Характеристики форми розподілу: коефіцієнти асиметрії та ексцесу

Аналіз закономірностей розподілу передбачає оцінювання ступеня однорідності сукупності, асиметрії та ексцесу розподілу.

Однорідність сукупності — передумова використання інших статистичних Методів (середніх величин, регресійного аналізу тощо). Однорідними вважаються такі сукупності, елементи яких мають спільні властивості і належать до одного типу, класу. При цьому однорідність означає не повну тотожність властивостей елементів, а лише наявність у них спільного в істотному, головному.

В однорідних сукупностях розподіли одновершинні (одномодальні). Багатовершинність свідчить про неоднорідний склад сукупності, про різнотиповість окремих складових. У такому разі необхідно перегрупувати дані, виокремити однорідні групи. Критерієм однорідності сукупності вважається квадратичний коефіцієнт варіації, який завдяки властивостям а в симетричному розподілі становить =0,33. Згідно з цим критерієм сукупність домогосподарств за рівнем забезпеченості житлом практично однорідна ( = 0,34).

З-поміж одновершинних розподілів є симетричні та асиметричні (скошені), гостро- та плосковершинні. У симетричному розподілі рівновіддалені від центра значення ознаки мають однакові частоти, в асиметричному — вершина розподілу зміщена. Напрям асиметрії протилежний напряму зміщення вершини. Якщо вершина зміщена ліворуч, маємо правосторонню асиметрію, і навпаки. Зазначимо, що асиметрія виникає внаслідок обмеженої варіації в одному напрямі або під впливом домінуючої причини розвитку, яка призводить до зміщення центра розподілу. Ступінь асиметрії різний — від помірного до значного.

Як уже зазначалося, у симетричному розподілі характеристики центра — середня, мода, медіана — мають однакові значення, в асиметричному між ними існують певні розбіжності. У разі правосторонньої асиметрії > Me > Mo, а в разі лівосторонньої, навпаки, < Me < Mo . Чим більша асиметрія, тим більше відхилення Очевидно, найпростішою мірою асиметрії є відносне відхиленняяке характеризує напрям і міру скошеності в середині розподілу; при правосторонній асиметрії А > 0, при лівосторонній — А < 0.

Іншою властивістю одновершинних розподілів є ступінь зосередженості елементів сукупності навколо центра розподілу. Цю властивість називають ексцесом розподілу.

Асиметрія та ексцес — дві пов'язані з варіацією властивості форми розподілу. Комплексне їх оцінювання виконується на базі центральних моментів розподілу. Алгебраїчно центральний момент розподілу — це середня арифметична k-го ступеня відхилення індивідуальних значень ознаки від середньої:

Очевидно, що момент 2-го порядку є дисперсією, яка характеризує варіацію. Моменти 3-го і 4-го порядків характеризують відповідно асиметрію та ексцес. У симетричному розподілі

= 0. Чим більша скошеність ряду, тим більше значення _. Для того щоб характеристика скошеності не залежала від масштабу вимірювання ознаки, для порівняння ступеня асиметрії різних розподілів використовується стандартизований момент

= : , який на відміну від коефіцієнта скошеності залежить від крайніх значень ознаки. При правосторонній асиметрії коефіцієнт A_s > 0, при лівосторонній A_s < 0. Звідси правостороння асиметрія називається додатною, а лівостороння — від'ємною. Уважається, що при A_s <0,25 асиметрія низька, якщо A_s не перевищує 0,5 — середня, при A_s > 0,5 — висока.

Для вимірювання ексцесу використовується стандартизований момент 4-го порядку Е_к = : .У симетричному, близькому до нормального розподілі E_k = З. Очевидно, при гостровершинному розподілі Е_к > 3, при плосковершинному Е_к < 3 .