Модели систем массового обслуживания
| Мо-дель | Название | Пример | Число каналов | Число фаз | Темп поступ- ления заявок | Темп обслу- живания | Число клиентов | Порядок прохож- дения очереди |
| А | Простая система (М/М/1) | Справочное бюро в магазине | Один | Одна | Пуассоновское | Экспоненциальный | Неограниченное | FIFO |
| В | Равномерное обслуживание (M/D/1) | Автоматическая автомойка | Один | Одна | Пуассо-новское | Постоянный | Неогра-ниченое | FIFO |
Модель А:
модель одноканальной системы массового обслуживания с пуассоновским входным потоком заявок и экспоненциальным временем обслуживания
Наиболее часто встречаются задачи массового обслуживания с единственным каналом. В этом случае клиенты формируют единственную очередь, которая обслуживается одним рабочим местом.
Предположим, что для систем этого типа выполняются следующие условия:
1.Заявки обслуживаются по принципу: первым пришел – первым обслужен (FIFO), причем каждый клиент ожидает своей очереди до конца независимо от длины очереди.
2.Появления заявок являются независимыми событиями, однако среднее число заявок, поступающих в единицу времени, неизменно.
3.Процесс поступления заявок описывается пуассоновским распределением, причем заявки поступают из неограниченного множества.
4.Время обслуживания различно для разных клиентов и независимо друг от друга, однако средний темп обслуживания известен.
5.Время обслуживания описывается экспоненциальным распределением вероятностей.
6.Темп обслуживания выше темпа поступления заявок.
Формулы для описания модели А: простая система M/M/1
Число заявок в единицу времени, z.
Число клиентов, обслуживаемых в единицу времени, b.
Среднее число клиентов в системе: 
Среднее время обслуживания одного клиента в системе: 
(время ожидания плюс время обслуживания).
Среднее число клиентов в очереди: 
Среднее время ожидания клиента в очереди: 
Параметр утилизации (загруженности системы):
Вероятность отсутствия заявок в системе: 
Вероятность более чем k заявок в системе: 
(n – число заявок в системе).
Если эти условия выполняются, то система массового обслуживания описывается уравнениями, приведенными выше. Примеры 1 и 2 показывают, как может быть использована модель А (техническое наименование М/М/1).
Контрольный пример 1
Василенко, механик магазина, может заменить масло в среднем в трех автомобилях в течение 1 часа (т.е. в среднем у одного автомобиля за 20 мин). Время обслуживания подчиняется экспоненциальному закону. Клиенты, нуждающиеся в этой услуге, приезжают в среднем по два в час в соответствии с пуассоновским распределением. Клиенты обслуживаются в порядке прибытия, и их число не ограничено.
На основе этих данных мы можем получить основные характеристики этой системы обслуживания:
z=2 машины поступают в час;
b=3 машины обслуживаются в час;
– машины в среднем в системе;
– среднее время ожидания в системе;
– машины в среднем ожидает в очереди;
– среднее время ожидания в очереди;
– процентов времени механик занят
– вероятность того, что в системе нет ни одного клиента.
Вероятность более чем k машин в системе (табл. 7.2).
Таблица 7.2
| k | pn>k=(z/b)k+1 | |
| 0,667 | Обратите внимание на то, что значение равно 1-р0=1-0,33 | |
| 0,444 | ||
| 0,269 | ||
| 0,198, | Означает, что существует 19,8% шансов того, что в системе находится более трех машин | |
| 0,132 | ||
| 0,088 | ||
| 0,058 | ||
| 0,039 |
После того, как получены основные характеристики системы обслуживания, часто бывает полезным провести ее экономический анализ.
В частности, сопоставить возрастающие затраты на улучшение обслуживания и снижающие затраты, связанные с ожиданием. Рассмотрим эти затраты.
Владелец автосервиса установил, что затраты, связанные с ожиданием, выражаются в снижении спроса в связи с неудовлетворенностью клиентов и равны 100 грн. за час ожидания в очереди. Так как в среднем каждая машина ожидает в очереди 2/3 ч (Wq), и в день обслуживается приблизительно шестнадцать машин (две машины в час в течение восьмичасового рабочего дня), общее число часов, которое проводят в очереди все клиенты, равно
2/3 16=32/3=10 2/3 ч.
Следовательно, затраты, связанные с ожиданием, составляют
100 (100 2/3)=6667 грн. в день.
Другая важная составляющая затрат владельца автосервиса – зарплата механика Василенко. Он получает 100 грн. в час или 800 грн. в день. Следовательно, общие затраты составляют
6667+800=7467 грн. в день.
Модель В:
модель с постоянным временем обслуживания (M/D/1)
Некоторые системы имеют постоянное, а не экспоненциально распределенное время обслуживания. В таких системах клиенты обслуживаются в течение фиксированного периода времени, как, например, на автоматической мойке автомобилей. Для модели В с постоянным темпом обслуживания значения величин Lq, Wq, Ls и Ws меньше, чем соответствующие значения в модели A, имеющей переменный темп обслуживания. В литературе по теории очередей модель В имеет техническое наименование M/D/1.
Формулы для описания модели В с постоянным временем обслуживания M/D/1
Средняя длина очереди: 
Среднее время ожидания в очереди: 
Среднее число клиентов в системе: 
Среднее время ожидания в системе: 
Контрольный пример 2
Компания «Утиль» собирает и утилизирует алюминиевые отходы и стеклянные бутылки. Водители автомобилей, доставляющие сырье для вторичной переработки, ожидают в очереди на разгрузку в среднем 15 мин. Время простоя водителя и автомобиля оценивается в 600 грн. в час. Новый автоматический компактор может обслуживать контейнеровозы с постоянным темпом 12 машин в час (5 мин на одну машину). Время прибытия контейнеровозов подчиняется пуассо-новскому закону с параметром z=8 в час.
Если будет использоваться новый компактор, то амортизационные затраты составят 30 грн. на один контейнеровоз.
Фирма пригласила студента, который провел следующий анализ, для оценки целесообразности использования компактора:
Затраты в настоящее время: (1/4 ч ожидания)(600 грн./ч)=-150 грн./поездка.
Новая система: z=8 автомобилей/ч прибывают;
b=12 автомобилей/ч обслуживается.
Среднее время ожидания в очереди: 
Затраты с новым компактором: (1/12 ч ожидания)(600 грн./ч) = 50 грн./поездка.
Доход при новом оборудовании: 15 (существующая система) - 50 (новая система)=100 грн./поездка.
Амортизационные затраты: 30 грн./поездка.
Чистый доход: 70 грн./поездка.
Индивидуальное задание
Решить задачу согласно вашему варианту, используя модели массового обслуживания.
Вариант 1
Система банка «Автодор» позволяет клиенту совершать некоторые банковские операции, не выходя из машины. Утром в рабочие дни прибывает в среднем 24 клиента в час. Прибытие клиентов описывается законом Пуассона.
1. Сколько клиентов в среднем прибывает за 5 мин?
2. Каковы вероятности того, что ровно 0, 1, 2, 3 клиента прибудут за 5 мин?
3. Если в течение 5 мин прибывает более трех клиентов, то возникает проблема перегруженности системы. Какова вероятность возникновения такой проблемы?
В системе банка «Автодор» время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания 36 клиентов в час.
4. Каковы вероятности того, что время обслуживания составит: а) не более 1 мин, б) не более 2 мин, с) более 2 мин?
5. Определите следующие характеристики системы:
t вероятность того, что в системе нет требований;
t среднее число требований в очереди;
t среднее число требований в системе;
t среднее время ожидания;
t среднее время, которое клиент проводит в системе;
t вероятность того, что прибывающему клиенту придется ждать обслуживания;
t вероятность того, что в системе находятся: а) 0 клиентов, б) 3 клиента и в) более 3 клиентов.
Вариант 2
Справочная университетской библиотеки получает запросы, поступающие по пуассоновскому закону со скоростью в среднем 10 запросов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, скорость обслуживания - 12 запросов в час. Определите:
t вероятность того, что в системе нет запросов;
t среднее число запросов в очереди;
t среднее время ожидания;
t среднее время, которое запрос проводит в системе:
t вероятность того, что запросу придется ждать обслуживания.
Вариант 3
Грузовики, прибывающие на обслуживание в порт, образуют одноканальную очередь. Их прибытие распределено по закону Пуассона. Время погрузки / разгрузки распределено экспоненциально. Средняя скорость прибытия - 12 грузовиков в день, обслуживания - 18 грузовиков в день. Определите:
t вероятность того, что в системе нет грузовиков;
t среднее число грузовиков в очереди;
t среднее время ожидания;
t вероятность того, что прибывающему грузовику придется ждать обслуживания.
Вариант 4
Контора принимает обрабатываемые единственным клерком заказы, поступающие по закону Пуассона со средней скоростью 6 заказов в день. Время на их обработку распределено экспоненциально со средним уровнем обслуживания 8 заказов в день. Определите:
t среднее число заказов в системе;
t среднее время ожидания начала обработки заказа клерком;
t среднее время, которое заказ проводит в системе.
Вариант 5
В парикмахерской работает один мастер. Клиенты приходят со средней скоростью 2,2 человека в час, средний уровень обслуживания -5 человек в час. Прибытие клиентов подчинено закону Пуассона, а время обслуживания распределено экспоненциально. Определите:
t вероятность того, что в системе нет требований;
t вероятность того, что один клиент стрижется и никто другой не ждет;
t вероятность того, что один клиент стрижется и еще один ждет:
t вероятность того, что один клиент стрижется и еще два ждут;
t вероятность того, что более двух клиенток ждут;
t среднее время ожидания.
Вариант 6
Автосервис решил нанять нового механика для того, чтобы он менял старые покрышки на новые. На это место есть два кандидата. Один из них имеет ограниченный опыт и может быть нанят за 7 тыс. грн./мес. Ожидается, что этот механик сможет обслуживать трех клиентов в час. Другой механик более опытен, он в состоянии обслужить четырех клиентов в час, но его можно нанять на работу за 10 тыс. грн./мес. Клиенты прибывают со скоростью 2 человека в час. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности времени обслуживания, определите:
t среднее время, которое клиент проводит в очереди;
t среднюю длину очереди;
t среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;
t среднее число клиентов в системе обслуживания;
t вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой при условии найма одного или другого механика.
Компания оценивает издержки по ожиданию клиентами своей очереди в 150 грн./ч. Какого механика следует нанять, чтобы обеспечить меньшие совокупные издержки? Каковы минимальные совокупные издержки?
Вариант 7
Фирма «Уют» обеспечивает своим клиентам помощь в дизайне дома или офиса. В нормальном режиме каждый час прибывает в среднем 2,5 клиента. Единственный консультант по дизайну отвечает на вопросы клиента и дает необходимые рекомендации. Он тратит на каждого посетителя в среднем 10 мин. Предполагая пуассоновское распределение времени прибытия и экспоненциальное распределение продолжительности обслуживания, определите:
t среднее время, которое клиент проводит в очереди;
t среднюю длину очереди;
t среднее время, которое клиент проводит в системе обслуживания;
t среднее число клиентов в системе обслуживания;
t вероятность того, что система обслуживания окажется незанятой.
Желательно, чтобы прибывающий клиент не ждал своей очереди в среднем более 5 мин. Соответствует ли реальная ситуация данному пожеланию? Если нет, то что необходимо предпринять?
Предположим, что консультант способен уменьшить среднее время, которое он проводит с клиентом, до 8 мин. Какой стала средняя скорость обслуживания? Достигнута ли цель теперь?
Вариант 8
«У Петра» - маленький магазин с одним прилавком. Предположим, что покупатели прибывают в магазин по закону Пуассона со средней скоростью 15 покупателей в час. Время обслуживания распределено экспоненциально, средняя скорость обслуживания - 20 покупателей в час. Рассчитайте:
t среднее время, которое покупатель проводит в очереди,
t среднюю длину очереди,
t среднее время, которое покупатель проводит в магазине,
t среднее число покупателей в магазине,
t вероятность того, что в магазине не окажется покупателей.
Вариант 9
В верхнем течении Днепра построена новая станция по обслуживанию речных судов. Судно может остановиться в новом доке для заправки и ремонта. Суда прибывают по закону Пуассона со средней скоростью 5 судов в час. Время обслуживания распределено экспоненциально со средней скоростью обслуживания10 судов в час.
t Какова вероятность того, что док будет пуст?
t Каково среднее число судов в очереди?
t Каково среднее время ожидания обслуживания?
t Каково среднее время пребывания в доке?
Вариант 10
Пациенты прибывают к дантисту со средней скоростью 2,8 человека в час. Дантист в среднем способен обслужить 3 человека в час. Наблюдения показывают, что в среднем пациент ждет 30 мин.
t Чему равны средние скорости прибытия и обслуживания, выраженные в пациентах в минуту?
t Какова средняя длина очереди?
Вариант 11
Механики компании «Автосервис» прибывают на главный склад за запчастями со средней скоростью 4 механика в 1 мин. Сейчас на складе один работник. Каждый механик в среднем ждет обслуживания 4 мин. Найдите:
t среднее число клиентов в системе;
t среднее время обслуживания одного клиента в системе;
t среднее число клиентов в очереди.
Вариант 12
Офисный ксерокс используют 5 служащих. Среднее время между двумя моментами его использования для каждого из служащих равно 40 мин. В среднем служащий занимает ксерокс на 5 мин. Используя модель М/М/1 с ограниченным множеством требований, определите:
t вероятность того, что ксерокс простаивает;
t среднее число служащих в очереди;
t среднее число служащих в комнате, где стоит ксерокс;
t среднее время ожидания;
t среднее время нахождения в комнате с ксероксом.
Сколько времени за восьмичасовой рабочий день тратит служащий на данную операцию?
Стоит ли компании приобретать второй ксерокс? Ответ обосновать.
Вариант 13
В распоряжении магазина находится 10 грузовиков. Грузовики прибывают в магазин в случайном порядке в течение дня для погрузки / разгрузки. Каждый грузовик прибывает на обслуживание дважды за 8-часовой рабочий день. Средняя скорость обслуживания - 4 грузовика в час. Модель прибытия требований - пуассоновская, модель времени обслуживания - экспоненциальная. Определите:
t вероятность того, что ни один грузовик не ожидает погрузки / разгрузки;
t среднее число грузовиков в очереди;
t среднее число грузовиков у магазина (грузовики в очереди и на погрузке / разгрузке);
t среднее время ожидания.
Каковы часовые издержки по функционированию системы, если в 1 час издержки на каждый грузовик равны 500 грн.., а на работы с грузовиками - 300 грн.?
Вариант 14
Клиенты приходят к парикмахеру со средней скоростью 2,3 человека в час. Парикмахер в среднем способен обслужить 3 человека в час. Наблюдения показывают, что в среднем клиент ждет 25 мин.
Чему равны средние скорости прибытия и обслуживания, выраженные в клиентах в минуту?
Какова средняя длина очереди?
Вариант 15
Офисный принтер используют 10 служащих. Среднее время между двумя моментами его использования для каждого из служащих равно 20 мин. В среднем служащий занимает ксерокс на 5 мин. Используя модель М/М/1 с ограниченным множеством требований, определите:
t вероятность того, что принтер простаивает;
t среднее число служащих в очереди;
t среднее число служащих в комнате, где стоит принтер;
t среднее время ожидания;
t среднее время пребывания в комнате с принтером.
Сколько времени за семичасовой рабочий день тратит служащий на данную операцию?
Стоит ли компании приобретать второй принтер? Объясните.
Контрольные вопросы
1. Что такое одноканальная система?
2. Что такое однофазовая система?
3. Что такое очередь?
4. Что такое распределение времени обслуживания?
5. Что означает и как определяется среднее время в очереди?
6. Что означает и как определяется среднее время в системе?
7. Что означает и как определяется среднее число клиентов в очереди?
8. Что означает и как определяется среднее число клиентов в системе?
9. Что означает и как определяется средний темп поступления заявок?
10. Что означает и как определяется средняя длина очереди?