Задача многокритериального принятия решений

Оптимизация заключается в том, чтобы среди множества возможных вариантов найти наилучшие в заданных условиях, при заданных ограничениях, то есть оптимальные альтернативы. Наиболее разработаны методы однокритериальной оптимизации, в большинстве случаев позволяющие получить однозначное решение, например, методы однокритериального математического программирования. В задачах многокритериальной оптимизации абсолютно лучшее решение выбрать невозможно (за исключением частных случаев), так как при переходе от одного варианта к другому, как правило, улучшаются значения одних критериев, но ухудшаются значения других. Состав таких критериев называется противоречивым, и окончательно выбранное решение всегда будет компромиссным. Компромисс разрешается введением тех или иных дополнительных ограничений или субъективных предположений и предпочтений. Лицо, принимающее решение, устанавливает свои предпочтения в задаче принятия решения, чтобы получить наиболее полезный для себя результат. Таким образом, можно говорить о принятии индивидуальных рациональных решений.

Особенности постановки задач рационального выбора при решении реальных проблем: многокритериальность; антагонистичность и неравнозначность частных критериев; важность учета критериев, основанных на субъективных оценках; необходимость одновременного учета неопределенностей различной природы. Во многих случаях дополнительной сложностью является иерархичность системы частных критериев. Например, решение задач оптимизации производственной деятельности непосредственно связано с моделированием и анализом технологических процессов, экономических показателей эффективности, а также с учетом техногенного воздействия промышленных производят на экологию окружающей среды. Примеры многокритериальных задач принятия решений приведены в табл.3.1.

Таблица 3.1. Примеры многокритериальных задач принятия решений

Задача принятия решений	Основные критерии	Факторы внешней среды, влияющие на принятие решений
Планирование производства	Суммарный чистый доход (max)	Общественные потребности в производимой продукции
Затраты (min)	Обеспеченность сырьевыми, энергетическими, финансовыми, трудовыми и др. ресурсами
Качество продукции (max)	Состояние экологической среды
Транспортировка	Стоимость транспортировки (min)	Особенности транспортных средств
Среднее время доставки грузов, с учетом важности (min)	Риски транспортировки (техногенные, природные, социальные)
Расход топлива (min)	Характеристики рынка
Оптимизация кредитного портфеля	Доходность (max)	Социально-политические показатели
Уровень невозврата кредитов	Финансово-экономические показатели
Риски кредитования (риск ликвидности, операционный, правовой, риск потери репутации и др.)	Риски клиентов
Управление образовательным процессом в университете	Качество подготовки специалистов	Удовлетворение потребности общества (работодателей) в специалистах с высшим образованием
Качество научной деятельности	Развитие научно-технического потенциала регионов
Финансовое обеспечение образовательного и научно-исследовательского процессов	Демографические показатели

Процесс принятия решений целесообразно рассматривать как систему, состоящую из некоторого набора типовых подсистем (этапов) и их элементов (процедур, действий, операций), взаимодействующих между собой, число и состав которых может варьироваться в зависимости от условий и решаемой задачи. Входным элементом системы принятия решений является информация о проблемной области (исходная информация), выходным – множество допустимых (оптимальных) решений.

Задача многокритериального принятия решений включает следующие процедуры:

· формулировка задачи принятия решения, которая включает в себя содержательное описание проблемы и при необходимости ее модельное представление, определение цели и критериев их достижения, а также требования к виду окончательного результата;

· формирование совокупности возможных альтернатив;

· формирование множества объективных признаков оценки альтернатив проблемной ситуации;

· формирование совокупности ограничений области допустимых вариантов решений;

· определение предпочтений лиц, принимающих решения (ЛПР).

Критериальный язык описания выбора состоит в следующем.

Критерий — (греч. criterion) признак, на основании которого формируется оценка качества объекта, процесса, мерило такой оценки.

Критерий оптимальности (критерий оптимизации) — характерный показатель решения задачи, по значению которого оценивается оптимальность найденного решения, то есть максимальное удовлетворение поставленным требованиям. В одной задаче может быть установлено несколько критериев оптимальности.

Пусть задано некоторое конечное множество вариантов (альтернатив) решений А. Из множества А или любого его подмножества X (Х А) необходимо выделить одно или несколько вариантов решений в некотором смысле лучших или более соответствующих каким-либо заранее оговоренным условиям. Для решения этой задачи традиционно используется критериально-экстремизационный подход.

Использование критерия есть способ выражения различий в оценке альтернативных вариантов с точки зрения лица, принимающего решения, или эксперта.

Правильный выбор критериев играет существенную роль в выборе оптимального решения. В теории принятия решений не найдено общего метода выбора критериев оптимальности; в основном ЛПР руководствуются опытом или рекомендациями экспертов.

Можно сформулировать следующие требования к набору критериев, связанному с принятием решений [1]: набор критериев должен быть полным, действенным, разложимым, не избыточным и минимальным.

Стратегия поиска решения зависит от имеющейся информации о задаче и включает способ выбора альтернатив, определяемый структурой предпочтений лица принимающего решение (ЛПР) и метод (модель) оптимизации, обусловливающий способ агрегирования критериев. Способ выбора альтернатив может предусматривать поиск наилучшего решения, удовлетворительного решения, наиболее предпочтительной альтернативы, недоминируемой альтернативы, возможной альтернативы, и т.п. Метод (модель) оптимизации включает такие подходы, как векторная оптимизация, оптимизация с учетом иерархии критериев, оптимизация с учетом неопределенности. Множество критериев определяется степенью детализации задачи и требуемым качеством ее решения. Существует проблема выбора альтернатив с применением критериев: отношения между критериями заранее не определены (неясно, какой критерий важнее); отношения исходных данных не транзитивны (A > B, B > C, C > A).

Сравнение вариантов решения в целом

В реальных ситуациях выбора не всегда удается полностью описать все особенности каждого варианта. В ряде случаев возможно сопоставить вариант с другими вариантами целиком и указать, какой из вариантов предпочтительнее, не вдаваясь в их отдельные характеристики.

Сравнение вариантов в целом равнозначно их сравнению по какому-то одному признаку, выражаемому единственным критерием К, который может быть и количественным, и качественным. Смысловое содержание критерия зависит от контекста конкретной решаемой задачи. Варианты А_i и А_j считаются равноценными для ЛПР, если оценки вариантов x_i =K(А_i) и x_j= K(А_j) по шкале X критерия K совпадают:

A_i A_j x_{i X}x_j. (3.1)

Будем говорить, что для ЛПР вариант А_iпредпочтительнее варианта А_j, если оценки варианта А_i по критерию K не хуже или лучше оценок варианта А_j:

A_i A_j x_{i X} x_j или A_i A_j x_{i X} x_j (3.2)

Предполагается, что оценки на шкале X критерия K упорядочены от лучших к худшим. При ином порядке оценок на шкале критерия предпочтительность вариантов в левых частях (3.2) заменяется на противоположную.

Варианты можно также сравнивать по значениям единственного показателя эффективности решения (целевой функции, функции ценности, критерию качества, критерию оптимальности), выражаемого числовой функцией y=f(x).ЛПР считает варианты А_i и А_j равноценными, если равны значения показателя эффективности y_i=f(x_i)и y_j=f(x_j)на множестве достижимых целей Y^a=f(X^a) :

A_i A_j x_i) _Y f(x_j). (3.3)

Вариант A_i будет для ЛПР предпочтительнее варианта A_j, если A_i имеет не меньшее или большее значение показателя эффективности, чем A_j.

Ai Aj xi) ≥Yf( xj) или Ai Aj xi) > Y f(xj) (3.4)

ЛПР может также считать один из вариантов предпочтительнее другого, если А_i имеет не большее или меньшее значение показателя эффективности, чем А_j.

Ai Aj xi) ≤Yf( xj) или Ai Aj xi) < Y f(xj) (3.5)

Здесь x_iи x_j могут быть как скалярными, так и векторными переменными, определенными на множестве допустимых значений признаков Х^а X.

Такие способы выражения предпочтений ЛПР суть не что иное, как задание бинарных отношений равенства, нестрогого порядка и строгого порядка соответственно на множестве допустимых значений признаков или на множестве достижимых целей.

Сравнение вариантов по эффективности

При наличии многих числовых показателей эффективности или целевых функций f₁(x),…, f_h(x),, характеризующих качество решения, предпочтительность варианта для ЛПР, так же как и при сравнении вариантов A_i и A_j по их свойствам x_i, x_j X^а, i,j = 1, ...,m, можно установить различным образом.

Варианты A_i и A_j будут равноценны для ЛПР, если на множестве достижимых целей Y^а = f(X^а) Y = Y₁×…×Y_h равны векторы показателей эффективности вариантов y_i= f(x_i) = (f₁(x_i),…, f_h(x_i)) и y_j= (f₁(x_j),…, f_h(x_j)):

A_i A_j (f₁(x_i),…, f_h(x_i))=Y(f₁(x_j),…, f_h(x_j)) (3.6)

Выбор подмножества Y_A лучших вариантов из А по заданному критерию f(x) называется экстремизационным, если он осуществляется по следующему правилу:

, (3.7)

то есть в Y^a включаются такие и только такие варианты, для которых в множестве А не существует вариантов, имеющих строго большую критериальную оценку.