигрышем, который иг­рок получил бы, если бы знал, что состоянием среды будет П_j, и выиг­рышем, который игрок получит, не имея этой информации.

Зная состояние природы (ее стратегию) П_j, игрок выбирает ту стра­тегию, при которой его выигрыш максимален, т.е. r_ij = β_j - a_ij ,где β_j = %при заданном j.

Например, для матрицы выигрышей:

β₁ = 4, β₂ = 8, β₃ = 6, β₄ = 9.

Согласно введенным определениям r_ij и β_j получаем матрицу рисков:

Независимо от вида матрицы игры требуется выбрать такую страте­гию игрока (чистую или смешанную, если последняя имеет смысл), которая была бы наиболее выгодной по сравнению с другими. Необхо­димо отметить, что в игре с природой понятие смешанной стратегии игрока не всегда правомерно, поскольку его действия могут быть альтер­нативными, т.е. выбор одной из стратегий отвергает все другие страте­гии (например, выбор альтернативных проектов). Прежде всего следует проверить, нет ли среди стратегий игрока мажорируемых (мажорирова­ние — отношение между стратегиями, наличие которого во многих практических случаях дает возможность сократить размеры исходной пла­тежной матрицы игры), и, если таковые имеются, исключить их.

Неопределенность, связанную с отсутствием информации о вероят­ностях состояний среды (природы), называют «безнадежной» или «дур­ной». В таких случаях для определения наилучших решений использу­ются следующие критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица.

Применение каждого из перечисленных критериев проиллюстри­руем на примере матрицы выигрышей или связанной с ней матрицы рисков.

Выбор стратегии по критерию максимакса.С помощью этого крите­рия определяется стратегия, максимизирующая максимальные выиг­рыши для каждого состояния природы. Это критерий крайнего опти­мизма. Наилучшим [признается решение, при котором достигается максимальный выигрыш (М):

Нетрудно увидеть, что для матрицы A наилучшим решением будет А₁ ,при котором достигается максимальный выигрыш — 9.

Следует отметить, что ситуации, требующие применения такого критерия, в экономике в общем нередки, и пользуются им не только безоглядные оптимисты, но и игроки, поставленные в безвыходное по­ложение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал».

Выбор решения по критерию Вальда (максиминный критерий). Спози­ций данного критерия природа рассматривается как агрессивно настро­енный и сознательно действующий противник. Выбирается решение, для которого достигается значение максимального критерия (W):

Для платежной матрицы А нетрудно рассчитать, что:

для первой стратегии (i = 1 ) .

для второй стратегии (i = 2) .

для третьей стратегии (/ =3) .

Тогда

что соответствует второй стратегии А₂ игрока 1 .

В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных ре­зультатов выбирается лучший (W = 3). Это перестраховочная позиция крайнего пессимизма, рассчитанная на худший случай. Такая страте­гия приемлема, например, в случаях, когда игрок не столь заинтересо­ван в крупной удаче, но хочет себя застраховать от неожиданных про­игрышей. Выбор такой стратегии определяется отношением игрока к риску.

Выбор решения по критерию Сэвиджа (минимаксный критерий).Выбор стратегии аналогичен выбору стратегии по принципу Вальда с тем от­личием, что игрок руководствуется не матрицей выигрышей/4, а матри­цей рисков R:

Для матрицы R нетрудно рассчитать, что:

для первой стратегии (i = 1 ) .

для второй стратегии (i = 2 ) .

для третьей стратегии (i = 3) .

Минимально возможный из самых крупных рисков, равный 4, дос­тигается при использовании первой стратегии А₁.

Выбор решения по критерию Гурвица (критерий пессимизма-оптимиз­ма).Этот критерий при выборе решения рекомендует руководство­ваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. Согласно этому критерию стратегия в матрице А выбирается в соответствии со значением:

где Н_А — критерий пессимизма-оптимизма применительно к матри­це А;

р — коэффициент пессимизма (0 < p < 1).

При p = 0 критерий Гурвица совпадает c максимаксным критерием, а при р = 1 — с критерием Вальда. Покажем процедуру применения данного критерия для матрицы А при p = 0,5:

для первой стратегии (i = 1) = 0,5(1+9) = 5;

для второй стратегии (i = 2) = 0,5(3+8) = 5,5;

для третьей стратегии (i = 3) = 0,5(2+6) = 4;

Тогда:

т.е. оптимальна вторая стратегия А₂.

Применительно к матрице рисков R критерий пессимизма-опти­мизма Гурвица имеет вид:

где H_R — критерий пессимизма-оптимизма применительно к матри­це А.

При p = 0 выбор стратегии игрока 1 осуществляется по условию наи-

меньшего из всех возможных рисков ; при p = 1 — по критерию

минимаксного риска Сэвиджа.

В случае, когда по принятому критерию рекомендуется к исполь­зованию несколько стратегий, выбор между ними может делаться по дополнительному критерию. Например, в расчет могут прини­маться средние квадратичные отклонения от средних выигрышей при каждой стратегии. Еще раз подчеркнем, что стандартного под­хода здесь нет. Выбор может зависеть даже от склонности к риску ЛПР[16].

Таким образом, в случае отсутствия информации о вероятностях со­стояний среды теория не дает однозначных и математически строгих рекомендаций по выбору критериев принятия решений. Это объясня­ется в большей мере не слабостью теории, а неопределенностью самой ситуации. Единственный разумный выход в подобных случаях — попы­таться получить дополнительную информацию, например, путем про­ведения исследований или экспериментов.

В отсутствие дополнительной информации принимаемые реше­ния теоретически недостаточно обоснованы и в значительной мере субъективны. Хотя применение математических методов в играх с при­родой не дает абсолютно достоверного результата и последний в опре­деленной степени субъективен (вследствие произвольности выбора критерия принятия решения), оно, тем не менее, создает некоторое упорядочение имеющихся в распоряжении руководителя данных: за­даются множество состояний природы, определяются альтернативные решения, выигрыши и потери при различных сочетаниях состояния «среда — решение». Такое упорядочение представлений о проблеме само по себе способствует повышению качества принимаемых реше­ний [16, 52].