Приведём решение методом координат.
Пусть сторона BC лежит на оси Ox, а сторона AD лежит на оси Oy. Найдем координаты вершин четырехугольника: 
Пусть M — середина AB, и N — середина CD. По формуле нахождения координат середины отрезков, найдем координаты точек M и N: 
Определим длину отрезка MN через координаты его концов: 
Пусть точки P и Q — середины диагоналей AC и BD. Аналогично получаем: 
Тема самым, что 
Следовательно, искомая длина равна 1 метру.
Критерии проверки:
Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 2.
Задание 24 № 311717
10.Каждое основание 
и 
трапеции 
продолжено в обе стороны. Биссектрисы внешних углов 
и 
этой трапеции пересекаются в точке 
, биссектрисы внешних углов 
и 
пересекаются в точке 
. Найдите периметр трапеции , если длина отрезка 
равна 28.
Решение.
Углы 
и 
— односторонние при параллельных прямых и и секущей 
. Значит их сумма равна 180°.
— биссектриса угла ; 
.
— биссектриса угла ; 
.
Тогда сумма углов 
и 
равна 90°, значит треугольник — прямоугольный. Аналогично, треугольник 
— прямоугольный. Точки и — точки пересечения биссектрис внешних углов трапеции , значит, и — равноудалены от параллельных прямых и . (Точка равноудалена от сторон угла 
и , и равноудалена от сторон угла 
и 
, т. к. лежит на биссектрисах соответствующих углов).
Таким образом, прямая параллельна прямым и , и по теореме Фалеса точки 
и 
, середины сторон и 
и 
— средняя линия трапеции (по определению).
Из прямоугольного треугольника , 
( 
— медиана, проведенная к гипотенузе). Из прямоугольного треугольника 
, 
( 
— медиана, проведенная к гипотенузе. 
Значит, периметр трапеции равен 56.
Ответ: 56.
Критерии проверки:
Источник: Пробный экзамен. Санкт-Петербург — 2013, вариант 1.
Задание 24 № 311712
11.Найдите площадь выпуклого четырёхугольника с диагоналями 8 и 5, если отрезки, соединяющие середины его противоположных сторон, равны.
Решение.
Пусть — данный четырёхугольник, 
— середина стороны 
— середина стороны 
— середина стороны 
— середина стороны 
. Проведём диагонали 
и 
и отрезки 
и 
, последовательно соединяющие середины сторон четырёхугольника. Тогда, по свойству средней линии треугольника, отрезки 
и 
параллельны диагонали и равны её половине, а отрезки 
и параллельны диагонали и равны её половине. Поэтому 
— параллелограмм. А так как, по условию задачи, его диагонали 
и 
равны, то — прямоугольник, и угол 
— прямой. Отсюда следует, что и угол между диагоналями и тоже прямой, и, следовательно, площадь четырёхугольника будет равна половине произведения его диагоналей, то есть 
Ответ: 20.
Критерии проверки:
Источник: Тренировочные работы. Иркутск — 2013, вариант 3.
Задание 24 № 128
12. 
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.
Решение.
Так как AB = CD, то трапеция является равнобедренной. Опустим перпендикуляр BL из точки B на большее основание AD. Прямоугольные треугольники ABL и CHD равны по гипотенузе и прилежащему острому углу, поэтому AL = HD. Средняя линия равна полусумме оснований:
Так как AL = HD, имеем: 
, значит, 
Ответ: HD = 12.
Критерии проверки:
Источник: ГИА по математике 28.05.2013. Основная волна. Вариант 1309.
Задание 24 № 339511
13. 
В треугольнике ABC отмечены середины M и N сторон BC и AC соответственно. Площадь треугольника CNM равна 57. Найдите площадь четырёхугольника ABMN.
Решение.
Поскольку — средняя линия треугольника 
и 
Рассмотрим треугольники 
и 
углы 
и 
равны как соответствующие углы при параллельных прямых, угол — общий, следовательно, эти треугольники подобны. Откуда коэффициент подобия 
Площади подобных фигур соотносятся как квадрат коэффициента подобия, поэтому 
Найдём площадь четрыёхугольника 
Ответ: 171.
Критерии проверки:
Задание 24 № 315116
14. 
В трапеции АВСD боковые стороны AB и CD равны, CH — высота, проведённая к большему основанию AD. Найдите длину отрезка HD, если средняя линия KM трапеции равна 16, а меньшее основание BC равно 4.
Решение.
В трапеции средняя линия равна полусумме оснований, поэтому можем найти большее основание 
зная 
и 
Проведём в трапеции вторую высоту 
Трапеция равнобедренная, поэтому 
Рассмотрим два треугольника: 
и 
, они прямоугольные, имеют равные углы и равно 
следовательно, эти треугольники равны. Таким образом, равны отрезки 
и 
Также рассмотрим четырёхугольник 
, все углы в нём — прямые, следовательно, это прямоугольник, значит, 
Теперь найдём длину отрезка 
Ответ: 12.
Критерии проверки:
Ответ: 12
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 24 № 311860
15.Основания трапеции равны 16 и 34. Найдите отрезок, соединяющий середины диагоналей трапеции.
Решение.
Пусть в трапеции ABCD с основаниями BC = 16 и AD = 34. Обозначим середину диагоналиAC через N, середину диагонали BD через M, а середину стороны CD через K.
ТогдаNK — средняя линия треугольника ACD, MK — средняя линия треугольника BCD. Значит, точки N, M и K лежат на одной прямой, и NM = NK − MK = 9.
Ответ: 9.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 01.10.2013 вариант МА90106.
Задание 24 № 316359
16.Биссектриса угла A параллелограмма пересекает его сторону в точке 
Найдите площадь параллелограмма 
если 
а 
Решение.
Накрест лежащие углы 
и 
равны, 
— биссектриса угла 
следовательно,
Значит, треугольник равнобедренный и 
По формуле площади параллелограмма находим
Ответ: 35.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Тренировочная работа по математике 19.02.2014 вариант МА90501.
Задание 24 № 333130
17.Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 24, BF = 10.
Решение.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° , значит,
Получаем, что треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F . По теореме Пифагора находим AB:
Ответ: 26.
Критерии проверки:
Источник: МИОО: Диагностическая работа по математике 17.04.2014 вариант МА90605
Задание 24 № 339403
18.Биссектрисы углов A и D параллелограмма ABCD пересекаются в точке, лежащей на стороне BC. Найдите AB, если BC = 34.
Решение.
По определению параллелограмма 
— секущая при параллельных прямых, следовательно, углы и равны как накрест лежащие. Поскольку 
треугольник 
— равнобедренный, откуда 
Аналогично, треугольник — равнобедренный и 
Стороны и равны, как противоположные стороны параллелограмма, следовательно:
Ответ: 17.
Критерии проверки:
Задание 24 № 339709
19.Биссектрисы углов A и B параллелограмма ABCD пересекаются в точке K. Найдите площадь параллелограмма, если BC = 19, а расстояние от точки K до стороны AB равно 7.
Решение.
Проведём через точку пересечения биссектрис высоту. Введём обозначения как показано на рисунке. Рассмотрим треугольники 
и 
они прямоугольные, углы 
и 
равны, сторона — общая, следовательно, треугольники равны, откуда 
Аналогично, равны треугольники H и 
откуда 
Найдём площадь параллелограмма как произведение основания на высоту:
Ответ: 266.
Критерии проверки:
Задание 24 № 339619
20.Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 15 и 7, а средняя линия равна 10.
Решение.
Пусть 
— длина средней линии. Проведём высоту 
и проведём прямую 
параллельную 
Рассмотрим четырёхугольник 
следовательно, 
— параллелограмм, откуда 
Рассмотрим треугольник 
Пусть 
— полупериметр треугольника 
Найдём площадь треугольника 
по формуле Герона:
Выразим площадь треугольника как произведение основания на высоту 
откуда найдём 
Площадь трапеции равна произведению высоты на полусумму длин оснований: 
Ответ: 42.
Критерии проверки:
Задание 24 № 351992
21.Найдите боковую сторону AB трапеции ABCD, если углы ABC и BCD равны соответственно 60° и 150°, а CD = 33.
Решение.
Введём обозначения как показано на рисунке. Проведём высоты и 
В трапеции сумма смежных углов при боковой стороне равна 180°, поэтому 
Из прямоугольного треугольника найдём сторону
Углы и 
равны как накрест лежащие углы при параллельных прямых. Высоты и равны. Из прямоугольного треугольника 
найдём 
Ответ: 
Источник: Банк заданий ФИПИ
Задание 24 № 352568
22.Биссектрисы углов A и B при боковой стороне AB трапеции ABCD пересекаются в точке F. Найдите AB, если AF = 20, BF = 15.
Решение.
Сумма углов, прилежащих к боковой стороне трапеции, равна 180° , значит,
Получаем, что треугольник ABF прямоугольный с прямым углом F . По теореме Пифагора находим AB:
Ответ: 25.
Ответ: 25
Задание 24 № 353511
23.Найдите площадь трапеции, диагонали которой равны 16 и 12, а средняя линия равна 10.
Окружности
Задание 24 № 311650
1.В треугольнике угол равен 72°, угол равен 63°, 
. Найдите радиус описанной около этого треугольника окружности.
Решение.
Угол треугольника равен 
= 180° − 
− 
= 45°.
Радиус описанной окружности равен 
.
Ответ: 2.
Критерии проверки:
Источник: ГИА-2013. Математика. Пробные варианты от ФИПИ (1 вар.)
Задание 24 № 340853
2.Окружность с центром на стороне AC треугольника ABC проходит через вершину C и касается прямой AB в точке B. Найдите диаметр окружности, если AB = 15, AC = 25.
Решение.
Пусть DC = x. Тогда по свойству касательной и секущей, проведённых из одной точки к окружности, получаем:
откуда 
Ответ: 16.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90201.
Задание 24 № 340879
3.Окружность, вписанная в треугольник ABC , касается его сторон в точках M, K и P. Найдите углы треугольника ABC, если углы треугольника MKP равны 49°, 69° и 62°.
Решение.
Пусть
∠BAC = α , ∠ABC = β , ∠ACB = γ;
∠PKM = 49°, ∠MPK = 69°, ∠KMP = 62°.
По свойству касательных AM = AP, BM = BK , CP = CK . Значит, треугольники AMP, BMK и CPK равнобедренные, откуда получаем:
Значит, 
Аналогично получаем, что 
и 
Решая систему относительно α , β и γ , получаем, что углы треугольника ABC равны 82°, 42°, 56°.
Ответ: 82°, 42°, 56°.
Критерии проверки:
Источник: СтатГрад: Тренировочная работа по математике 26.11.2014 вариант МА90202.
Задание 24 № 339492
4.Окружность пересекает стороны AB и AC треугольника ABC в точках K и P соответственно и проходит через вершины B и C. Найдите длину отрезка KP, если AK = 18, а сторона AC в 1,2 раза больше стороны BC.