Модель Чандера-Тулкенса

Эта модель допускает для бассейна Балтийского моря ряд упрощающих предпосылок: в первую очередь предполагается приоритетный характер азотных загрязнений.

Пусть множество N, состоящее из n стран, совместно используют не­кий общественный ресурс. Для каждой страны i предпочтение (или по­лезность) относительно имеющегося частного блага в объеме x_i и обще­го для всех стран уровня загрязнения z £ 0 выражается функцией предпочтения u_i (x_i, z). Уровень загрязнения является, таким образом, общим негативным благом.

Определим

.

Тогда

dz × p_i = dx_i.

Это значит, что уменьшение уровня загрязнения на одну единицу dz (увеличение величины на одну единицу) равнозначно приросту частного блага на dx_i. Величина p_i означает тогда предельную готов­ность i-й страны заплатить (WTP) за улучшение качества природ­ной среды.

Далее уравнение (16.26) определяет неявную производственную функ­цию i-й страны, которая обеспечивает связь собственного выпуска страной у_i ³ 0 частного блага с уровнем выбросов в объеме р_i ³ 0 един­ственного загрязнителя, обусловливающего деградацию общественно­го ресурса:

f_i (y_i, p_i) = 0. (16.26)

При этом предполагается, что:

.

Определим далее

Тогда

d(–p_i)g_i = dy_i.

Величина g_i ³ 0 характеризует предельные издержки i-й страны по сокращению выбросов. Заметим, что и позитивная величина d(–p_i) отражает сокращение, а не увеличение загрязнения.

Пример 1:

Пусть u(x, z) = 3x + z, z × 0.

Тогда p = 1/3 > 0 и dz×(1/3) = dx_i.

Готовность заплатить за уменьшение уровня загрязнения на одну единицу равна 1/3. Далее пусть

f(у,p) = у – .

Тогда g = и d(–p)g = dy_i.

Сокращение выбросов на одну единицу требует предельных издержек в объеме

g = .

Теперь допустим, что страны взаимодействуют друг с другом, во-первых, посредством трансфертов частного блага в количестве Т_i (трансферт T_i < 0, если он предоставляется i-й страной и T_i > 0, если его получает страна i); во-вторых, внося вклад в загрязнение общего ресурса:

z =

Трансферты должны отвечать следующим допустимым условиям:

x_i = у_i + T_i для всех i = 1,…,n, при .

Для случая некооперативного равновесия (когда страны максимизируют свои функции предпочтения u_i(x_i,z) при отсутствии трансфертов, т.е. Т_i = 0 и x_i = у_i, а выбросы других стран принимаются как данные, т.е. dz = –dp_i, необходимым условием оптимальности является

g_i = = p_i.

В этом случае оптимум достигается, когда предельные расходы страны рав­ны предельной готовности платить.

Посмотрим на наш пример 1.Ввиду предыдущих предположений:

u(х, z) = 3х + z = 3х – р = 3х – х² = u(х).

Максимум полезности достигается при

u'(х) = 3 – 2x = 0

или при х* = и р = .

Мы видим, что действительно p = = g = = .

В отличие от этого, когда трансферты возможны, возникает игровая ситуа­ция, в которой все страны стремятся к максимизации своей полезности, а заодно понимают, что надо искать одно из совместимых с Парето-оптимальным решений. Необходимым условием достижения Парето-оптимальности, так называемым условием Самуэльсона, является:

p_N = = g_i, (16.27)

где p_N выражает предельную суммарную готовность заплатить за улучше­ние качества природной среды, а условие устанавливает равенство инди­видуальных предельных расходов страны этой суммарной готовности. Для нахождения одного из Парето оптимальных решений модели Чандера-Тулкенса, которая гласит:

u₁(x₁,z) ® max … u_n(x_n,z) ® max;

f_i(y_i, p_i) = 0, i = 1, 2, …, n; (16.28)

z = x_i = y_i + T_i, i = 1, 2, …, n,

рассматривается следующий алгоритм распределения ресурсов, исходя из какого-то некооперативного начального решения (' означает производную по отношению к переменной времени, которая для краткости опущена; при этом все уравнения справедливы для каждого i):

Алгоритм распределения ресурсов:

= – (p_i – g_i) движущая сила процесса: исправления (перераспределения) происходят постольку, поскольку условия Парето-оптимальности не соблюдаются; уровень загрязнения сокраща­ется, когда предельная готовность выше, чем предельные издержки, т.е. p_i > g_i;

z' = изменения в качестве общественного ресурса;

реакция производственной функции на усилия, предпри­нимаемые для сокращения загрязнения;

баланс для частного блага.

По предположению Чандера и Тулкенса, «приростная» функция транс­фертов выглядит следующим образом:

(16.29)

Таким образом, как следует из уравнения (4), странам полностью возмещают­ся их предельные затраты по сокращению загрязнения , но в то же время они в виде трансфертов отдают величину, равную , т.е. долю суммарных для всех стран предельных экологических затрат , пропорциональную их предельной WTP, разделенной на сумму предельной готовности всех стран заплатить . При этих предпосылках для частного блага балансом будет являться:

.

Доказано, что данный процесс будет сходиться к одному из Парето-оптимальных решений.

Пример 2:

Пусть даны две страны, где сначала т₁ = 0, т₂ = 0, х₁ = у₁, х₂ = у₂

и u₁(x₁,z) = 4x₁ + z ® max, u₂(x₂,z) = 2x₂ + z ® max,

z = –p₁, f₁(y₁,p₁) = y₁ – , z = –p₂, f₂(y₂,p₂) = y₂ / 2 – .

Тогда и p₁ = g₁ = 1 / 4 и p₂ = g₂ = 1 / 2.

Решая задачи для каждой из стран, отдельно получаем

x₁* = 2,p₁* = 4, u₁* = 4 и x₂* = 4, p₂* = 4, u₂* = 4.

На самом деле уровень загрязнения равен Z' = –р₁* – р₂* = –8, и поэтому истинная полезность для обеих стран равна. Теперь перейдем к модели (3). Условие (16.27) гласит

p_N = = g_i,

из чего следует, что

u₁ = ;

u₂ =

При трансферте Т* = 4 / 9 обе страны увеличат свою полезность до

u_i* = 20 / 9.

Тогда x₁ = 10 / 9 и х₂ = 20 / 9.