ЛЕКЦИЯ 2. Математическая модель изображений

КОНСПЕКТ ЛЕКЦИЙ

дисциплины вариативной части профессионального цикла Б.3
«Компьютерная обработка изображений»
Направление подготовки 210100 Электроника и наноэлектроника

Профиль Квантовая и оптическая электроника

Авторский коллектив:

Доцент кафедры физики им. В.А. Фабриканта _______________ Н.М. Скорнякова

Ассистент кафедры физики им. В.А. Фабриканта _______________ А.Ю. Поройков

«15» ноября 2012 г.

Москва 2012 НИУ «МЭИ»

Содержание конспекта лекций

Лекция 1. Принципы компьютерной обработки изображений.

Лекция 2. Математическая модель изображений.

Лекция 3. Дискретизация и квантование изображения.

Лекция 4. Критерии качества изображений.

Лекция 5. Точечные методы фильтрации изображений.

Лекция 6. Гистограммные методы фильтрации: эквализация

Лекция 7. Гистограммные методы фильтрации: преобразование яркостного среза

Лекция 8. Повышение резкости изображений

Лекция 9. Линейная пространственная фильтрация

Лекция 10. Нелинейная пространственная фильтрация

Лекция 11. Выделение контуров.

Лекция 12. Дифференциальные методы выделения контуров.

Лекция 13. Операторы Робертса, Собеля, Лапласа.

Лекция 14. Методы выделения перепадов яркости согласованием.

Лекция 15. Спектр периодического сигнала.

Лекция 16. Преобразование Фурье.

Лекция 17. Спектры импульсов 1.

Лекция 18. Спектры импульсов 2.

Лекция 19. Двумерное преобразование Фурье.

Лекция 20. Дискретное преобразование Фурье. Низкочастотный фильтр.

Лекция 21. Дискретное преобразование Фурье. Высокочастотный и полосовой фильтры.

Лекция 22. FIR фильтры.

ЛЕКЦИЯ 1. Принципы компьютерной обработки изображений

Изображения играют в нашей жизни огромную роль. В начале развития науки и техники существовал только один способ регистрации изображений – их зарисовка. При перерисовке изображения явления неминуемо возникали неточности. Это сильно затрудняло продвижение научных исследований.

В наше время все большую роль в научных исследованиях и повседневной жизни занимают изображения, регистрируемые на фотоаппарат, видеокамеру и т.д.

Изображения, сформированные различными оптико-электронными системами и зарегистрированные с помощью разнообразных приёмников искажаются действием помех различного характера. Искажения изображения вносятся всеми компонентами изображающего прибора, начиная с осветительной системой (например, неравномерность освещенности предмета). Искажения, которые вносит оптическая система, известны еще на этапе её проектирования и называются аберрации. Искажения, которые вносят электронные приёмники излучения, например ПЗС-матрицы, называются электронный шум. Помехи затрудняет визуальный анализ изображения и его автоматическую обработку.

Ослабление действия помех достигается фильтрацией. При фильтрации яркость (сигнал) каждой точки исходного изображения, искаженного помехой, заменяется некоторым другим значением яркости, которое признается в наименьшей степени искаженным помехой. Для выполнения фильтрации необходимо выработать принципы таких преобразований, которые основываются на том, что интенсивность изображения изменяется по пространственным координатам медленнее, чем функция помех. В других случаях, наоборот, признаком полезного сигнала являются резкие перепады яркости.

Цифровая обработка и распознавание изображений - одно из интенсивно развиваемых направлений исследования.

Компьютерная обработка изображений предполагает обработку цифровых изображений с помощью компьютеров или специализированных устройств, построенных на цифровых сигнальных процессорах.

При этом под обработкой изображений понимается не только улучшение зрительного восприятия изображений, но и классификация объектов, выполняемая при анализе изображений. В 60-е годы прошлого века получила развитие особая наука об изображениях – «иконика», которая посвящена исследованиям общих свойств изображений, целей и задач их преобразования, обработки и воспроизведения, распознавания графических образов. Термин «иконика» происходит от греческого «eikon», что означает изображение, образ. Сегодня под ним понимают «создание и обработку изображений с помощью ЭВМ, что совпадает с понятием компьютерной обработки изображений.

В компьютере изображение хранится на жестком диске в виде отдельного файла графического формата. Самым распространенным графическим форматом представления изображения в компьютере является BMP. В этом формате изображение хранится без потерь и искажений, которые являются результатом сжатия изображений (как например графический формат JPEG) в виде битовой матрицы. Минимальный неделимый элемент битовой матрицы – пиксель. Совокупность пикселей образует изображение [7].

Пиксель характеризуется определенным цветом и определенной яркостью. Воздействуя на эти характеристики каждого пикселя – элемента изображения, можно изменять качественные характеристики изображения в зависимости от поставленной задачи.

В методах фильтрации при оценке реального сигнала в некоторой точке кадра принимают во внимание некоторое множество (окрестность) соседних точек, воспользовавшись определенной похожестью сигнала в этих точках. Понятие окрестности является достаточно условным. Окрестность может быть образована лишь ближайшими по кадру соседями, но могут быть окрестности, содержащие достаточно много и достаточно сильно удаленных точек кадра. В этом случае, степень влияния (вес) далеких и близких точек на решения, принимаемые фильтром в данной точке кадра, будет совершенно различной. Таким образом, идеология фильтрации основывается на рациональном использовании данных как из рабочей точки, так и из ее окрестности.

При решении задач фильтрации используют вероятностные модели изображения и помехи, и применяют статистические критерии оптимальности. Это связано со случайным характером помехи и стремлением получить минимальное в среднем отличие результата обработки от идеального сигнала. Многообразие методов и алгоритмов фильтрации связано с большим разнообразием математических моделей сигналов и помех, а также различными критериями оптимальности.

Однако, несмотря на их множество можно объединить методы фильтрации изображений в несколько групп (рисунок 1.1).

Точечные методы. В этом виде обработки применяются алгоритмы, которые изменяют значения яркости элементов изображения исходя из исходных значений яркости этих элементов и их положения в битовой матрице изображения

Гистограммные методы. В этой группе методов фильтрация осуществляется исходя из статистических характеристик изображения. Могут выполняться эквализация гистограммы или формирование заданной гистограммы.

Методы фильтрации

Точечные	Гистограммные	Пространственные	Частотные

Рисунок 1 – Классификация методов фильтрации

Пространственная обработка изображений. В этом виде обработки применяются алгоритмы, которые изменяют значения яркости элементов изображения, основываясь не только на значении яркости изменяемого элемента, но и элементов вокруг него. При этом учитываются пространственные статистические характеристики изображения.

Частотные методы фильтрации. В данном случае обработка производится в частотной (спектральной) области. В некоторых случаях эти методы позволяют отфильтровать изображения намного проще, чем пространственные (например, если на изображении присутствуют шумы с частотой, значительно отличающейся от частот на изображении).

Следует отметить, что данные методы обработки сигналов могут применятся как по отдельности, так и, в совокупности – последовательно. Но надо учитывать, что конечный результат сильно зависит от порядка применения различных методов.

Для определенности необходимо уточнить некоторые определения. Пространственная разрешающая способность изображения — это число выборок, используемых для описания изображения. Чем выше пространственная разрешающая способность, тем большее количество единичных элементов в изображении (пикселей) приходится на единицу площади, тем выше качество изображения. Яркость изображения — это общее значение уровней, используемых для того, чтобы выразить значение интенсивности элементов в изображении. Яркостное изображение связано с числом бит, используемых для хранения каждого элемента изображения. Под фильтрацией изображений будем понимать любые методы обработки изображений, направленные на изменение яркостных, пространственных, статистических, частотных характеристик изображения с целью выделить какие-либо особенности изучаемой картины.

Области применения цифровой обработкив настоящее время значительно расширяются, вытесняя аналоговые методы обработки сигналов изображений. Методы цифровой обработки широко применяются в промышленности, искусстве, медицине, космосе. Они применяются при управлении процессами, автоматизации обнаружения и сопровождения объектов, распознавании образов и во многих других приложениях.

Цифровая передача изображений с космических аппаратов, цифровые каналы передачи сигналов изображений требуют обеспечения передачи все больших потоков информации. Если при передаче цифрового сигнала цветного телевидения необходимо передавать потоки порядка 216 Мбит/с, то для передачи телевидения высокой четкости скорость передачи должна составлять порядка 1 Гбит/c. Формирование изображений, улучшение качества и автоматизация обработки медицинских изображений, включая изображения, создаваемые электронными микроскопами, рентгеновскими аппаратами, томографами и т.д., являются предметом исследования и разработки. Сегодня в медицинской технике широко применяются системы формирования изображения, его преобразования в цифровую форму, визуализация и документирование путем введения в компьютер изображений с помощью специализированных устройств захвата видео.

Автоматический анализ в системах дистанционного наблюдения широко применяется при анализе местности, в лесном хозяйстве, например, для автоматического подсчета площади вырубок, в сельском хозяйстве для наблюдения за созреванием урожая, при разведке, в системах противопожарной безопасности. Контроль качества производимой продукции выполняется благодаря автоматическим методам анализа сцен.

Компьютерная обработка изображений применяется в задачах экспертизы живописи неразрушающими методами. Для восстановления старых фильмов применяются методы автоматической компенсации дефектов видеоматериала, полученного после преобразования киноизображения в видео.

Сегодня трудно представить область деятельности, в которой можно обойтись без компьютерной обработки изображений. Интернет, сотовый телефон, видеокамера, фотоаппарат, сканер, принтер, так прочно вошедшие в наш быт, – немыслимы без компьютерной обработки изображений.

При компьютерной обработке изображений решается широкий круг задач, таких как улучшение качества изображений; измерение параметров; спектральный анализ многомерных сигналов; распознавание изображений; сжатие изображений.

Устройства формирования изображений получили широкое распространение и применение в самых различных областях науки, техники, промышленности, медицине, биологии и др. Они являются неотъемлемыми компонентами систем и устройств, применяемых в фотокинотехнике, телевидении, системах технического зрения: дневного, ночного и теплового видения, при дистанционном зондировании Земли. Назначение этих систем предполагает решение комплекса технических и научных задач, требующих синтеза и анализа методов обработки, бинаризации, классификации изображений. Развитие микроэлектроники, переход от аналоговой формы сигналов к цифровой позволяют расширить палитру и повысить сложность применяемых алгоритмов для решения поставленных задач.

ЛЕКЦИЯ 2. Математическая модель изображений

Компьютерная обработка изображений возможна после преобразования сигнала изображения из непрерывной формы в цифровую форму. Эффективность обработки зависит от адекватности модели, описывающей изображение, необходимой для разработки алгоритмов обработки. При этом необходимо учитывать влияние передающей и приемной систем и канала связи на сигнал изображения. Модель изображения представляет систему функций, описывающих существенные характеристики изображения: функцию яркости, отражающую изменение яркости в плоскости изображения, пространственные спектры и спектральные интенсивности изображений, функции автокорреляции. Канал изображения содержит оптическую систему, оптико – электрический преобразователь, устройство аналого - цифрового преобразования (АЦП) и цифровой обработки сигналов изображения. В общем случае непрерывное изображение может быть представлено функцией пяти аргументов: трех пространственных координат, времени и длины волны электромагнитного излучения. Упрощения модели пространственно - временных сигналов в некотором диапазоне волн f (x, y, z,t,λ) приводят к моделям пространственно - временного сигнала f (x, y,z,t), пространственного сигнала f (x, y, z) , временного сигнала f (t) . Здесь x, y,z – пространственные координаты, t – время, λ – длина волны электромагнитного излучения.

Из курса физики хорошо известно понятие оптической системы, осуществляющей преобразование изображений по правилам, определяемым совокупностью используемых в ней оптических элементов и их взаимосвязью.

С математической точки зрения под системой будем понимать правило , ставящее в соответствие входной функции f выходную функцию g. Различают одномерные (1-D) и двумерные (2-D) системы. Одномерные системы преобразуют функции одной переменной:

Соответственно двумерные системы преобразуют функции двух переменных:

Оптические системы по сути своей являются двумерными, но в некоторых случаях могут рассматриваться как одномерные. Особое место среди всевозможных систем занимают линейные системы. Система называется линейной, если для нее справедлив принцип суперпозиции (наложения), который заключается в том, что отклик системы на взвешеную сумму двух входных воздействий равен взвешеной сумме откликов на каждое из воздействий, то есть

Принцип суперпозиции можно выразить в более общем виде, рассматривая произвольное число K входных воздействий:

В изучении оптических систем фундаментальную роль играет понятие точечного источника света. Точечный источник обладает бесконечно большой плотностью вероятностей распределения яркости в бесконечно малой пространственной области – в точке:

Такое представление исключительно полезно и допускает ясную физическую трактовку: дельта-функция может быть определена как предел обычной функции, например

(2.1)

Согласно (2.1) дельта-функция может рассматриваться как бесконечно узкая колоколообразная функция, одномерный вариант которой приведен на рисунке 2.1.

Можно также ввести дельта-функцию, расположенную не в начале координат, а в произвольной точке с координатами (x₁, x₂) по формуле

Рисунок 2.1 – Физическая трактовка дельта-функции Дирака

Дельта-функция обладает следующими важными свойствами:

Свойство нормировки:

(2.2)

Физически это означает, что, хотя плотность вероятностей распределения яркости точечного источника бесконечна, энергия его ограничена и равна единице.

Фильтрующее свойство:

(2.3)

где f(x₁, x₂) – произвольная функция двух переменных. Доказательство приведенных свойств выполняются с помощью подстановки в (2.2) и (2.3) выражения (2.1) и раскрытия предела.

Рассмотрим 2-D линейную систему, на вход которой подан сигнал в виде дельта-функции. Реакция системы на дельта-функцию будет разной для различных систем. Она называется импульсным откликом и служит характеристикой 2-D системы. Систему называют пространственно-инвариантной, если ее импульсный отклик зависит от разности координат входной (x₁, x₂) и выходной (x₁, x₂) плоскостей. Для оптической системы, показанной на рисунке 2.2, это означает, что при перемещении точечного источника во входной (предметной) области изображение этого предмета в плоскости наблюдения будет также изменять положение, но сохранять форму.

Рисунок 2.2 – Оптическая пространственно-инвариантная система

Для пространственно-инвариантных систем импульсный отклик описывается функцией

Используя функцию импульсного отклика, можно записать уравнение, связывающее изображения на входе и выходе 2-D линейной оптической системы. Для этого представим входной сигнал f(x₁, x₂) в виде (2.3) и подадим его на вход 2-D системы с характеристикой h(x₁, x₂). Выходной сигнал запишем в виде

(2.4)

Поскольку операция линейна, и операция интегрирования в фигурных скобках (2.4) также линейна, их можно поменять местами и записать, что

Учитывая, что по определению

окончательно получаем выражение, устанавливающее связь между изображениями во входной и выходной плоскостях линейной системы:

(2.5)

Уравнение (2.5) называется интегралом свертки. Из этого уравнения следует, что, зная импульсный отклик оптической системы h(x₁, x₂), можно рассчитать выходное изображение по входному. Процесс свертки иллюстрирует рисунок 2.3. На рисунке 2.3а и 2.3б изображены функция f(x₁, x₂) на входе и импульсный отклик. На рисунке 2.3в показан импульсный отклик при обращении координат, а на рисунке 2.3г – со сдвигом на величину x₁, x₂. На рисунке 2.3д заштрихована область, в которой произведение ,
входящее в подынтегральное выражение (2.5), не равно нулю. Интегрирование по этой области дает величину g(x₁, x₂) для заданных значений координат x₁, x₂. Таким образом, функция g(x₁, x₂) на выходе может быть найдена сканированием входной функции скользящим «окном» – обращенным импульсным откликом, и интегрированием по области, в которой эти функции перекрываются.

Рисунок 2.3 – Пример двумерной свертки