Расчет дисперсии упрощенными способами
Расчет дисперсии по формуле: 
.
Техника вычисления дисперсии сложна, а при больших значениях вариант и частот может быть громоздкой. Расчеты можно упростить, используя свойства дисперсии:
1. Уменьшение или увеличение весов (частот) варьирующего признака в определенное число раз дисперсии не изменяет.
2. Уменьшение или увеличение каждого значения признака на одну и ту же постоянную величину А дисперсии не изменяет.
3. Уменьшение или увеличение каждого значения признака в какое-то число раз K соответственно уменьшает или увеличивает дисперсию в K2 раз, а среднее квадратическое отклонение – в K раз.
4. Дисперсия признака равна разности между средним квадратом значений признака и квадратом средней 
.
Каждое свойство при расчете дисперсии может быть применено произвольно или в сочетании с другими.
Пример. Имеются данные о производительности труда рабочих:
| Табельный номер рабочего | Итого | |||||
| Произведено продукции, шт. (вариант, х) | ||||||
 |
Определить дисперсию.
Решение:
Для расчета дисперсии в дискретном вариационном ряду используем формулу средней арифметической простой:
.
Для определения дисперсии в интервальном ряду распределения используют формулу средней арифметической взвешенной:
.
Для расчета дисперсии по способу моментов используют формулу
,
где i – величина интервала; 
– момент второго порядка; 
– момент первого порядка; 
– исходя из свойств дисперсии.
РЕШЕНИЕ ТИПОВЫХ ЗАДАЧ
Задача 1
При определении качества электрических ламп на продолжительность горения при выборочном наблюдении получены следующие данные:
| Группы эл. ламп по времени горения | 800–1000 | 1000–1200 | 1200–1400 | 1400–1600 | 1600–1800 | 1800–2000 |
| Число эл. ламп |
Определить дисперсию способом моментов и среднее квадратическое отклонение.
Решение:
| Группы эл. ламп по времени горения, час. | Число эл. ламп,  | Середина интервала,  |  |  |
| 800–1000 | -40 | |||
| 1000–1200 | -80 |
Окончание табл.
| 1200–1400 | ||||
| 1400–1600 | ||||
| 1600–1800 | ||||
| 1800–2000 | ||||
| Итого: | – |
А – постоянное число с наибольшей частотой (160); i – размер интервала (200).
;
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
Задача 1
Глубина скважин в районе бурения характеризуется данными:
| Группы скважин по глубине, м | 200–400 | 400–600 | 600–800 | 800–1000 | 1000–1200 | 1200–1400 |
| Число скважин, шт. |
Исчислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение глубины скважин, используя способ моментов.
Задача 2
В результате выборочного обследования дневного удоя коров, проведенного на молочной ферме, получены данные:
| Группы коров по дневному удою, кг | 6–8 | 8–10 | 10–12 | 12–14 | 14–16 | Свыше 16 | Итого |
| Число коров |
Применяя способ моментов, исчислить дисперсию и среднее квадратическое отклонение удоя коров.
Задача 3
В лаборатории трикотажной фабрики проведена проверка на крепость (в г) пряжи, поставленной прядильной фабрикой. Получены следующие данные:
| Крепость пряжи, г | Итого | ||||||||
| Кол-во проб | 1-я партия | ||||||||
| 2-я партия | – | – |
Определить:
1) по каждой партии коэффициент вариации крепости пряжи;
2) указать, в какой партии колеблемость крепости пряжи меньше.
Задача 4
На сахарном заводе для переработки колхозами сдана сахарная свекла, при приемке которой была установлена следующая сахаристость (процент содержания сахара).
| Сахаристость, % | 15,4 | 16,6 | 17,0 | 17,1 | 17,3 | 17,4 | Итого |
| Количество свеклы в % к итогу | 4,5 | 11,3 | 20,0 | 29,0 | 25,0 | 10,2 |
Вычислить коэффициент вариации сахаристости сахарной свеклы.
Расчет групповой, межгрупповой и общей дисперсии
(по правилу сложения дисперсий)
Если совокупность разбита на группы (или части) по изучаемому признаку, то для такой совокупности могут быть исчислены следующие виды дисперсий: общая, групповая, средняя из групповых, межгрупповая.
Общая дисперсия отражает вариацию признака за счет всех условий и причин, действующих в совокупности, и исчисляется по формуле
– простая дисперсия;
– взвешенная дисперсия.
Общая дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака 
от общей средней 
.
Групповая (частная) дисперсия равна среднему квадрату отклонений отдельных значений признака внутри группы от средней арифметической этой группы (групповой средней). Эта дисперсия отражает вариацию признака только за счет условий и причин, действующих внутри группы.
Простая 
; 
– взвешенная.
Средняя из групповых дисперсий – это средняя арифметическая взвешенная из групповых дисперсий: 
– или ее называют остаточной.
Межгрупповая дисперсия равна среднему квадрату отклонений групповых средних 
от общей средней и обозначается ς (малая сигма): 
.
Согласно правилу сложения дисперсий общая дисперсия равна сумме средней из внутригрупповых и межгрупповой дисперсий: 
.
РЕШЕНИЕ ТИПОВОЙ ЗАДАЧИ
Задача 1
Имеются данные о производительности ткачей за час работы:
| I группа | II группа | ||
| № п/п | Изготовление ткани за час работы | № п/п | Изготовление ткани за час работы |
| Итого: | Итого: |
Определить общую, групповые и межгрупповые дисперсии.
Решение:
| I группа | II группа | ||||||
| № п/п | Изготовлено ткани за 1 час, м х |  |  | № п/п | Изготовлено ткани за 1 час, м х |  |  |
| –2 | –3 | ||||||
| –1 | –2 | ||||||
| –1 | |||||||
| Итого: | Итого: |
1. Для расчета групповых дисперсий исчислим средние по каждой группе:
; 
.
Расчет дисперсий по группам представим в таблице. Полученные значения подставляем в формулу и получаем:
;
.
2. Рассчитаем среднюю из групповых дисперсий:
.
3. Исчислим межгрупповую дисперсию. Для этого исчислим общую среднюю как среднюю взвешенную из групповых средних:
.
Теперь рассчитаем межгрупповую дисперсию:
.
4. Исчислим общую дисперсию по правилу сложения дисперсий:
.
Проверим полученный результат исчислив общую дисперсию обычным способом:
.
ЗАДАЧИ ДЛЯ РЕШЕНИЯ
Задача 1
Имеются данные о производительности труда 5 рабочих в дневную и ночную смены:
| № п/п | Произведено продукции | |
| Дневная | Ночная | |
Рассчитать:
1) групповые дисперсии;
2) среднюю из групповых дисперсий;
3) межгрупповую дисперсию;
4) общую дисперсию (по правилу сложения дисперсий и обычным способом).
Задача 2
Бригада литейщиков, состоящая из 10 человек, к концу месяца имела следующие показатели по выполнению норм выработки:
| Группы рабочих по степени выполнения плана, % | Процент выполнения плана |
| До 100 Свыше 100 | 90, 95, 84, 92 100, 102, 104, 103, 105, 104 |
Рассчитать:
1) групповые дисперсии;
2) межгрупповые дисперсии;
3) общую дисперсию (обычным способом и по правилу сложения дисперсий).
Задача 3
Имеются данные о распределении рабочих по проценту допускаемого брака в процессе производства:
| Процент брака | Число рабочих | Средний % брака продукции на 1 человека | Среднее квадратическое отклонение |
| До 1 1–3 3–5 5–7 свыше 7 | 0,8 2,3 3,7 5,9 7,8 | 0,67 0,65 0,51 0,48 0,82 |
Исчислить общую дисперсию допускаемого рабочими брака продукции, применяя правило сложения дисперсий.
Задача 4
Имеются данные о часовой производительности труда рабочих цеха:
| Группы рабочих по количеству продукции, выработанной за 1 час одним рабочим, шт. | Число рабочих | Средняя выработка на одного рабочего, шт. | Групповые дисперсии |
| 9–10 10–12 12–17 14–17 | 9,5 11,6 13,4 16,4 | 0,25 0,23 0,23 0,53 | |
| Итого: | 13,0 |
Определить общую дисперсию.
ТЕСТЫ
1. Среднее квадратическое отклонение находят по формуле:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
2. Дисперсию признака находят по формуле:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
3. К показателям вариации относятся:
а) дисперсия, медиана, коэффициент вариации;
б) размах вариации, средняя величина;
в) среднее квадратическое отклонение, коэффициент и размах вариации, мода;
г) коэффициент вариации, размах, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение.
4. Среднее линейное отклонение для группированных данных:
а) 
;
б) 
;
в) 
;
г) 
.
5. Дисперсия это:
а) средний квадрат отклонений от средней величины;
б) разность между наибольшими и наименьшими значениями варьирующего признака;
в) разность между вариантой и средней;
г) отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической.
Тема 7