Нахождение безусловных экстремумов непрерывных дифференцируемых функций

Среди задач оптимизации выделяют задачи на безусловный экстремум. Общая постановка таких задач такова: найти значение , при котором достигается наибольшее или наименьшее значение непрерывно дифференцируемой функции: Z= f (X) =

Пусть дана дважды непрерывно дифференцируемая функция = =f(x₁, x₂, …, x_n). Необходимым условием экстремума функции является решение системы уравнений, состоящих из частных производных первого порядка:

Точки Х(x₁, x₂, …, x_n), координаты которых удовлетворяют системе (1), называются стационарными точками функции . То есть стационарными точками называются точки, в которых все первые частные производные равны нулю.

В стационарной точке может быть: а) локальный минимум; б) локальный максимум; в) точка типа «седловой точки»[2] или «точки перегиба».

Найдем матрицу, составленную из производных второго порядка. При краткой записи матрицы, составленной из производных второго порядка, - следует помнить, что индекс i изменяется по строкам, а индекс j – по столбцам.

Вычислим найденные вторые производные в стационарной точке Хи составим матрицу (матрицу Гессе[3]). Для того чтобы функция имела в стационарной точке локальный минимум (максимум), необходимо и достаточно, чтобы матрица Гессе в этой точке была положительно (отрицательно) определена.

Для определения положительной (отрицательной) определенности матрицы можно использовать критерий Сильвестра[4]:

· если все главные диагональные миноры этой матрицы положительны, то матрица положительно определена:

· если миноры нечетных степеней отрицательны, а миноры четных степеней положительны, то матрица отрицательно определена:

Если функция имеет несколько стационарных точек, то, определив тип этих точек (максимум или минимум) и подсчитав значение целевой функции Z = f в стационарных точках, можно выбрать среди них абсолютный минимум или максимум. В сложных случаях необходимо привлекать дополнительные сведения о функции. В данном пособии такие случаи не рассматриваются.

Пример 8. Фирма производит два вида товара. Обозначим через х₁- количество товара первого вида, х₂ – количество товара второго вида. Цена единицы товара первого вида равняется 8 ден. ед. (р₁ = 8), а второго вида – 10 ден. ед. (р₂ = 10). Функция затрат на производство и реализацию имеет вид:

Найти объемы производства товаров, при которых прибыль от реализации была бы максимальной.

Решение. Составим функцию прибыли, исходя из имеющихся данных:

Z(X) = ®max, то есть прибыль определяется как разница между выручкой от реализации продукции (8х₁+10х₂) и затратами на ее производство и реализацию ( ).

Максимум прибыли будем искать как условие локального экстремума функции

Составим систему уравнений для определения стационарных точек:

Решением этой системы является точка Х(2,4), т.е. х₁ = 2; х₂ = 4.

Найдем матрицу .

, т.е.

Вторые производные не зависят от переменных.

У матрицы минор первой степени (нечетной степени) отрицательный, а второй (четной) положительный.

Согласно критерию Сильвестра, матрица является отрицательно определенной. Следовательно, в точке Х(2,4) достигается максимум. Значение целевой функции в точке равно:

Z(X)=

Таким образом, при заданных ценах и затратах на производство и реализацию продукции необходимо производить 2 ед. товара первого вида и 4 ед. – второго вида, чтобы получить максимум прибыли 28 ден. ед.

Пример 9. Требуется найти экстремум функции:

Z(X) =

Решение.

Составим систему уравнений для определения стационарных точек:

Решив эту систему, определяем координаты единственной стационарной точки Х(3,5; -5,5).

Далее надо найти матрицу и подставить вместо х₁ и х₂ координаты стационарной точки (3,5; -5,5). В рассматриваемом примере вторые производные не зависят от переменных (координат):

Все главные диагональные миноры матрицы положительны. Согласно критерию Сильвестра, матрица является положительно определенной. Следовательно, в точке Х(3,5; -5,5) достигается минимум. Значение целевой функции в точке равно:

Z(X) =

Контрольные вопросы

1. Как можно сформулировать постановку задачи на безусловный экстремум?

2. Что является необходимым условием экстремума непрерывной дифференцируемой функции?

3. Какие точки называются стационарными?

4. Чем может быть стационарная точка?

5. Какие условия необходимы и достаточны для того, чтобы функция имела в стационарной точке локальный минимум (максимум)?

6. Какой признак положительной определенности матрицы Гессе?

7. Какой признак отрицательной определенности матрицы Гессе?

8. Для чего можно использовать критерий Сильвестра?

9. Каким образом можно выбрать абсолютный экстремум?

Индивидуальные задания 1

Найти экстремумы функции.

Нахождение условных экстремумов. Метод множителей Лагранжа[5]

Экстремум называется условным, если при поиске экстремальных значений функции учитываются ограничения на переменные.

Рассмотрим задачу нахождения экстремумов функции, когда на переменные наложены ограничения - равенства.

Постановка задачи следующая:

требуется найти max (min) Z (Х) = при ограничениях

где - дважды непрерывно дифференцируемые функции. При этом m ≤ n, где n – число переменных, m – число независимых ограничений-равенств.

Наиболее простым способом нахождения условного экстремума является сведение задачи к поиску безусловного экстремума.