Основные позиционные задачи (эпюр 1)

ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНТСТВО ЖЕЛЕЗНОДОРОЖНОГО ТРАНСПОРТА

Федеральное Государственное Бюджетное Образовательное Учреждение
Высшего Профессионального Образования

«МОСКОВСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ УНИВЕРСИТЕТ ПУТЕЙ СООБЩЕНИЯ»

(МИИТ)

7/1/7

Одобрено кафедрой Утверждено:

«Начертательная геометрия деканом факультета

и инженерная графика» «Транспортные средства»

Авторы: д-р техн.наук, проф. Синицын С.А., ст.преп. Тарнаева С.А.

НАЧЕРТАТЕЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ

Чертежи машиностроительные

Задание на контрольную работу №2 по дисциплине

с методическими указаниями

для студентов-специалистов 1 курса

специальности: «Строительство железных дорог, мостов и транспортных тоннелей»

Москва 2012

ОБЩИЕ УКАЗАНИЯ

Контрольная работа № 1 по разделу курса – Начертательная геометрия включает 10 заданий, которые студенты выполняют карандашом на трех форматах А3 с помощью простейших чертежных инструментов.

В начертательной геометрии чертежи принято называть эпюрами (рисунками). Эпюр 1 связан с решением позиционных задач на комплексном чертеже, эпюр 2 – простейших метрических задач, эпюр 3 содержит задачи на взаимопересечение поверхностей.

ОСНОВНЫЕ ПОЗИЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ (ЭПЮР 1)

Задания 1 – 4 по начертательной геометрии связаны с построением комплексного чертежа Монжа, аксонометрического чертежа (прямоугольной изометрии) и решением двух наиболее простых позиционных задач на пересечение плоскостей общего положения с плоскостями проекций.

Для решения перечисленных задач используется пирамида, заданная координатами вершин A, B, C, D.

Десять вариантов заданий приведены в табл.1. Номер варианта выбирают по последней цифре учебного шифра.

Таблица 1

Рис. 1

Задания 1 – 4 выполняются на формате А3 (420Х297) карандашом с помощью чертежных инструментов и компонуются согласно рис. 1.

Если исходные данные затрудняют компоновку всех трех заданий на одном листе, то задания 3 и 4 могут быть выполнены на отдельном формате А3. Задания 3 и 4 должны быть снабжены пояснениями (см. рис. 1), содержание которых объяснено ниже. Все надписи выполняют чертежными шрифтами А3, 5 либо А5 (наклонным).

ЗАДАНИЕ 1

Последовательность выполнения задания 1 представлена на рис. 2. Задают систему координат на комплексном чертеже Монжа [1], рис. 2, а. Буквами X,Y,Z обозначены оси координат. Если в конкретном варианте задано отрицательное значение, то оно должно быть отложено от нуля в противоположном направлении (-X,-Y,-Z), рис. 2,а.

На комплексном чертеже по исходным данным строят парные проекции четырех точек – A,B,C,D: (A₁,A₂); (B₁,B₂); (C₁,C₂); (D₁,D₂)/. Индекс «два» используют для обозначения проекций на фронтальную плоскость П₂ (или V), «один» - на горизонтальную плоскость П₁ (или H).

Точки соединяются попарно тонкими линиями на каждой из проекций (рис. 2, в).

Видимость «конкурирующих» ребер пирамиды определяется по принципу «выше-ниже», «дальше-ближе». Видимые ребра обводят сплошной основной линией, невидимые – штриховой, толщиной s/3 (рис. 2, г).

Рис. 2, г является первым готовым фрагментом листа задания (см. рис.1).

ЗАДАНИЕ 2

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 3.

Задается: изометрическая система координат с осями, направленными друг относительно друга под углом 120⁰ (см. ГОСТ – 2.317-69, рис. 3, а [ 1,2].

Рис. 2

Строят единственную проекцию каждой точки по схеме, представленной на рис. 3, б.

Построенные проекции A, B, C, D соединяют попарно тонкими линиями (рис. 3, в).

Оценивают видимость «конкурирующих» ребер (AC и BD) по принципу «дальше-ближе» с помощью комплексного чертежа (рис. 2, г). Стрелка В показывает направление взгляда в аксонометрии. Легко видеть, что ребро АС расположено на переднем плане и является видимым. Следовательно, ребро BD невидимое и должно быть показано штриховой линией (рис. 3, г).

Рис. 3, г может быть перенесен на формат в качестве второго задания. Здесь же необходимо показать тонкими линиями координатное построение вершин пирамиды.

Рис. 3

ЗАДАНИЕ 3

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 4.

Требуется построить следы плоскости боковой грани АВС заданной пирамиды. Напомним [3], что след плоскости – это прямая пересечения заданной плоскости с плоскостью проекций. Плоскоcть общего положения пересекается и с фронтальной П₂ (V), и с горизонтальной П₁ (H) плоскостями проекций, поэтому и следов будет два: a₁ и a₂. Если плоскость занимает особое (частное) положение в пространстве, то она может иметь единственный след. Например, горизонтальная плоскость имеет единственный след на плоскости проекций П₂ (V) в виде горизонтальной прямой.

Итак, зададим плоскость боковой грани АВС проекциями названных точек, рис. 4, а.

Рис. 4

Чтобы построить след плоскости, достаточно построить следы двух любых прямых, принадлежащих этой плоскости, и соединить их одноименные проекции. Выбираем прямые АС и ВС.

Строим горизонтальный след прямой АС – точку М₁ пересечения указанной прямой с плоскостью П₁ (H), рис.4, б. Горизонтальный след прямой ВС совпадает с проекцией В₁, поскольку точка В расположена непосредственно на горизонтальной плоскости проекций. Соединяя проекции М₁ и М₁`, строим горизонтальный след a₁ плоскости боковой грани АВС.

Описанные построения могут быть представлены стандартными обозначениями:

МÎ(АС)LМÎП₁,

где Î - принадлежит;

L - объединение «и».

Запись означает: точка М принадлежит прямой АС и одновременно точка М принадлежит плоскости П₁ (Н).

Аналогично читается вторая строка на рис. 1:

М`Î(AB)LM`ÎП₁.

Следующая строка показывает, что прямая (след) включает (Ì) точки М и М` в плоскости П₁(Н):

a₁Ì(М, М`)ÌП₁.

Точка пересечения горизонтального следа a₁ с осью ОХ обозначена Хa (рис. 4, б). Очевидно, что для построения фронтального следа a₂ достаточно построить только один фронтальный след любой из прямых, принадлежащих заданной плоскости боковой грани АВС. Например, прямой АС на рис. 4, б. След N=N₂ строят по схеме, приведенной для точки М.

Соединяя точки Хa и N₂, строят искомый фронтальный след a₂ плоскости боковой грани АВС.

ЗАДАНИЕ 4

Последовательность выполнения задания представлена на рис. 5.

Требуется построить плоскость, параллельную плоскости боковой грани АВС (a₁, a₂) и проходящую через вершину пирамиды D. Исходные данные для этой задачи представлены на рис. 5, а.

Если искомая плоскость параллельна заданной, то ее следы параллельны следам заданной плоскости (a₁,a₂).Поэтому достаточно построить единственную точку на пересечении искомой плоскости с любой из плоскостей проекций П₁(H) либо П₂(V)) и задача будет решена.

Рис. 5

Построим в точке D горизонталь h [3]. Очевидно, что ее проекция h₁ будет обязательно параллельна следу a₁, иначе нарушаются условия параллельности плоскостей (рис. 5, б).

Таким образом, легко строится точка 1(1₁,1₂) пересечения горизонтали h с фронтальной плоскостью проекций П₂ (V). Это и есть искомая точка, через которую должны быть проведены следы b₂ и далее b₁ искомой плоскости:

h'DLh₁||a₁;

1₂Îb₂Lb₂||a₂, b₁||a₁.

Аналогичные построения могут быть выполнены с помощью фронтали f (f₁,f₂), проведенной через точку D. На рис. 1 приведены оба варианта построений. При выполнении заданий студент должен воспользоваться либо построением горизонтали h, либо фронтали f. Пояснения к рещению задачи 4 даются только для выбранного варианта решения.

ОБЩИЕ РЕКОМЕНДАЦИИ

Как видно из примера рис. 1, задачи 3 и 4 компонуются на одном чертеже. Полученные решения необходимо выделить цветными карандашами. Например, лучи a₂ и a₁ – красным, b₂ и b₁- синим.

Измерения координат необходимо выполнять в натуральном масштабе миллиметровой шкалы.

В случае необходимости задачи 3 и 4 могут быть представлены на различных чертежах аналогично рис. 4,б и 5, б.

В отдельных вариантах следы прямых при построениях могут выходить за пределы формата. В этом случае необходимо воспользоваться временно зафиксированным вспомогательным листом писчей бумаги. Оставшиеся на формате линии обводят в соответствии с предложенной схемой.

ОСНОВНЫЕ МЕТРИЧЕСКИЕ

ЗАДАЧИ (ЭПЮР 2)

ВАРИАНТЫ ЗАДАНИЙ И МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К ЗАДАЧАМ 8. 9, 10 (ЭПЮР 3)

При разработке конструкторской и технологической документации различных изделий (например, сложных составных воздуховодов) часто возникает необходимость построения линий пересечения поверхностей. Линии взаимного пересечения поверхностей проще всего построить графически по точкам с помощью поверхностей-посредников. Рассмотрим сущность этого метода.

Пусть заданы две пересекающиеся поверхности Ф и q (рис. 16).

Рис. 16

Для построения точек линии пересечения этих поверхностей введем вспомогательную секущую поверхность S, которая пересечет поверхности Ф и q по линиям l и m соответственно. Линии l и m пересекутся между собой в точках M и N, поскольку они принадлежат одной поверхности S. Точки M и N будут лежать на линии пересечения поверхностей Ф и q, так как эти точки лежат одновременно на обеих пересекающихся поверхностях.

В качестве вспомогательных секущих поверхностей-посредников обычно применяют плоскости и сферы. Поэтому способы реализации метода посредников называют способами секущих плоскостей и секущих сфер.

Вспомогательные секущие плоскости в большинстве случаев параллельны плоскостям проекций. Однако в отдельных случаях для определения точек линии пересечения поверхностей рациональнее воспользоваться наклонными плоскостями (способ вращающейся или качающейся плоскости).

Способ сфер имеет две разновидности – способ эксцентрических сфер (центры секущих сфер не совпадают) и способ концентрических сфер (сферы имеют общий центр). Большинство задач на взаимопересечение поверхностей решают рассматриваемым здесь способом концентрических сфер. Способ эксцентрических сфер используют только в том случае, когда одна из пересекающихся поверхностей имеет криволинейную ось и круговые сечения.

В каждом конкретном случае выбирают тот способ построения точек линии пересечения поверхностей, который позволяет выполнить наиболее простые графические построения.

Варианты заданий. Указания

к оформлению работы

Варианты задания 9 выбирают по табл. 3 следующим образом. По последней цифре студенческого билета или индивидуального шифра выбирают один из десяти рисунков задания в табл. 3. Некоторые числовые размеры на рисунке заменены параметрами (а, в), значения которых выбирают по вспомогательной таблице, расположенной под рисунком. Таблица имеет также 10 граф, соответствующих предпоследней цифре номера студенческого билета.

Таким образом, каждый студент имеет индивидуальное задание из ста вариантов. Аналогично выбирают вариант задания 10 по табл. 4.

Табл. 3

Табл. 4

Задания 9, 10 компонуются на чертежном формате А3 (420х297), образец которого представлен на рис. 21.

Обозначения на чертеже значительно облегчают выполнение заданий, а в отдельных случаях являются необходимыми элементами графических построений, например, если одна из поверхностей – многогранник.

Все построения должны быть выполнены на чертеже тонкими линиями. Видимые части линий пересечения и очерков поверхностей обводятся контурными линиями толщиной примерно 1 мм. Невидимые части очерков и линий пересечения обводятся штриховыми линиями в полтолщины контура. Очерк, опущенный в инцидентную поверхность, может быть показан тонкой линией. Остальная информация ясна из примера (рис. 21).

Варианты заданий и методические указания

К задаче 8

В задаче 8 требуется построить линии пересечения сферы радиуса R=50 мм с центром в точке О(90,55,50) и бесконечной прямой треугольной призмы, боковые грани которой перпендикулярны фронтальной плоскости проекций. Фронтальный след призмы задан треугольником A₂B₂D₂, координаты x, z вершины которого представлены в табл. 5 для десяти вариантов (по последней цифре учебного шифра).

Табл. 5

Графическое решение задачи 9 выполняют на отдельном формате А4 (210х297), либо на формате А3 попарно с любой другой задачей.

Рис. 21

1. Чтобы отразить на чертеже исходные данные, необходимо изобразить внешнюю систему координат (связанную с плоскостями проекций) OXYZ (рис. 22) и задать в ней:

а) центр сферы О(90,55,50), x=90, y=55, z=50 двумя проекциями О(О₁,О₂);

б) на фронтальной плоскости проекции точек A₂B₂D₂, образующие треугольник следов призмы. Данные берутся из табл. 5.

Далее тонкими линиями из центра О(О₁,О₂) строятся две проекции очерков сферы (окружности R=50 мм).

2. Поскольку призма перпендикулярна плоскости П₂, то на фронтальной проекции решение является очевидным и определяется треугольником следов А₂В₂D₂.

3. Строятся горизонтальные проекции линий пересечения сферы с призмой на плоскости П₁.

Прежде, чем начать построения, необходимо вспомнить, что сечение сферы любой плоскостью дает натуральную окружность, ориентация которой в пространстве определена положением самой секущей плоскости. Здесь следует различать три основных случая:

а) секущая плоскость перпендикулярна горизонтальной плоскости проекций П₁ (является горизонтально проецирующей). В этом случае окружность на горизонтальной плоскости проекций П₁ вырождается в отрезок;

б) секущая плоскость параллельна горизонтальной плоскости проекций П₁. В этом случае окружность отображается натуральной формой и величиной;

в) секущая плоскость ориентирована в пространстве произвольным образом. В этом случае окружность проецируется на горизонтальную плоскость проекций П₁ в виде эллипса.

Анализ условий задачи позволяет установить, что каждая из боковых граней призмы может быть рассмотрена как некоторая плоскость, рассекающая сферу по одному из трех указанных вариантов.

Действительно, боковая грань, заданная следом B₂D₂ , соответствует первому случаю, т.е. отрезку D₁`B₁`B₁D₁ (см. рис. 22) на плоскости П₁.

Рис. 22

Боковая грань, заданная следом D₂A₂, соответствует второму случаю, то есть окружность ОКР₁ на плоскости П₁ отражается в натуральную величину. Ее центр расположен в точке О₁, а радиус равен отрезку О₁₀²; 10₂(R=O₁₀²10₂), измеренному на плоскости П₂.

Боковая грань, заданная следом А₂В₂, соответствует третьему случаю, т.е. окружность на плоскость П₁ проецируется в виде эллипса, построение которого выполняется методом секущих плоскостей, с которым мы познакомились, решая задачу 10 (см. раздел 3.2 настоящих методических указаний).

Когда проекции линий пересечения построены, необходимо выделить окончательное решение, установив условия видимости окружностей на плоскости П₁, а также условия существования в видимости очерка сферы О₁ (см. рис. 22).

Обводка окончательного решения выполняется двумя типами линий – основной контурной (S»1мм) и штриховой (S»0,5 мм).

РЕКОМЕНДУЕМАЯ ЛИТЕРАТУРА

1. Синицын С.А. Инженерная графика. Часть 1. Проекционное черчение. М.: ВЗИИТ, 1993.

2. Федоренков В.А., Шошин А.И. Справочник по машиностроительному черчению. Л.: Машиностроение, 1984.

3. Полозов В.С. Начертательная геометрия: Тексты лекций. М.: ВЗИИТ. 1995.

4. Бубенников А.В. Начертательная геометрия. М.: Высшая школа, 1985.

5. Курс начертательной геометрии (на базе ЭВМ): Учебник для инж.-техн. Вузов / Тевлин А.М., Иванов Г.С., Нартова Л.Г. и др./ Под редакцией А.М. Тевлина, Высшая школа, 1983.