Определенный интеграл и его основные свойства
Задача: Найти приращения первообразных для данной функции на данном интервале .
Решение:
;
; ;
; ;
; .
Ответ: .
Вывод: Приращение любой первообразной для функции при изменении аргумента х от 1 до 5 есть величина постоянная, равная 24.
Рассмотрим произвольную функцию . Найдём приращения первообразных для функции при изменении аргумента от до .
- данная функция;
- все первообразные для функции ;
- значение любой первообразной для функции при ;
- значение любой первообразной для функции при ;
- приращение любой первообразной для функции ;
;
Определение: Приращение любой первообразной для функции при изменении аргумента х от до называется определённым интегралом в пределах от а до b от функции .
Обозначение:
а - начальное значение аргумента, нижний предел интегрирования;
b - конечное значение аргумента, верхний предел интегрирования;
- интервал интегрирования.
Замечание: Интеграл в пределах от а до b от функции называется определённым, так как приращение любой первообразной для данной функции (разность значений первообразной при конечном и начальном значениях аргумента) является числом.
Пример:
- Найти приращение любой первообразной для функции при изменении х от до .
Решение:
.
Ответ: .
- Найти приращение любой первообразной для функции при изменении х от до .
Решение:
.
Ответ: .
- Вычислить определённый интеграл в пределах от 0 до p от функции .
Решение:
.
Ответ: .
Правило вычисления определённого интеграла от данной функции
- Найти соответствующий неопределённый интеграл;
- В полученное его выражение подставить вместо х сначала верхний предел интегрирования, а затем нижний.
- Из первого результата вычесть второй.
Замечание:
1) При вычислении определённого интеграла от функции пользуются записью: (формула Ньютона-Лейбница).
2) Так как величина постоянной С не влияет на результат, её не пишут.
Пример: Вычислить:
1. ; ;
2. ; ;
3. ; .
Свойства определённого интеграла
- Определенный интеграл от алгебраической суммы конечного числа функций равен алгебраической сумме определенных интегралов от этих функций:
.
- Постоянный множитель подынтегральной функции можно вынести за знак определенного интеграла: .
- При перестановке пределов интегрирования определенный интеграл меняет знак на противоположный: .
- Определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирования равен нулю:
.
- Интервал интегрирования можно разбивать на части:
, .
Пример: Вычислить:
1)
2)
Упражнение №1: Вычислить определённые интегралы:
1) ; | 2) ; | 3) ; |
4) ; | 5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) ; | 9) ; |
10) ; | 11) ; | 12) . |
Ответы:
1) 168; | 2) ; | 3) ; | 4) ; | 5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) ; | 9) ; | 10) ; | 11) ; | 12) . |
Упражнение №2: Вычислить определённые интегралы:
1) ; | 2) ; | 3) ; |
4) ; | 5) ; | 6) ; |
7) ; | 8) ; | 9) ; |
10) ; | 11) ; | 12) ; |
13) ; | 14) ; | 15) ; |
16) ; | 17) ; | 18) ; |
19) ; | 20) ; | 21) . |
Ответы: