Преобразование Койка (метод геометрической прогрессии)

В распределении Койка предполагается, что коэффициенты (известные как «веса») b_k при лаговых значениях объясняющей переменной убывают в геометрической прогрессии:

b_k = b₀*l^k, k=0, 1, 2,…. (11.5)

где 0 < l < 1 характеризует скорость убывания коэффициентов увеличением лага (с удалением от момента анализа). Такое предположение достаточно логично, если считать, что влияние прошлых значений объясняющих переменных на текущее значение зависимой переменной будет тем меньше, чем дальше по времени эти показатели имели место.

В данном случае уравнение (11.3) преобразуется в уравнение

y_t = a + b₀·x_t +b₀·lx_t-1 +b₀·l² x_t-2 …+ b₀·l^k x_t-k + …+ e_t, (11.6)

Параметры данного уравнения a, b₀, l можно определять различными способами. Например, достаточно популярен следующий метод. Параметру l присваиваются последовательно все значения из интервала (0, 1) с произвольным фиксированным шагом (например, 0,01; 0,001; 0,0001). Для каждого l рассчитывается

z_t = x_t +·lx_t-1 +l² x_t-2 …+ +l^p x_t-p. (11.7)

Значение р определяется из условия, что при дальнейшем добавлении лаговых значений х величина изменения z_t менее любого ранее заданного числа.

Далее оценивается уравнение регрессии

y_t = a + b₀·z_t + e_t, (11.8)

Из всех возможных значений l выбирается то, при котором коэффициент детерминации R² для уравнения (11.8) будет наибольшим. Найденные при этом параметры a, b₀, и l подставляются в (11.6). Возможности современных компьютеров позволяют провести указанные расчеты за приемлемое время.

Однако более распространенной является схема вычислений на основе преобразования Койка.

Вычитая из уравнения (11.6) такое же уравнение, но умноженное на l и вычисленное для предыдущего периода времени t-1, получим

l×y_t-1 = l×a + l×b₀×x_t-1 + b₀·×l² x_t-2 +…+ l×e_t-1, (11.9)

и далее получим следующее уравнение:

y_t-l×y_t-1 = a - l×a + b₀·×x_t + (b₀·×l×x_t-1 - b₀·×l ×x_t-1 ) +…+(e_t - l×e_t-1),

отсюда

y_t= (1-l)×a + b₀·x_t +l×y_t-1+v_t, (11.10)

где v_t = e_t - l×e_t-1 — скользящая средняя между e_t и e_t-1.

Преобразование по данному методу уравнения (11.3) в уравнение (11.10) называется преобразованием Койка.

Отметим, что с помощью указанного преобразования уравнение с бесконечным числом лагов (с убывающими по степенному закону коэффициентами) преобразовано в авторегрессионное уравнение (11.10), для которого требуется оценить лишь три коэффициента: a, b₀, l. Это, кроме всего прочего, снимает одну из острых проблем моделей с лагами — проблему мультиколлинеарности.

Модель (11.10) позволяет анализировать краткосрочные и долгосрочные свойства переменных. В краткосрочном периоде можно значение y_t-i рассматривать как фиксированное и краткосрочный мультипликатор считать равным b₀. Долгосрочный мультипликатор вычисляется по формуле суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии. Если предположить, что в долгосрочном периоде x_t стремится к некоторому своему равновесному значению х*, то значения y_t и y_t-i также стремятся к своему равновесному значению у*. Тогда (11.10) без учета случайного отклонения примет вид

y*= (1-l)×a + b₀·x* +l×y*. (11.11)

Следовательно,

. (11.12)

Нетрудно заметить, что в силу формулы суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии

полученная дробь является долгосрочным мультипликатором, который отражает долгосрочное воздействие X на Y. При 0 < l < 1 долгосрочное воздействие будет сильнее краткосрочного (так как ).

При применении преобразования Койка возможны следующие проблемы:

· среди объясняющих переменных появляется переменная y_t-1, которая, в принципе, носит случайный характер, что нарушает одну из предпосылок МНК. Кроме того, данная объясняющая переменная, скорее всего, коррелирует со случайным отклонением v_t;

· если для случайных отклонений e_t, e_t-1 исходной модели выполняется предпосылка 3⁰ МНК, то для случайных отклонений v_t очевидно, имеет место автокорреляция. Для ее анализа вместо обычной статистики DW Дарбина–Уотсона необходимо использовать h-статистику Дарбина;

· при указанных выше проблемах оценки, полученные по МHK, являются смещенными и несостоятельными.

11.4. Задание на лабораторную работу №12 «Оценка моделей с распределёнными лагами с помощью схемы Койка»

Для построения данной модели мы располагаем некоторыми статистическими данными по Алтайскому краю, приведёнными в таблице 1, в которой приняты следующие обозначения:

I_t – инвестиции за t-й период времени;

Y_t – объём валового регионального продукта (ВРП) в регионе за t-й период времени.

Таблица 1

t	It	Yt
		13800,69
	2700,48	13043,48
		13688,16
	2560,54	12626,27
	1890,231	9570,231
		9781,08
		9975,847
	1780,378	10712,38
		12181,15
		11986,26
	2000,907	11353,51
		13769,06
		13019,74
	2269,672	15210,67
	1731,3	14588,8
	2034,9	16876,9
	2728,3	17671,4
	3310,4	16843,4

Шаг 1. Скопировать таблицу 1 на лист MS Excel. С помощью обычного МНК для преобразования Койка (11.10) определить значения коэффициентов a, b₀, и l.

Шаг 2. На их основе вычислить коэффициенты системы с распределенными лагами (11.9) ограничившись конечным количеством лагов (например, к = 5).

Шаг 3. Определите, какое из выражений (11.10) или (11.9) (для к = 6) наиболее точно приближает Y_t. Для этого вычислите сумму квадратов отклонений реальных данных от теоретических (модельных).