Способ секущих концентрических сфер

Способ сфер основан на свойстве пересечения двух соосных поверхностей вращения по окружности (рис. 18). Сфера является частным видом поверхности вращения, Поэтому она также пересекает соосную с ней поверхность вращения по окружности (рис. 19).

Рис. 18 Рис. 19

Рис. 20

Способ концентрических сфер применяют при построении точек линии пересечения поверхностей вращения с пересекающимися осями. Для простоты важно, чтобы оси пересекающихся поверхностей были параллельны одной из плоскостей проекций. В этом случае окружности, по которым вспомогательные сферы пересекают поверхности, будут проецироваться на плоскость проекций в виде отрезков прямых. За центр сфер принимается точка пересечения осей заданных поверхностей. Первоначально определим опорные точки и радиусы минимальной и максимальной сфер. Радиус максимальной сферы равен расстоянию от центра сфер до наиболее удаленной точки пересечения линий очерков поверхностей. Радиус минимальной сферы определяется из условия касания минимальной сферы одной поверхности (вписывается в поверхность) и пересечения второй (рис. 20).

Рассмотрим применение способа секущих концентрических сфер на примере построения линий пересечения двух конусов с пересекающимися осями (рис. 20).

Отмечаем проекции точки О (О₁,О₂) пересечения заданных конусов и принимаем их за проекции общего центра всех секущих сфер. Отмечаем фронтальные проекции верхних 1₂ и 1₂` и нижних 2<sub>2</sub> и 2<sub>2</sub>` точек линий пересечения поверхностей. С помощью линий связи, проведенных из точек 1₂,2₂,1₂` и 2<sub>2</sub>`, находим горизонтальные проекции 1₁,2₁,1₁` и 2<sub>1</sub>` точек 1,2,1` и 2`. Линии связи проводим до пересечения их с горизонтальными проекциями фронтальных очерковых линий конусов, совпадающих на виде сверху с горизонтальной осевой линией. Максимальный радиус R_max секущей сферы равен отрезку О₂2₂, т.е. расстоянию от центра сфер до наиболее удаленнной точки пересечения очерковых образующих. Для определения минимального радиуса R_min секущей сферы из точки О₂ опускаем перпендикуляры на прямолинейные образующие конусов. Больший из этих перпендикуляров (перпендикуляр на образующую конуса Ф) принимаем за R_min. Для построения промежуточных (регулярных) точек линий пересечения обе поверхности рассекаем концентрическими сферами, радиусы которых находятся в диапазоне

R_min<R<R_max

Рассечем поверхности сферой S`, радиус которой несколько меньше R_max. Эта сфера пересекает конус Ф по двум окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость в виде отрезков А₂В₂ и С₂D₂. Конус q сечется сферой S¢ также по двум окружностям, которые проецируются на фронтальную плоскость проекций в виде отрезков E₂F₂ и G₂H₂. Отрезки А₂В₂ и G₂H₂ в пределах очерковых линий фигур не пересекаются. Поэтому они не дадут точек линий пересечения поверхностей. В пересечении отрезков C₂D₂ и E₂F₂ отмечаем совпадающие точки 3₂º4₂ – фронтальные проекции точек 3 и 4 правой линии пересечения конусов. Для определения горизонтальных проекций 3₁ и 4₁ точек 3 и 4 линии пересечения конусов из точки 3₂º4₂ проводим линию связи до пересечения ее на горизонтальной проекции с окружностью m₁, диаметр которой равен отрезку C₂D₂.

Далее, вводя новые секущие сферы и выполняя аналогичные построения, строим проекции других регулярных точек линий пересечения.

Все найденные проекции точек линий пересечения поверхностей соединяем плавными лекальными кривыми с учетом условий видимости.

Варианты заданий. Указания

к оформлению работы

Варианты задания 9 выбирают по табл. 3 следующим образом. По последней цифре студенческого билета или индивидуального шифра выбирают один из десяти рисунков задания в табл. 3. Некоторые числовые размеры на рисунке заменены параметрами (а, в), значения которых выбирают по вспомогательной таблице, расположенной под рисунком. Таблица имеет также 10 граф, соответствующих предпоследней цифре номера студенческого билета.

Таким образом, каждый студент имеет индивидуальное задание из ста вариантов. Аналогично выбирают вариант задания 10 по табл. 4.

Табл. 3

Табл. 4

Задания 9, 10 компонуются на чертежном формате А3 (420х297), образец которого представлен на рис. 21.

Обозначения на чертеже значительно облегчают выполнение заданий, а в отдельных случаях являются необходимыми элементами графических построений, например, если одна из поверхностей – многогранник.

Все построения должны быть выполнены на чертеже тонкими линиями. Видимые части линий пересечения и очерков поверхностей обводятся контурными линиями толщиной примерно 1 мм. Невидимые части очерков и линий пересечения обводятся штриховыми линиями в полтолщины контура. Очерк, опущенный в инцидентную поверхность, может быть показан тонкой линией. Остальная информация ясна из примера (рис. 21).

Варианты заданий и методические указания

К задаче 8

В задаче 8 требуется построить линии пересечения сферы радиуса R=50 мм с центром в точке О(90,55,50) и бесконечной прямой треугольной призмы, боковые грани которой перпендикулярны фронтальной плоскости проекций. Фронтальный след призмы задан треугольником A₂B₂D₂, координаты x, z вершины которого представлены в табл. 5 для десяти вариантов (по последней цифре учебного шифра).

Табл. 5

Графическое решение задачи 9 выполняют на отдельном формате А4 (210х297), либо на формате А3 попарно с любой другой задачей.

Рис. 21

1. Чтобы отразить на чертеже исходные данные, необходимо изобразить внешнюю систему координат (связанную с плоскостями проекций) OXYZ (рис. 22) и задать в ней:

а) центр сферы О(90,55,50), x=90, y=55, z=50 двумя проекциями О(О₁,О₂);

б) на фронтальной плоскости проекции точек A₂B₂D₂, образующие треугольник следов призмы. Данные берутся из табл. 5.

Далее тонкими линиями из центра О(О₁,О₂) строятся две проекции очерков сферы (окружности R=50 мм).

2. Поскольку призма перпендикулярна плоскости П₂, то на фронтальной проекции решение является очевидным и определяется треугольником следов А₂В₂D₂.

3. Строятся горизонтальные проекции линий пересечения сферы с призмой на плоскости П₁.

Прежде, чем начать построения, необходимо вспомнить, что сечение сферы любой плоскостью дает натуральную окружность, ориентация которой в пространстве определена положением самой секущей плоскости. Здесь следует различать три основных случая:

а) секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ (является горизонтально проецирующей). В этом случае окружность на горизонтальной плоскости проекций П₁ вырождается в отрезок;

б) секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций П₁. В этом случае окружность отображается натуральной формой и величиной;

в) секущая плоскость ориентирована в пространстве произвольным образом. В этом случае окружность проецируется на горизонтальную плоскость проекций П₁ в виде эллипса.

Анализ условий задачи позволяет установить, что каждая из боковых граней призмы может быть рассмотрена как некоторая плоскость, рассекающая сферу по одному из трех указанных вариантов.

Действительно, боковая грань, заданная следом B₂D₂ , соответствует первому случаю, т.е. отрезку D₁`B<sub>1</sub>`B₁D₁ (см. рис. 22) на плоскости П₁.

Рис. 22

Боковая грань, заданная следом D₂A₂, соответствует второму случаю, то есть окружность ОКР₁ на плоскости П₁ отражается в натуральную величину. Ее центр расположен в точке О₁, а радиус равен отрезку О₁₀²; 10₂(R=O₁₀²10₂), измеренному на плоскости П₂.

Боковая грань, заданная следом А₂В₂, соответствует третьему случаю, т.е. окружность на плоскость П₁ проецируется в виде эллипса, построение которого выполняется методом секущих плоскостей, с которым мы познакомились, решая задачу 10 (см. раздел 3.2 настоящих методических указаний).

Когда проекции линий пересечения построены, необходимо выделить окончательное решение, установив условия видимости окружностей на плоскости П₁, а также условия существования в видимости очерка сферы О₁ (см. рис. 22).

Обводка окончательного решения выполняется двумя типами линий – основной контурной (S»1мм) и штриховой (S»0,5 мм).

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Синицын С.А. Инженерная графика. Часть 1. Проекционное черчение. М.: ВЗИИТ, 1993.

2. Федоренков В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению. Л.: Машиностроение, 1984.

3. Полозов В.С. Начертательная геометрия: Тексты лекций. М.: ВЗИИТ. 1995.

4. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1985.

5. Курс начертательной геометрии (на базе ЭВМ): Учебник для инж.-техн. Вузов / Тевлин А.М., Иванов Г.С., Нартова Л.Г. и др./ Под редакцией А.М. Тевлина, Высшая школа, 1983.