ПРИМЕР 1.3: учет рентабельности при одноразовых поставках

Пусть, как и в предыдущих примерах 1.1 – 1.2, планируется запас определенного товара на некоторый период времени, причем пополнение такого запаса не предусматривается. Рассматривается модель, для которой случайный спрос на соответствующий товар (для планируемого временного периода) распределен равномерно R(200; 400).

Требуется определить:

1) оптимальный объем q* поставки, максимизирующий среднюю ожидаемую экономическую рентабельность;

2) соответствующее значение для показателя средней ожидаемой экономической рентабельности .

При этом дополнительно известно, что

r = 0,5 (т.е. 50% рентабельность при «покрытии» спроса);

q = 0 (т.е. нулевые потери при продаже излишков);

D = 0,25 (т.е. 25% издержки от стоимости дефицита);

h = 0,1 (т.е. 10% издержки хранения от стоимости товаров);

g = 0,1 (т.е. издержки доставки составляют 10% стоимости запаса).

РЕШЕНИЕ. 1) Учитывая, что в данном случае a =200 и b = 400 (это – границы интервала возможных значений для величины случайного спроса при заданном его распределении вероятностей), находим соответствующий оптимальный объем поставки по формуле для q*:

2) Для нахождения ожидаемого значения показателя экономической рентабельности

воспользуемся приведенным выше равенством для :

Как видим, для анализируемой ситуации соответствующее ожидаемое значение показателя экономической рентабельности составит 26%.

РЕАЛИЗАЦИЯ ПРИНЦИПА ВРЕМЕННОЙ СТОИМОСТИ

ДЕНЕГ ПРИМЕНИТЕЛЬНО К МОДЕЛЯМ

ОДНОРАЗОВЫХ ПОСТАВОК

Разработанные в теории управления запасами методы определения наилучшего размера заказа в моделях одноразовых поставок (применительно к экономическим или логистическим постановками соответствующих задач оптимизации) ориентированы на такие модели, которые при оценке и оптимизации логистических издержек/доходов не учитывает временную структуру процентных ставок (и соответственно, временную стоимость денег). В частности, это обусловлено тем, что при оптимизации таких систем соответствующие постановки задач формулируются в виде задач минимизации суммарных годовых издержек (связанных с доставкой товара, его хранением и т.п.), причем моменты выплат соответствующих сумм не уточняются.

Для того, чтобы учесть действующие на рынке процентные ставки необходима реализация специального подхода. Этот подход основан на представлении процессов, описывающих анализируемую систему управления запасами, соответствующими денежными потоками уходящих и приходящих платежей. Каждый такой поток должен быть формализован с указанием соответствующей денежной суммы и соответствующего момента ее выплаты (для уходящего потока) или получения (для приходящего потока). Указанная формализация позволяет ввести специальный критерий оптимизации (отличающийся от использованных ранее в теории управления запасами), который понятен сегодня и приемлем для любого менеджера. А именно, это - максимизация интенсивности потока доходов. В частности, применительно к системам управления запасами при одноразовых поставках, соответствующий критерий может быть сформулирован как максимизация потока доходов на единицу поставляемого товара (в партии одноразовой поставки). Именно такой критерий будет представлен ниже для задачи определения наилучшего объема партии одноразовой поставки.

Отметим еще одну особенность, связанную с реализаций принципа временной стоимости денег в моделях управления запасами, в частности, в моделях одноразовых поставок. Оптимальное решение (выбор управляемого параметра) будет зависеть от конкретной, принятой в рамках анализируемой модели, схемы выплат издержек хранения. Действительно, различные моменты выплат соответствующих сумм применительно к различным возможным таким схемам приведут к отличающимся итоговым результатам для наращенных к концу анализируемого периода времени суммарных доходов. В данной главе рассматривается случай, когда выплаты издержек хранения реализуются по схеме, называемой в финансовой математике схемой «пренумерандо». Это означает, что указанные выплаты (для издержек хранения) осуществляются в начале рассматриваемого периода времени [0; Т], применительно к которому делается одноразовая поставка. Необходимые при этом уточнения, обусловливаемые спецификой случайного спроса на указанном периоде времени [0; Т], будут приведены при формализации соответствующего денежного потока.

Далее будет представлена оптимальная стратегия для модели управления запасами с одноразовой поставкой товара при случайном спросе, позволяющая максимизировать средний ожидаемый доход на единицу поставляемой продукции.

АТРИБУТЫ АНАЛИЗИРУЕМОЙ МОДЕЛИ

Отметим следующие особенности фомализуемой далее модели управления запасами при одноразовой поставке и принимаемые соответственно обозначения:

· [0; Т] – промежуток времени, применительно к которому реализуется одноразовая поставка товара;

· C₀ – накладные расходы на поставку партии товара;

· С_П – стоимость единицы товара;

· Р_П – прибыль от реализации единицы товара;

· С_0П – издержки доставки единицы товара, не включающие накладные расходы на поставку соответствующей партии;

· С_hТ – издержки хранения единицы товара применительно к промежутку времени [0; Т];

· V_П ––стоимость единицы товара при компенсации убытков продажей остатков запаса в случае, когда спрос окажется меньшим, чем объем поставляемой партии товара;

· q – размер партии заказа для одноразовой поставки (оптимизируемая величина в рамках рассматриваемой модели);

· f(x) – плотность распределения вероятностей величины спроса на товар применительно к интервалу времени [0; Т];

· x – реализация случайной величины спроса на товар применительно к интервалу времени [0; Т];

· r_Т – ставка наращения, действующая на рынке применительно к периоду времени длительности Т;

· учет временной стоимости денег (издержек/доходов) реализуется применительно к схеме простых процентов.

Подчеркнем, что в рамках анализируемой здесь модели, применительно к соответствующим денежным потокам, характеризующим систему управления запасами с одноразовой поставкой, также принимаем следующее.

q Уходящие платежи, обусловливаемые непосредственными затратами на такую одноразовую поставку (накладные расходы, стоимость товара, а также стоимость доставки которая зависит от объема партии поставляемого товара), соотносим с начальным моментом периода времени [0; Т], т.е. с моментом времени t = 0.

q Уходящие платежи, обусловливаемые затратами на хранение, также соотносим с моментом времени t = 0.При этом, следуя традиции, принятой в теории управления запасами, далее полагаем, что указанные выплаты пропорциональны объему хранимого товара. Поэтому для партии поставки объемом q они составляют (выплаты в момент времени t = 0) С_hT× q/2.

q Дополнительные уходящие платежи, обусловливаемые учетом возможных излишних затрат на хранение, причем именно в случае, когда реализуемый случайный спрос х на периоде времени [0; Т] окажется меньшим, чем количество поставляемого товара, соотносим с концом периода времени[0; Т], т.е. с моментом времени Т. Естественно, если реализация случайного спроса на периоде времени [0; Т] составит x < q,то указанные выплаты излишних затрат на хранение (в момент t = T) составят C_hT×(q-x)/2.

q Приходящие платежи (обусловливаемые реализацией товара) далее соотносим, в среднем, с серединой периода времени [0; Т], для которого выполняется одноразовая поставка и на котором реализуется спрос.

Формализуем теперь рассматриваемые в рамках интересующей нас модели оптимального выбора объема одноразовой поставки с учетом временной стоимости денег соответствующие денежные потоки с учетом указанных выше особенностей.

1) Уходящие платежи в момент времени t = 0 (обозначим их величину через УП₀), включая расходы на оплату и поставку товара (составляющая УП_0П), а также издержки хранения, выплачиваемые «пренумерандо» (составляющая УП_0Х), определяем как сумму

УП₀ = УП_0П + УП_0Х .

При этом,

УП_0П = C₀ + C_0П× q +С_П× q

и, кроме того, учитывая отмеченные выше атрибуты модели,

УП_0Х = C_hT× q/2

(возможная доплата излишних издержек хранения в случае x < q оговаривается ниже отдельно, поскольку такие выплаты соотносятся с моментом времени t = T).

2) Приходящие платежи, обусловливаемые реализацией спроса на продукцию (обозначаем их величину через ПП_Р), которые соотносим, в среднем, с серединой периода времени [0; Т] (т.е. с моментом времени Т/2), определяем как функцию случайного спроса. А именно:

a) если x q, то величина соответствующих суммарных приходящих платежей определяется равенством

ПП_Р = (С_П + Р_П)× х;

b) если x > q, то величина соответствующих суммарных приходящих платежей определяется равенством

ПП_Р = (С_П + Р_П)× q .

3) Уходящие платежи, обусловливаемые доплатой из-за излишних издержек хранения (в случае, когда реализуемый спрос будет меньшим, чем размер партии одноразовой поставки), которые соотносятся с моментом времени t = T (обозначаем их через УП_ТХ), также определяем как функцию случайного спроса. А именно:

C_hT × (q-x)/2 , если x q;

УП_ТХ =

0 , если x>q.

4) Приходящие платежи, обусловливаемые компенсацией убытков продажей остатков запаса в случае, когда реализуемый спрос будет меньшим, чем размер партии одноразовой поставки (обозначим их величину через ПП_К), которые соотносим с моментом времени Т окончания периода [0; Т], определяем в рамках рассматриваемой модели также как функцию случайного спроса. А именно:

V_П × (q-x) , если x q;

ПП_К =

0 ,если x>q.

Графическая интерпретация приведена на рис. 1.3.

Рис. 1.3. Представление денежных потоков в рамках модели

одноразовой поставки товара.