Модель общего равновесия Вальраса

Первым экономистом, построившим математическую модель с помощью системы уравнений для доказательства возможности существования общего равновесия, был швейцарский экономист Леон Вальрас (1834–1910). Он предположил, что народное хозяйство состоит из l потребителей, использующих n взаимосвязанных благ, производство которых ведется с применением m различных факторов производства. При условиях:

- заданности функций полезности каждого потребителя и его бюджета,

- равенства бюджета потребителя ценности его факторов производства,

- фиксированности объема его факторов производства (абсолютной неэластичности их предложения), можно построить функцию спроса i-го потребителя на j-е благо:

QDl,J = fl,J (P1,P2,...Pn, Mi), (1)

где Si, t, i=1,2,...l, Pj, r tсоответственно цены благ и факторов, j = 1,2,..n, t=1,2,...m, FSi, t— заданный объем t-го фактора, принадлежащего i-му потребителю.

В целях упрощения предположим, что каждая фирма производит только один вид благ. При заданной технологии и известных ценах на блага и факторы производства фирма, максимизирующая прибыль, формирует функцию предложения блага и функцию спроса на факторы. Сумма предложений всех фирм, производящих одно и то же благо, образует отраслевое предложение :

QSj= g (r 1,r 2,...r m, Pj). (2)

Суммарный спрос этих фирм на факторы составляет отраслевой спрос на каждый из факторов:

FDJ, t= zJ, t(r1,r2,...rm, Pj) (3)

На основе функций (1)–(3) строится микроэкономическая модель общего равновесия, состоящая из трех групп уравнений:

1) условия равновесия на рынке благ:

QDi,J= QSj, j = 1,2,..n, (4)

2) условия равновесия на рынках факторов производства,

, t=1,2,...m (5)

3) бюджетные ограничения фирм на рынке совершенной конкуренции в виде равенства общей выручки общим затратам:

PjQSj= , j = 1,2,..n, (6)

Система уравнений (4)–(6) содержит 2n+m неизвестных и столько же уравнений. Но независимыми являются только 2n+m–1 уравнение. Это связано с бюджетным ограничением потребителей, из-за которого суммарный избыточный спрос любого потребителя равен нулю.

Доказательство: допустим, что существуют только 2 рынка благ и 1 рынок факторов. Бюджетное ограничение (уравнение) l-го потребителя имеет вид:

P1QD1, l+ P 2QD2, l+ r FDl= P1QS1, l+P2QS2, l+rFSl (7)

Это равенство говорит о том, что расходы l-го потребителя (левая часть) должны равняться его доходам от продажи имеющихся у него благ и факторов производства (правая часть).

P1 (QD1, l—QS1, l)+ P 2 (QD2, l— QS2, l) + r (F Dl— FSl)=0 (8)

В круглых скобках — избыточный спрос l-го потребителя на каждом из рынков, т.е. равенство суммарного избыточного спроса нулю у любого потребителя есть лишь иная форма представления его бюджетного ограничения. Просуммируем бюджетные уравнения всех участников рыночных сделок:

P1 (QD1 — QS1 )+ P 2(QD2 — QS2 ) + r (F D— FS)=0 (9)

Из равенства (9) следует, что если система цен P1 , P 2 , r

обеспечивает равновесие на любых двух рынках, то равновесие будет и на третьем. Этот вывод, верный для любого числа рынков, носит название закона Вальраса.

В соответствии с законом Вальраса система уравнений (4)–(6) содержит 2n+m–1 независимых уравнений. Во времена Вальраса отсутствовал математический аппарат для ее решения. Вальрас пошел по пути группировки уравнений, а движение к равновесию рассматривал как постепенный процесс — «поиск ощупью» верных пропорций обмена, особенно на стадии предварительного контракта.

Чтобы система имела решение надо добавить еще одно независимое уравнение, либо уменьшить на 1 число неизвестных. Первый вариант — макроэкономический — вводится дополнительное уравнение равновесия спроса и предложения на денежном рынке. Второй — микроэкономический цена избранного блага принимается за 1, и система относительных цен достаточна для объяснения микроэкономических явлений.

Общее равновесие в условиях чистого обмена при ограниченности ресурсов и товаров обеспечивает решение экономической проблемы — размещение ограниченного количества товаров среди потребителей. Одним из лучших способов анализа такого размещения является ящик или диаграмма Эджуорта.

16.2. Применение ящика Эджуорта для анализа эффективности обмена и производства

Поскольку невозможно решить проблему справедливого распределения, то возникла идея выбрать критерий оценки общественного благосостояния, который бы не затрагивал проблему распределения благосостояния между членами общества. Таким критерием является критерий Парето (Парето Вильфредо (1848–1923) итальянский экономист, социолог).

В соответствие с ним событие улучшает состояние экономики, если в результате него повышается благосостояние хотя бы одного индивида без ухудшения благосостояния других. Если при некотором состоянии экономики никакие изменения в производстве и распределении не могут повысить благосостояния других, то такое состояние называется эффективным (оптимальным) по Парето.Для иллюстрации эффективных состояний в обмене и в производстве для конкурентных случаев используется ящик Эджуорта (назван в честь Фрэнсиса Исидро Эджуорта (1845–1926), английского экономиста).

Рассмотрим ящик Эджуорта, у которого по горизонтали откладывается количество товара Х, а по вертикали — количество товара Y. Каждая точка в ящике Эджуорта характеризуется 6 переменными: количеством благ у каждого из потребителей, уровнем их благосостояния, который характеризуется отдаленностью от нуля кривой безразличия, проходящей через точку начального распределения товаров между потребителями А и В -W.

Достижение эффективности по Парето в обмене означает, что за счет перераспределения заданного количества благ между потребителями нельзя повысить благосостояние хотя бы одного члена общества, не снижая благосостояния другого. В результате перехода из точки W в точку С в области взаимовыгодных сделок положение участников обмена улучшится. Точка С должна принадлежать касательной к двум кривым безразличия. Если это не так, то один из участников не получит выгоду.

Если в процессе обмена на рынке стороны максимизирует свою полезность, и при этом заключаются взаимовыгодные сделки, то получаемое распределение товаров экономически эффективно. Вывод:

1) так как кривые безразличия касаются, то предельные нормы замены равны для рассматриваемых потребителей, т.е. МRSху1= МRSху2;

2) поскольку каждая кривая безразличия касается линии цены (бюджетного ограничения), то МRSхудля каждого потребителя равна соотношению их цен, т.е. МRSху1= МRSху2= .

Аналогично с помощью ящика Эджуорта можно вывести условие Парето-эффективности в производстве. Производство является эффективным по Парето, если при заданных объемах производственных ресурсов за счет их перераспределения нельзя увеличить производство хотя бы одного блага без уменьшения производства других благ. Рассмотрим производство двух товаров при условии использования ограниченных ресурсов (труда и капитала) и при существующей технологии. Производственные взаимосвязи описываются производственными функциями, которые показывают, какой максимальный объем рассматриваемых товаров может быть получен при любой данной комбинации труда и капитала. Максимально возможный выпуск товаров Х и Y в условиях совершенной конкуренции будет обеспечен при эффективном распределении ресурсов. В условиях конкурентного равновесия цена труда и капитала для всех отраслей одинакова. При этом условием минимизации издержек является следующее соотношение предельных продуктов и цен: МРl/МРk= . Любая изокванта характеризуется предельной нормой технологического замещения капитала трудом (MRTSl,k). Следовательно, для производства товаров Х и Y: MRTSl,k= . В точках касания изоквант MRS равны для обоих товаров. Отсюда . Поэтому каждая точка касания изоквант будет представлять кривую производственных контрактов, которая в свою очередь показывает эффективное размещение ресурсов — такое, при котором нельзя увеличить выпуск, использую другую комбинацию ресурсов.

На основе использования кривой производственных контрактов можно построить кривую производственных возможностей, которая показывает все максимально возможные комбинации выпуска одного товара при условии, если дано количество выпуска другого в условиях ограниченности ресурсов и постоянстве технологии. Выпуклость КПВ от начала координат показывает, что за счет сокращения выпуска каждой следующей единицы одного из благ можно получить все меньшее количество другого блага. Это объясняется с помощью предельной нормы трансформации двух товаров, которая графически отображается тангенсом угла наклона касательной к данной точке на кривой. Предельная норма трансформации показывает, на сколько надо сократить производство одного блага для увеличения производства другого на единицу при оптимальном использовании имеющихся ресурсов, т.е.

МRРТху= – ΔY/ΔX

Для достижения производственной эффективности предельная норма замещения должна быть равна предельной норме трансформации. MRSху= – ΔY/ΔX. Так как предельные издержки производства товара Х выражаются в отказе от дополнительной единицы товара Y, то МCx=–ΔY, а МCy выражаются в отказе от дополнительной единицы товара Х, т.е. МСу=–ΔX. Следовательно,

MRSху= – ΔY/ΔX=–

Для достижения эффективности одновременно в производстве и обмене необходимо отсутствие возможности получения дополнительных выигрышей путем перераспределения ресурсов или в результате обмена товарами между потребителями, т.е. должно выполняться условие: МRРТху= МRSху1= МRSху2= МRSху*.

Покажем, что при невыполнении данного условия в экономике возможно улучшение по Парето за счет изменения структуры производства. Допустим, что МRSху*=–3, а МRРТху=–2. Это значит, что потребители согласны обменять 3 единицы блага Х на 1 единицу блага Y, или 1/3 блага Y на 1 единицу блага Х. Технология такова, что для увеличения производства блага Y на 1 единицу нужно сократить производство блага Х на 2 единицы. Если реализовать эту возможность, то для сохранения благосостояния потребителей необходимо компенсировать потерю 2 единиц блага Х. Для этого достаточно 2/3 блага Y, а оставшаяся 1/3 может быть использована на повышение благосостояния одного или обоих потребителей.