Методические рекомендации по выполнению контрольной работы

Пример 1. Определение плана перевозок.

Компания, занимающаяся добычей железной руды, имеет че­тыре карьера. Производительность карьеров соответственно 170, 130, 190 и 200 тыс. т ежемесячно. Железная руда направляется на три принадлежащие этой компании обогатительные фабрики, мощности которых соответственно 250, 150 и 270 тыс. т в месяц.

Транспортные затраты (в тыс. руб.) на перевозку 1 тыс. т руды с карьеров на фабрики указаны в следующей таблице:

Фабрика Карьер

Определите план перевозок железной руды на обогатительные фабрики, который обеспечивает минимальные совокупные транс­портные издержки.

Вопросы:

1. Сколько руды следует перевозить с карьера 1 на обогатитель­ную фабрику 2?

2. Сколько руды следует перевозить с карьера 4 на обогатитель­ную фабрику 1?

3. Какой объем мощностей по добыче руды окажется неис­пользованным?

4. Каковы минимальные совокупные транспортные издержки?

Решение: Транспортная таблица имеет следующий вид:

Фабрика Карьер				Предложение
Спрос

Ниже приведены результаты расчетов – объемы перевозок и остаток не вывезенной руды (в тыс. т):

Фабрика Карьер				Излишек

В следующей таблице до косой черты указаны объемы перево­зок, после черты — соответствующие издержки:

Фабрика Карьер
		10/30	160/800
			110/660
	190/760
	60/180	140/280

Минимальные совокупные издержки составляют 2710 тыс. руб.

Ответы: 1.10 тыс. т. 2. 60 тыс. т.

3. 20 тыс. т. 4. 2710 тыс. руб.

Сетевое моделирование

Пример 1. Консалтинговая компания «Системы управленческих решений» специализируется на разработке систем поддержки про­ектов. Компания заключила контракт на разработку компьютер­ной системы, предназначенной для помощи руководству фирмы при планировании капиталовложений.

Руководитель проекта разработал следующий перечень взаимо­связанных работ:

Работа	Непосредственно предшествующие работы	Время выполнения, недели
А	–
В	–
С	–
D	B
E	A
F	B
G	CD
H	BE
I	FG
J	H

Постройте графическое представление проекта. Используйте метод СРМ для нахождения критического пути. Каков резерв выполнения работы F?

Решение:

Рис.1

На основании таблицы непосредственно предшествующих работ можно по­строить следующее графическое представление проекта (рис. 1).

На этом рисунке работа, выходящая из вершины 3 и входящая в вершину 5, является фиктивной. Ее продолжительность равна нулю.

Для решения задачи используем программу POMWIN. Введем в программу исходную информацию, описывающую работы в виде пары вершин:

Работа	Начальная вершина	Конечная вершина	Время выполнения, недели
А
В
С
D
E
F
G
H
I
J
K

Выполняя расчеты, получаем следующие результаты:

Project
Работа	Начальная вершина	Конечная вершина	Время выполнения, недели	ES	EF	LS	LF	R
А
В
С
D
E
F
G
H
I
J
K

Ответы: 1. 23 недели. 2. 4. 3. Восемь недель.

Системы массового обслуживания

Примеры

Пример 1. Обслуживание автомобилей.

Механик автосервиса, может заменить масло в сред­нем в трех автомобилях в течение часа (т.е. в среднем на одном автомобиле за 20 мин). Время обслуживания подчиняется экспо­ненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, при­езжают в среднем по два в час, в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено. Рассчитайте основные характеристики системы обслуживания.

Решение. На основе исходных данных получаем:

l = 2 машины в час – количество машин, поступающих в те­чение часа;

m = 3 машины в час – количество машин, обслуживаемых в течение часа;

машины – среднее количество машин, находящихся в системе;

– среднее время ожидания в системе;

машины – среднее коли­чество машин, ожидающих в очереди;

– среднее время ожи­дания в очереди;

– доля времени, в течение которого меха­ник занят;

– вероятность того, что в систе­ме нет ни одного клиента.

Вероятности того, что в системе находится более чем k машин:

k	Pn>k = ( )k+1
	0,667
	0,444
	0,296
	0,198
	0,132
	0,088
	0,058
	0,039

Примечание. При k = 0 значение вероятности равно 1 – P₀;

при k = 1 существует 44,4% шансов на то, что в системе находит­ся более одной машины, и т.д.

Пример 2. Утилизация отходов.

Компания «Утиль» собирает и утилизирует в Мытищах алюми­ниевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющих сырье для вторичной переработки, ожидают в оче­реди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 6 тыс. руб. в час.

Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассоновскому закону с параметром l = 8 автомобилей в час. Если но­вый компактор будет использоваться, то амортизационные затра­ты составят 0,3 тыс. руб. на один контейнеровоз. Следует ли ис­пользовать компактор?

Решение. Затраты на простой одного автомобиля в очереди за одну ездку в системе без компактора составляют

В системе с компактором время ожидания в очереди при l = 8 автомобилей в час и m = 12 автомобилей в час будет равно

Затраты на простой автомобиля в очереди в этом случае составят

Сокращение времени простоя привело к сокращению затрат на простой одного автомобиля за одну ездку на сумму в 1,5 – 0,5 = 1 тыс. руб.

При условии, что затраты по эксплуатации компактора на один контейнеровоз составляют 0,3 тыс. руб., общие затраты составят 0,5 + 0,3 = 0,8 тыс. руб.

Система с компактором дает экономию в 1,5 – 0,8 = 0,7 тыс. руб. Таким образом, компактор использовать следует.

ФОРМЫ КОНТРОЛЯ ЗНАНИЙ

По дисциплине «Моделирование и математические методы в экономике» студенты специальности 080507.65 «Менеджмент организации» и 080111.65 «Маркетинг» сдают экзамен. Студенты специальности 080301.65 «Коммерция (торговое дело)» сдают зачет. Для оценки знаний студентов используется подход со следующими критериями:

«Зачет» выставляется в случае правильных, полных и четких ответов на теоретические вопросы и решение задачи. «Незачет» выставляется при ответах, не удовлетворяющих критериям, указанным в предыдущем пункте.

Примерный перечень вопросов к экзамену (зачету)

1. Сетевое планирование и управление

2. Общая задача линейного программирования

3. Симплекс-метод решения задач линейного программирования.

4.Метод модифицированных жордановых исключений.

5. Двойственные задачи линейного программирования и их свойства. Объективно обусловленные оценки и их смысл.

6. Экономико-математическая модель транспортной задачи.

7. Методы решения транспортной задачи. Метод наименьших коэффициентов.

8. Метод Фогеля.

9. Метод потенциалов.

10. Сбалансированные и несбалансированные транспортные задачи.

11. Задача межотраслевого баланса.

12. Задача о назначениях. Венгерский метод.

13. Минимаксное и максиминное решения

14. Критерий Гурвица.

15. Правило максимальной вероятности.

16. Максимизация ожидаемого дохода.

17. Имитационное моделирование.

18. Применение имитационных моделей в СМО.

19. Основные понятия теории игр.

20. Системы массового обслуживания (на примере поликлиники).

21. Матричные игры. Платежная матрица. Нижняя цена игры. Верхняя цена игры.

22. Седловая точка. Цена игры.

23. Устойчивость оптимальных стратегий в случае седловой точки.

24. Смешанные стратегии. Решение матричной игры в смешанных стратегиях.

25. Теорема фон Неймана. Активные стратегии.

26. Сведение матричной игры к матричной игре меньшей размерности.

27. Оптимальные смешанные стратегии.

28. Дублирование и доминирование стратегий.

29. Решение матричной игры 2х2.

30. Решение матричной игры 2хn.

31. Решение матричной игры mx2.

32. Биматричные игры. Смешанные стратегии.

33. Средний выигрыш игроков. Ситуация равновесия.

34. Примеры экономических задач линейного программирования (задача о диете).

35. Общая задача линейного программирования. Стандартная и каноническая задачи.

36. Геометрический метод решения задачи линейного программирования.

37. Симплекс-метод решения задачи линейного программирования. Критерий оптимальности для решения задачи линейного программирования.

38. Открытая модель транспортной задачи.

39. Понятие системы массового обслуживания (СМО).

40. Одноканальная СМО. Параметры ее работы.

41. Критерий Гурвица.

42. Правило максимальной вероятности.

43. Метод модифицированных жордановых исключений.

44. Двойственные задачи линейного программирования, их свойства.

45. Excel (поиск решения).

46. Основное неравенство теории двойственности.

47. Первая и вторая теорема двойственности.

48. Сведение задачи теории игр к задаче линейного программирования.

49. Закрытая модель транспортной задачи.

50. Распределительный метод решения транспортной задачи.