Решение позиционных задач с помощью преобразования комплексного чертежа

Как вы думаете?

В каком случае проще решается задача на пересечение конуса Г с плоскостью?

Многие позиционные задачи, главным образом, задачи на пересечение поверхностей с прямыми или плоскостями общего положения, удобно решать с помощью преобразования комплексного чертежа. В этом случае конечной целью преобразования является получение такой проекции оригинала, при которой участвующие в пересечении прямая или плоскость находятся в частном положении. Тогда в новом положении решение задачи значительно упрощается. При необходимости проекции общего элемента возвращают в исходный чертёж в обратном порядке.

Рассмотрим вышесказанное на конкретном примере.

Задача: Найти точки пересечения сферы с прямой а (рис. 4-62).

Рис. 4-62

Алгоритм:

1. Выбираем решающее положение оригинала. Оно должно быть таким, чтобы прямая а и окружность b на сфере S (рис. 4-63), лежащие в одной плоскости, оказались бы в натуральную величину. Для этого плоскость окружности Г должна быть плоскостью уровня. Выбираем способ замены плоскостей проекций.

Рис. 4-63

2. Так как плоскость Г- проецирующая, то требуется одна замена.

3. Решаем четвёртую задачу преобразования комплексного чертежа. Фиксируем систему П₁ – П₂, проводим базу х₁₂.

4. Меняем П₁ на П₄. П₄ ^ П₂, П || Г Þ х₂₄ || Г₂.

5. От точки О₂ проводим линию связи в системе П₂ – П₄ перпендикулярно Г₂ и откладываем расстояние х₂₄О₄ = х₁₂О₁. Получили центр окружности b, и проводим окружность b₄ радиусом R.

6. Проецируем прямую а на П₄. Для этого на ней отметим точки 1 и 2 и откладываем расстояния: х₂₄1₄ = х₁₂1₁, х₂₄2₄ = х₁₂2₁. Получили а₄.

7. Там, где а₄ пересечётся с b₄, будут точки M₄ и N₄.

8. Возвращаем точки M и N в систему П₂ – П₁ в обратном порядке по принадлежности прямой а (рис. 4-64).

Рис. 4-64

9. Видимость точек можно определить, например, так, как обычно определяют её на сфере: точка М₂ расположена выше экватора Þ М₁ - видимая, точка N₂ - ниже экватора Þ N₂ - невидимая. Точка М₁ расположена ближе плоскости фронтального меридиана Þ М₂ - видимая, точка N₁ - дальше плоскости фронтального меридиана Þ N₂ - невидимая.

Выводы:

1. Преобразование комплексного чертежа значительно упрощает решение метрических и позиционных задач.

2. При решении конструктивных задач важным моментом является выбор решающего положения оригинала.

3. Несмотря на разнообразие конструктивных задач, существует единый алгоритм их решения.

Контрольные вопросы

1. С какой целью применяется преобразование комплексного чертежа?
2. Как формулируются четыре основные задачи преобразования эпюра Монжа?
3. Изменяются ли эти формулировки в разных способах преобразования эпюра Монжа?
4. Сформулируйте основные правила замены плоскостей проекций.
5. Почему задачи 1-2, 3-4 решаются на одном чертеже? Как можно это прокомментировать?
6. Какими элементами в способе вращения можно распоряжаться произвольно?
7. Что происходит с точкой, лежащей на оси вращения, при вращении геометрических фигур?
8. Как вращаются остальные точки?
9. Можно ли одним вращением прямую общего положения поставить в проецирующее положение?
10. Как выбирают новую плоскость проекций относительно остающейся?
11. Как преобразовать плоскость общего положения в проецирующую?
12. Что называется "решающим" положением оригинала?

Тест №1

1. На каком чертеже можно определить расстояние между двумя || прямыми а и в без вспомогательных построений?
2. На каком чертеже можно измерить длину отрезка АВ без вспомогательных построений?
3. В каком случае прямая в ^ АВ?
4. В каком случае расстояние между прямой АВ и точкой К можно определить при помощи одной замены плоскостей проекций?
5. В каком случае расстояние между двумя параллельными прямыми а и в можно определить при помощи двух замен плоскостей проекций?
6. В каком случае расстояние между прямой АВ и точкой К можно определить при помощи двух замен плоскостей проекций?

Тест №2

1. На каком чертеже можно определить истинный вид треугольника АВС без дополнительных построений?
2. На каком чертеже нужно сделать две замены плоскостей проекций, чтобы определить истинный вид треугольника АВС?
3. На каком чертеже нужно сделать одну замену плоскостей проекций, чтобы определить истинный вид треугольника АВС?
4. На каком чертеже можно определить расстояние от точки К до плоскости треугольника АВС без вспомогательных построений?
5. Укажите чертеж взаимно перпендикулярных плоскостей (Г ^ S).
6. На каком чертеже можно определить расстояние между двумя параллельными плоскостями (Г || S) без вспомогательных построений?
7. На каком чертеже можно определить расстояние между двумя параллельными плоскостями (Г || S) при помощи одной замены плоскостей проекций?

Ответы к тесту №1

1-2 2-4,5 3-4,5 4-4 5-6 6-1

Ответы к тесту №2

1-6 2-1 3-3 4-3 5-4 6-2 7-5