Построение плоскости, касательной к поверхности

Касательная плоскость - это множество всех касательных прямых, проведённых к данной кривой поверхности и проходящих через одну её точку.

На чертеже плоскость, касательную к поверхности, можно задавать, например, двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых является касательной к поверхности в данной точке. Но можно касательную плоскость задавать различными условиями, характер которых зависит от вида поверхности.

Например, к конусу касательную плоскость можно провести так, чтобы она проходила через точку М (рис. 4-20), расположенную вне поверхности конуса. Причём, такая задача имеет два решения, так как через данную точку можно провести две плоскости, касающиеся поверхности конуса по образующим SK и SK', которые в то же время являются касательными, соответственно, t и t'.

Рис. 4-20

Как вы думаете?

1. Сколько плоскостей, касательных к поверхности конуса, можно провести через его вершину без других дополнительных условий?

2. Существуют ли особые точки на поверхностях сферы или эллипсоида, или они состоят только из обыкновенных точек? Для ответа на этот вопрос Вам нужно посмотреть модуль № 1, раздел "Касательная и нормаль к кривой", стр. М1-30.

3. Сколько касательных плоскостей можно провести к эллипсоиду через любую точку на его поверхности?

Задача: Через точку М(М₂) на сфере Г с центром в точке О провести плоскость S, касательную к её поверхности (рис. 4-21).

Рис. 4-21

Так как любая прямая, принадлежащая касательной плоскости к сфере, будет перпендикулярна к её радиусу, то задача сводится к построению плоскости, перпендикулярной прямой. Плоскость удобно задать двумя пересекающимися прямыми, каждая из которых будет перпендикулярна радиусу сферы.

Алгоритм:

1. Находим М₁ по принадлежности сфере (рис 4-22).

Рис. 4-22

2. Проводим R₁ и R₂ из центра сферы О₁ и О₂ к точкам М₁ и М₂.

3. Проводим t₁ ^ R₁ - это горизонтальная проекция прямой, перпендикулярной радиусу, а, следовательно, касательной к сфере. Поскольку, прямой угол на П₁ спроецирован в натуральную величину, то прямая t -горизонталь, и её проекция на П₂ будет перпендикулярна линиям связи Þ t₂.

4. Аналогично проводим построения второй касательной t', которая перпендикулярна радиусу (рис. 4-23): t₂' ^ R₂, t₁' ^ линиям связи, то есть t' - фронталь.

5. Плоскость S(t Ç t') ^ R Þ S - касательная к сфере.

Примечание: В данной задаче видимость поверхности не учитывалась.

Рис. 4-23

Алгоритмическая запись решения:

1. М Î Г Þ М₁.

2. ОМ = R Þ O₁M₁ = R₁, O₂M₂ = R₂.

3. S(t Ç t') = M; t=h, t ^ R Þ t₁ ^ R₁, t₂ ^ M₂M₁.

4. t' = f, t' ^ R Þ t₂' ^ R₂, t₁' ^ M₂M₁.

5. S ^ R Þ S - È Г.

Для решения этой задачи можно использовать другие рассуждения.

1. Для нахождения точки М₁ проводим параллель а(а₂, а₁) на поверхности сферы (рис. 4-24).

Рис. 4-24

2. Проводим t - касательную к окружности а(а₁, а₂). t₁ будет перпендикулярна радиусу сферы R₁, а t₂, как касательная к а₂, совпадёт с а₂.

3. Проводим через точку М касательную прямую к окружности с(с₁, с₂) (рис. 4-25). t₂', как касательная к с₂, будет перпендикулярна радиусу R₂, а t₁', как касательная к с₁, совпадёт с с₁.

Рис. 4-25

4. Конечный результат этой задачи тот же, что и рассмотренный выше, и представлен на рис. 4-23.