Определение пределов устойчивости двойственных оценок
Необходимые данные для анализа берутся из последней симплекс-таблицы. Найдем компоненты вектора:
где В-1 – матрица, элементы которой берутся из последней симплекс-таблицы, из столбцов х3, х4, х5, образующих первоначальный единичный базис;
bi – первоначальное количество i-го ресурса (фонд), берется из правой части условия;
Δbi – изменение ресурса i-го вида.
Компоненты полученного вектора должны быть неотрицательны, следовательно:
(4.1)
Определим пределы изменения каждого ресурса в случае неизменности остальных ресурсов, при которых значения двойственных оценок не изменяется.
Пусть количество фар и глушителей остается неизменным, то есть Δb2=0 и Δb3=0. Определим, в каких пределах может изменяться количество двигателей:
2 + 2Δb1 > 0 Δb1 > -1
2 - 3Δb1 > 0 Δb1 < 2/3
4 - Δb1 > 0 Δb1 < 4
В результате получили пределы: -1 < Δb1 <
5 < b1 <
Это значит, что при неизменном количестве фар и глушителей количество двигателей можно уменьшить на единицу или увеличить на ; при этом значения двойственных оценок не изменятся. А само количество двигателей может меняться от 5 до единиц.
Определим теперь, в каких пределах может изменяться количество фар, если количество двигателей и глушителей останется неизменным, то есть Δb1=0 и Δb3=0:
2 + Δb2 > 0 Δb2 > -2 b2 > 8
Это значит, что при неизменном количестве двигателей и глушителей количество фар можно уменьшить на 2 единицы; при этом значения двойственных оценок не изменятся. А само количество фар может меняться от 8 единиц до бесконечности.
Определим, в каких пределах может изменяться количество глушителей, если количество двигателей и фар остается прежним, то есть Δb1=0 и Δb2=0:
2 – Δb3 > 0 Δb3 < 2
2 + Δb3 > 0 Δb3 > -2
4 + Δb3 > 0 Δb3 > -4
В результате получили пределы: -2 < Δb3 < 2
8 < b3 < 12
Это значит, что при неизменном количестве двигателей и фар количество глушителей можно уменьшить на 2 единицы или увеличить на 2 единицы; при этом значения двойственных оценок не изменятся. А само количество глушителей может меняться от 8 до 12 единиц.
4.3 Влияние изменения запасов ресурсов на максимальное значение стоимости и план выпуска продукции
Количество двигателей и глушителей увеличивается соответственно на ½ и 1 единицы, а количество фар уменьшается на 1 единицу, то есть:
Δb1 = ½
Δb2 = -1
Δb3 = 1
Раздельное влияние
1. Количество двигателей увеличивается на ½, а количество фар и глушителей остается неизменным.
Значение Δb1=½ входит в предел -1<Δb1< . Следовательно, для определения приращения максимального значения критерия можно воспользоваться формулой:
Δ f * = y1* · Δb1 = 9 · 0,5 = 4,5
Чтобы определить план выпуска продукции при данном изменении ресурса, воспользуемся данными последней симплекс-таблицы, в которой столбец х3 соответствует первому ресурсу (двигателям), столбец х4 – второму (фарам), а столбец х5 – третьему (глушителям).
x1* = 2 + 2 · ½ = 3
х2* = 4 + (-1) · ½ = 3,5
Значение критерия вычисляется двумя способами: используя двойственную оценку и по формуле критерия:
f * = 84 + Δ f * = 84 + 4,5 = 88,5
f * = 12x1* + 15x2* = 12 · 3 + 15 · 3,5 = 88,5
То есть, увеличение количества двигателей на ½ при неизменном количестве фар и глушителей позволит увеличить прибыль на 4,5 денежные единицы. При этом план выпуска продукции будет следующим: 3 машины и 3,5 мотоцикла; суммарная стоимость при этом составит 88,5 денежных единиц.
2. Количество фар уменьшится на 1 единицу, а количество двигателей и глушителей остается неизменным.
Значение Δb2=-1 входит в предел Δb2>-2. Следовательно:
Δ f * = y2* · Δb2 = 0 · (-1) = 0
Суммарная стоимость остается неизменной, следовательно, можно предположить, что и план выпуска изделий не изменится.
x1* = 2 + 0 · (-1) = 2
х2* = 4 + 0 · (-1) = 4
То есть, уменьшение количества фар на единицу при неизменном количестве двигателей и глушителей никак не повлияет на максимальное значение стоимости продукции и план выпуска продукции.
3. Количество глушителей увеличивается на единицу, а количество двигателей и фар остается неизменным.
Значение Δb3=1 входит в предел -2<Δb3<2. Следовательно:
Δ f * = y3* · Δb3 = 3 · 1 = 3
x1* = 2 + (-1) · 1 = 1
х2* = 4 + 1 · 1 = 5
Определим значение критерия двумя способами:
f * = 84 + Δ f * = 84 + 3 = 87
f * = 12x1* + 15x2* = 12 · 1 + 15 · 5 = 87
То есть увеличение количества глушителей на единицу при неизменном количестве двигателей и фар позволит увеличить прибыль на 3 денежные единицы. При этом план выпуска продукции будет следующим: 1 машина и 5 мотоциклов; стоимость продукции при этом составит 87 денежных единиц.
Совместное влияние
Чтобы выяснить, останется ли прежним оптимальный план двойственной задачи при совместном изменении ресурсов, нужно проверить, удовлетворяют ли данные значения Δb1=½, Δb2=-1 и Δb3=1 системе неравенств (4.1). Для этого подставим эти значения в систему:
2 + 2 · ½ - 1 = 2 > 0
2 – 3 · ½ + (-1) + 1 = 0,5 > 0
4 – ½ + 1 = 4,5 > 0
Следовательно, значения двойственных оценок не меняются и могут быть использованы для анализа.
Δ f * = y1*·Δb1 + y2*·Δb2 + y3*·Δb3 = 9 · 0,5 + 0 · (-1) + 3 · 1 = 7,5
Для расчета плана выпуска продукции используем данные всех трех столбцов последней симплекс-таблицы: х3, х4 и х5 и соответствующих строк:
x1* = 2 + 2 · ½ + 0 · (-1) + (-1) · 1 = 2
x2* = 4 + (-1) · ½ + 0 · (-1) + 1 · 1 = 4,5
Вычислим значения критерия:
f * = 84 + Δ f * = 84 + 7,5 = 91,5
f * = 12x1* + 15x2* = 12 · 2 + 15 · 4,5 = 91,5
Таким образом, при уменьшении количества фар на единицу и увеличении количества двигателей и глушителей на ½ и 1 единицу соответственно, план выпуска продукции будет следующим: 2 машины и 4,5 мотоцикла. Общая стоимость продукции при этом будет составлять 91,5 денежную единицу, что на 7,5 денежных единиц больше, чем при плане выпуска продукции, обусловленном первоначальным количеством ресурсов.
Приложение 1
Исходные данные
Вариант 1. Вариант 2. Вариант 3. Вариант 4.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 5. Вариант 6. Вариант 7. Вариант 8.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 9. Вариант 10. Вариант 11. Вариант 12.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 13. Вариант 14. Вариант 15. Вариант 16.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 17. Вариант 18. Вариант 19. Вариант 20.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 21. Вариант 22. Вариант 23. Вариант 24.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 25. Вариант 26. Вариант 27. Вариант 28.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 29. Вариант 30. Вариант 31. Вариант 32.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 33. Вариант 34. Вариант 35. Вариант 36.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 37. Вариант 38. Вариант 39. Вариант 40.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 41. Вариант 42. Вариант 43. Вариант 44.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 45. Вариант 46. Вариант 47. Вариант 48.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 49. Вариант 50. Вариант 51. Вариант 52.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 53. Вариант 54. Вариант 55. Вариант 56.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 57. Вариант 58. Вариант 59. Вариант 60.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 61. Вариант 62. Вариант 63. Вариант 64.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 65. Вариант 66. Вариант 67. Вариант 68.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 69. Вариант 70. Вариант 71. Вариант 72.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 73. Вариант 74. Вариант 75. Вариант 76.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 77. Вариант 78. Вариант 79. Вариант 80.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Вариант 81. Вариант 82. Вариант 83. Вариант 84.
Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 | Кол-во ресурса | Р1 | Р2 |
Стоимость | Стоимость | Стоимость | Стоимость |
Приложение 2