Тема 4. Плоскость. Взаимное положение прямой и плоскости

29. Построить недостающие проекции точек, принадлежащих плоскости общего положения[39]:

а) МÎS(аúú b); РÎS(аúú b) (рис. 55, а), б), DÎS(А,В,С) (рис. 55, б).

а б

Рис. 55

29.1.Точкапринадлежит плоскости, если она принадлежит прямой, принадлежащей этой плоскости[43].В свою очередь,прямая принадлежит плоскости, если две точки этой прямой принадлежат плоскости[43].

29.2. Чтобы точка М принадлежала плоскости S(аúúb) (рис. 55, а), необходимо чтобы ее горизонтальная проекция располагалась на соответствующей линии связи (п. 1.3) и принадлежала проекции прямой, принадлежащей плоскости, т. е. прямой а (рис. 56, а).

29.3. Для точки Р необходимо провести дополнительную прямую l, проходящую через точку Р и принадлежащую плоскости.

29.4. Для определения D₁ (рис. 55, б) изменим способ задания плоскости

S(А, В, С) ®S(А, ВС) (рис. 56, б).Далее решение аналогично 29.2, 29.3.

а б

Рис. 56

29, а. Определить недостающие проекции точек D, Е и F, принадлежащие плоскости S(DАВС)

Рис. 57

31. Построить горизонтальную проекцию плоскости, заданной в виде точки А и прямой ВС – Σ(А, ВС)[40-41], рис. 58, а. Указать ее название и углы наклона к плоскостям проекций.

31.1. По двум проекциям строим третью (см. задачи 7, 8). По проекции на горизонтальную плоскость определяем, что это горизонтально проецирующая плоскость[40-41], угол наклона к которой a = 90°. Углы b и g показаны на чертеже (рис, 58, б).

а б

Рис. 58

31, а. Построить фронтальную и профильную проекцию горизонтально проецирующей плоскости Σ(А, ВС) (рис. 59). Указать ее углы наклона к плоскостям проекций.

Рис. 59

32. Построить фронтальную проекцию фронтально проецирующей плоскости, заданной в виде пересекающихся прямых – Σ(a´b) [40-41] . Указать ее углы наклона к плоскостям проекций (рис. 60, а).

32.1. Так как фронтально проецирующая плоскость [40-41] проецируется на фронтальную плоскость проекций в виде одной прямой, то для ее построения достаточно найти положение проекций двух точек, принадлежащих плоскости Σ(a´b). Фронтальную проекцию точки К определяем по линиям связи (см. п. 1.3). Далее находим проекции произвольной точки А, принадлежащей прямой а (см. задачу 7 и 8)

а б

Рис. 60

Угол наклона к фронтальной плоскости проекций фронтально проецирующей плоскости равен 90°, а углы наклона к горизонтальной и профильной плоскостям проекций (a и g) показаны на чертеже (рис. справа).

32, а. Построить недостающие проекции фронтально проецирующей плоскости, заданной в виде треугольника– Σ(DАВС)[40-41] наклоненной под углом 30° к горизонтальной плоскости (рис. 61).

Рис. 61

33. Построить профильную проекцию профильно проецирующей плоскости, заданной в виде трех точек –Σ(А, В, С)[40-41](рис. 62, а). Указать ее углы наклона к плоскостям проекций.

33.1. По двум проекциям строим третью (рис. 62, б). Так как профильно проецирующая плоскость [40-41] перпендикулярна к профильной плоскости проекции, то ее проекция на эту плоскость будет изображаться в виде прямой линии. Поэтому достаточно определить проекции двух точек (принадлежащих плоскости) на профильную плоскость – точек С и А (см. задачи 7 и 8).

а б

Рис. 62

33.2. По определению профильно проецирующей плоскости – угол наклона к профильной плоскости g = 90°. Углы a и b показаны на чертеже (рис. 62).

33.3. Для проверки правильности решения задачи определим профильную проекцию точки В, которая должна лежать на профильной проекции линии АС.

33, а. Построить горизонтальную и фронтальную проекцию профильно проецирующей плоскости S(DАВС) (рис. 63). Показать углы наклона к плоскостям проекций.

Рис. 63

.34. Достроить проекции равностороннего треугольника АВС, принадлежащего плоскости S÷÷ П₁ (рис. 64, а).

а б

Рис. 64

34.1. Все плоские фигуры, принадлежащие горизонтальной плоскости проекции, будут иметь действительные размеры, что можно сказать и о проекциях плоских фигур, расположенных в плоскостях, параллельных горизонтальной плоскости. Таким образом, плоские фигуры, параллельные плоскости проекций, принадлежат плоскостям уровня(параллельная горизонтальной плоскости проекций – горизонтальная плоскость уровня, фронтальная плоскость уровня параллельна фронтальной плоскости и профильная плоскость уровня параллельна профильной плоскости проекций) [40] и будут иметь размеры натуральной величины. Поэтому для нашей задачи проекция треугольника АВС на горизонтальную плоскость будет равносторонним треугольником. Зная сторону А₁В₁, строим равносторонний треугольник А₁В₁С₁ (рис. 64, б).

34.2. Горизонтальная плоскость проекций на фронтальную и профильную плоскости будет проецироваться в виде прямой линии, которые будут параллельны осями Х и Y соответственно. Тогда любая плоскость параллельная ей также будет проецироваться в виде прямой линии, параллельной этим осям. Для нашей задачи, учитывая последнее, можно сказать, что треугольник АВС будет иметь проекцию на фронтальную плоскость в виде отрезка, параллельного оси Х. Далее по линии связи определяем фронтальную проекцию точек В и С.

34, а. Достроить проекции равностороннего треугольника АВС (рис. 65), принадлежащего плоскости S÷÷ П₂. Написать название плоскости (общего или частного положения). Написать название стороны АС.

Рис. 65

35. На рис. 66, а показано графическое условие задачи, для которой необходимо построить горизонтальную и фронтальную проекции прямоугольного треугольника АВС, если один из катетов является фронтально проецирующим (см. задачу 20). На рис. 66, б показано графическое решение задачи.

а б

Рис. 66

36. Через точку С провести горизонталь h и фронталь f (см. задачи 10 и 11), принадлежащие плоскости S(DАВС), рис. 67, а.

36.1. Через точку В (рис. 67, б) проводим принадлежащую плоскости S(DАВС) горизонталь h (см. задачи 10, 29), через точку А фронталь f (см. задачи 11, 29), параллельно которым через точку С проводим фронталь f¢ и горизонталь h¢.

а б

Рис. 67

36, а. Через точку B (рис. 68) провести горизонталь h, фронталь f и профильную прямую уровня р, принадлежащие плоскости S(DАВС).

Рис. 68

37. Через точку С провести горизонталь h, параллельную S(а, В), рис. 69, а.

37.1. Через точку В (рис. 69, б) проводим горизонталь (см. задачу 10), принадлежащую S (см. задачу 36).

37.2. На основании того, что прямая параллельна плоскости, если она параллельна любой прямой, принадлежащей плоскости (признак параллельности прямой и плоскости[43]), проводим через точку С прямую h^/ (через С₁ проводим h^/₁║h₁, через С₂ - h^/₂║h₂).

а б

Рис. 69

37, а. Через точку С (рис. 70) провести фронталь f (см. задачу 11, 37) параллельную S(а, В).

Рис. 70

38. Построить горизонтальную проекцию отрезка ВС, параллельного плоскости Σ(а∩b), рис. 71, а.

38.1. Определяем проекции линии, принадлежащей Σ (см. задачу 29) и параллельной ВС, рис. 71, б.

38.2. Определяем вторую проекцию ВС (см. задачу 37).

а б

Рис. 71

38, а. Построить фронтальную проекцию отрезка DE (рис. 72), параллельного плоскости D(DАВС).

Рис. 72

39. Определить точку пересечения прямой l с фронтально проецирующей плоскостью t(aÇb) и видимость прямой (рис. 73, а).

39.1. Определяем фронтальную проекцию точки пересечения как проекцию точки пересечения t₂ и l₂ – C₂ (рис 73, б).

39.2. По линии связи (п. 1.3) определяем вторую проекцию точки пересечения – С₁.

39.3. Видимость линии[46] l определяем по фронтальной проекции: стрелка, обозначающая направления взгляда (сверху – вниз), показывает, что слева от точки пересечения С видна плоскость t, а затем прямая l. Справа, наоборот, сначала видна прямая, а затем ‑ плоскость. Показываем видимость на горизонтальной проекции (рис. 73, б).

а б

Рис. 73

39. а. Определить точку пересечения прямой l с горизонтально проецирующей плоскостью t и участки видимости прямой (рис. 74).

Рис. 74

40. Определить проекции точки пересечения горизонтально проецирующей прямой h с плоскостью D(aIIb)и участки видимости прямой (рис. 75, а).

40.1. Точка пересечения прямой с плоскостью принадлежит прямой и плоскости. Так как прямая является проецирующей, то горизонтальная проекция точки пересечения К совпадет с горизонтальной проекцией прямой h (рис. 75, б).

40.2. Определяем фронтальную проекцию точки пересечения (см. зад. 29).

40.3. Видимость определяем по конкурирующим точкам 3 и 4 (см. задачу 6), имея в виду, что одна точка принадлежит прямой, а другая ‑ плоскости. По горизонтальной проекции определяем, что ближе точка 3 (видна), а точка 4 дальше (не видна), т. е. на фронтальной проекции будет видна часть прямой с точкой 3 до точки пересечения К.

а б

Рис. 75

40, а. Определить проекции точки пересечения фронтально проецирующей прямой h с плоскостью D(aIIb) и участки видимости прямой (рис. 76).

Рис. 76

41. Определить проекции точки пересечения отрезка АВ с плоскостью S и участки видимости этого отрезка (рис. 77, а).

41. 1. Горизонтальная проекция точки пересечения определяется аналогично задаче 39. Фронтальная проекция – см. задачу 15, 18. Видимость (см. задачу 40) – на горизонтальной проекции ближе точка А, значит на фронтальной проекции будет виден участок от точки А до точки К.

а б

Рис. 77

41, а. Определить проекции точки пересечения отрезка АВ с плоскостью S и участки видимости этого отрезка (рис. 78).

Рис. 78

42. Построить горизонтальную и профильную проекции линии пересечения фронтально проецирующих плоскостей (см. задачу 32) t и w (рис. 79, а).

42.1. Обе плоскости перпендикулярны к фронтальной плоскости проекций (рис. 79, б), и их общая линия тоже будет перпендикулярна ей, т. е. линия пересечения будет фронтально проецирующая прямая h (см. задачу 20).

а б

Рис. 79

42, а. Построить горизонтальную и профильную проекции линии пересечения горизонтально проецирующих плоскостей t и w (рис. 80)

Рис. 80

.

43. Построить линии пересечения двух плоскостей S(a║b) и t (рис 81, а).

43.1. Две плоскости пересекаются по прямой линии. Таким образом, для определения линии пересечения достаточно найти две общие точки указанных плоскостей, т. е. решить дважды задачу 39. Решение на рис. 81, б.

а б

Рис. 81

43, а. Построить линии пересечения двух плоскостей S(DАВС) и горизонтально проецирующей плоскости t (рис. 82).

Рис. 82

44. Определить проекции точки пересечения прямой m с плоскостью W(АВСD) и участки видимости прямой (рис. 83, а).

44.1. Решение выполним способом проецирующих плоскостей[45-46]. Через прямую m проводим фронтально проецирующую плоскость (см. задачу 32).

44.2. Определяем линию 12 пересечения (рис. 83, б) заданной плоскости W co вспомогательной проецирующей плоскостью S (см. задачу 43). Прямая 12 пересечения плоскостей определяется по точкам 1 и 2 пересечения сторон CD и АВ плоскости W с проецирующей плоскостью S.

44.3. Определяем точку К пересечения прямой m с прямой линией 12 пересечения плоскостей. Точка К является искомой точкой пересечения прямой m и плоскости W.

44.4. Видимость (см. задачи 6, 39 и 40) прямой определяем по конкурирующим точкам: на горизонтальной проекции – точки 3(4) (3 принадлежит прямой m и располагается выше, чем точка 4, принадлежащая плоскости W), на фронтальной – точки 1(5) (1 принадлежит плоскости W и располагается ближе, чем точка 5, принадлежащая прямой т).

аб

Рис. 83

45. Для задачи на рис. 84, а (определить проекции точки пересечения прямой m с плоскостью W(аIIb) и участки видимости прямой; графическое решение: рис. 84, б) написать алгоритм решения.

45. 1. Задача решается аналогично задаче (рис. 84, б).

а б

Рис. 84

45. 2 Написать алгоритм (описание решения) задачи 45

44-45, а. Определить проекции точки пересечения прямой l с плоскостью W(DАВС), рис. 85, и участки видимости прямой.

Рис. 85

46. Определить линию пересечения двух непрозрачных пластин и видимость их сторон (рис. 86).

46.1. Для решения задачи необходимо найти две точки, принадлежащие линии пересечения двух плоскостей (рис. 87). Для этого определим точку К – пересечения стороны АС с плоскостью треугольника EDF и точку L – пересечения стороны СВ и плоскости треугольника EDF (см. задачу 44, 45).

46.2. Соединяем прямой линией найденные точки и получаем линию пересечения плоскостей.

46.3. Определение видимости по точкам 6(1) и 5(4) (п. 44.3).

Рис. 87

46, а. Определить линию пересечения двух непрозрачных пластин и видимость их сторон (рис. 88).

Рис. 88

47. Из точки D восстановить перпендикуляр к плоскости D(DABC) (рис. 89, а).

47.1. Определяем принадлежность точки D к плоскости D(DABC), рис. 89, б (см. задачу 29). Для этого проведем прямую a и убедимся, что точка D принадлежит плоскости, а значит, эта точка является точкой основания перпендикуляра b.

47.2. Для того, чтобы прямая была перпендикулярна к плоскости, необходимо, чтобы она была перпендикулярна к двум пересекающимся прямым, принадлежащим плоскости (признак перпендикулярности прямой и плоскости[47]). Так как АВ – фронталь (см. задачу 11), а СВ ‑ горизонталь (см. задачу 10), то восстановим линии, перпендикулярные к соответствующим проекциям, проходящий через точку D (см. задачу 28), которые будут являться проекциями перпендикуляра к плоскости.

47.3. Определим видимость перпендикуляра по точкам 4 и 5 для горизонтальной проекции и точкам 2 и 3 для фронтальной проекции (см. задачу 44).

а б

Рис. 89

47, а. Из точки D восстановить перпендикуляр к плоскости D(DABC). Определить основание перпендикуляра и его видимость, рис. 90.

Рис. 90

48. Через точку А провести плоскость S(c´d), параллельную плоскости W(aIIb), рис. 91.

Рис. 91

48.1. Плоскости параллельны, если две пересекающиеся прямые одной плоскости параллельны двум пересекающимся прямым другой плоскости (признак параллельности плоскостей[48]). Проводим дополнительную прямую е (рис. 92), принадлежащую плоскости W (см. задачу 29) и пересекающую прямые a и b (см. задачу 32).

48.2. Параллельно проекциям прямых принадлежащих плоскости W, через проекции точки А проводим проекции прямых с и d, принадлежащих плоскости S.

Рис. 92

48, а. Через точку А провести плоскость W(А, с) (см. задачу 31), параллельную фронтально проецирующей плоскости S(а´b), т. е. показать фронтальную и горизонтальную проекцию прямой, принадлежащей плоскости W (рис. 93).

Рис. 93

49. Через точку А провести плоскость S(aIIb) перпендикулярно плоскости W(h´f), рис. 94, а.

49.1. Если линия одной плоскости перпендикулярна к другой плоскости, то плоскости взаимно перпендикулярны (признак перпендикулярности плоскостей[47]). На основании признака перпендикулярности прямой и плоскости (см. зад. 47) проводим прямую b, перпендикулярную плоскости W (рис. 94, б).

49.2. Проводим прямую а параллельно прямой b (см. задачу 25).

а б

Рис. 94

49, а. Через точку А провести плоскость параллельную плоскости S(aIIb) (рис. 95).

Рис. 95

Контрольные вопросы

1. Сформулировать определение плоскости общего положения и способы задания ее на комплексном чертеже.

2. Сформулировать определение плоскости частного положения и ее свойства. Показать способы задания.

4. Дайте определение взаимного положения точки и прямой относительно плоскости. Показать на примерах.

5. Сформулируйте признаки параллельности и перпендикулярности прямой и плоскости. Покажите на примерах.

6. Сформулируйте признаки параллельности и перпендикулярности двух плоскостей. Покажите на примерах.

7. Сформулируйте алгоритм определения линии пересечения двух плоскостей.

Тема 5. Преобразование комплексного чертежа