Критерии оптимальности решений
В условиях неопределенности
Для определения наилучших решений используются следующие классические критерии: максимакса, Вальда, Сэвиджа, Гурвица и Лапласа. Выбор критерия зависит от характеристик личности предпринимателя и его отношения к риску.
1. Критерий максимакса («все по максимуму») — критерий крайнего оптимизма. Предприниматель ориентируется на то, что условия функционирования систем будут для него наиболее благоприятными. Вследствие этого оптимальным решением является стратегия, приводящая к получению наибольшего значения критерия оптимальности в платежной матрице.
Этот критерий целесообразно применять в тех случаях, когда имеется существенная возможность повлиять на шаги противоположной стороны. Кроме того, применяют данный критерий не только оптимисты, но и компании, поставленные в безвыходное положение, когда они вынуждены руководствоваться принципом «или пан, или пропал». Это случай, когда, например, у фирмы имеются большие долги и есть возможность покрыть их за счет возможной реализации сверхприбыльного проекта.
Для нашего случая – это выбор решения Р3 в надежде, что реализуется ситуация S1.
2. Критерий Вальда, или максиминный критерий («рассчитывай на худшее») — критерий крайнего пессимизма — ориентация на выигрыш в наихудших условиях (т.е. максимизация минимального дохода). Этот критерий еще называют правилом «наименьшего зла». В соответствии с критерием Вальда из всех самых неудачных результатов выбирается лучший. Предприниматель не столь заинтересован в крупной удаче, сколько хочет себя застраховать от неожиданных проигрышей.
В нашем случае предприниматель должен вначале определить ряд наихудших решений для каждой ситуации: {0, 13000, 1500, 22000}. Из них выбирается максимальный вариант: 22000. Т.о., по этому критерию выбирается решение Р4.
Достоинства критерия Вальда — это простота вычислений и доходчивость. Однако эти свойства критерия иногда превращаются в его значительный недостаток, если применять его формально. Для того чтобы показать, как это происходит, предположим, что матрица результатов содержит всего две строки решений и четыре столбца состояний природы (см. табл. 3.8).
Таблица 3.8
Пример неудачного применения критерия Вальда
| Решение | Ситуации | ||
| S1 | S2 | S3 | |
| Р1 | |||
| Р2 |
Гарантированный результат для решения 1 равен 999, а для решения 2 он равен 1000. Следовательно, формально по критерию Вальда наилучшим является решение Р2. Но на самом деле понятно, что с точки зрения практики результаты 999 и 1000 — это одно и то же. Поэтому формально получается, что мы выбираем решение, которое для всех ситуаций дает один и тот же результат. А вот для решения Р1 практически такой же результат получается только в одной из ситуаций, а в остальных ситуациях это решение на порядки лучше, чем решение Р2. И об этой формальной стороне критерия Вальда нужно помнить.
3. Критерий минимаксного риска Сэвиджа обеспечивает наименьшее значение максимальной величины риска. При этом минимизируются максимальные потери в результатах при принятии решений.
Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. В этом критерии используют не результаты (доходы), а так называемое «сожаление» от неиспользованных возможностей. Почему может сожалеть предприниматель? Потому что он знал, как нужно поступить, но по каким-то причинам не поступил. Т.о., величина сожаления вычисляется для каждой возможной ситуации как разность между наилучшим при данном состоянии природы результатом и всеми текущими для этого состояниями.
Построим матрицу сожалений для нашего случая (табл. 3.9):
Таблица 3.9
Матрица сожалений
| Решение | Ситуации | ||
| S1 | S2 | S3 | |
| Р1 | |||
| Р2 | |||
| Р3 | |||
| Р4 |
В соответствии с критерием Сэвиджа выбирается минимально возможный из самых крупных рисков. Для нашего примера максимальные риски-сожаления: {90000; 62000; 73500; 68000}. Наименьшая величина сожаления 62000, и поэтому предприниматель выбирает решение Р2.
Поскольку теоретической основой обоих рассмотренных критериев является принцип наилучшего гарантированного результата (для критерия Вальда — сам результат, а для критерия Сэвиджа — сожаление), основные достоинства и недостатки у критерия Сэвиджа те же, что и у критерия Вальда.
4. Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица при выборе решения рекомендует руководствоваться некоторым средним результатом, характеризующим состояние между крайним пессимизмом и безудержным оптимизмом. При этом определяется показатель П в виде линейной функции наихудшего и наилучшего для каждого решения значений:
П = К × Ymin + (1 – К) Ymax,
где Ymin – наименьшее денежное значение для данного решения;
Ymax – наибольшее денежное значение для данного решения;
К - коэффициент пессимизма-оптимизма, называемый также коэффициентом Гурвица.
Значения коэффициента выбирают из диапазона от 0 до 1 (К = 0 для оптимистического прогноза и К = 1 для пессимистического прогноза).
Легко заметить, что если К = 0, то модель выбора по критерию Гурвица превращается в максимаксный критерий; если К = 1, то получается критерий Вальда. Определим наилучшую по критерию Гурвица стратегию для нашего примера, если принять К = 0,2 (см. табл. 3.10).
Таблица 3.10
Расчет функции Гурвица
| Решение | Значение функции Гурвица |
| Р1 | |
| Р2 | |
| Р3 | |
| Р4 |
Таким образом, по критерию Гурвица наилучшим оказывается решение Р3. Понятно, что лучшим это решение может быть признано тем предпринимателем, который придает больший вес оптимистичному исходу, а не пессимистичному. Причем эта уверенность достаточно сильная, и поэтому значение коэффициента пессимизма-оптимизма составляет величину 0,2.
Недостаток критерия Гурвица в том, что он может не выделить явно различающиеся по предпочтительности решения из-за того, что в оценке участвуют только наихудший и наилучший результаты. Пример можно увидеть в табл. 3.11.
Таблица 3.11
Пример неудачного применения критерия Гурвица
| Решение | Ситуации | |||
| S1 | S2 | S3 | S4 | |
| Р1 | ||||
| Р2 |
Решения существенно отличаются по предпочтительности, так у первого только один ненулевой исход, а у второго их три (и весьма значительные). В то же время у них одинаковые наилучшие (равные 1000) и наихудшие (равные 0) результаты, и, следовательно, по критерию Гурвица эти альтернативы эквивалентны. Но для практики, разумеется, второе решение лучше первого.
5. Критерий Лапласа базируется на общей оценке всех альтернатив. Это критерий для реалиста. В его основу положена концепция недостаточного основания Лапласа: если нет оснований полагать, что какие-либо из возможных состояний более возможны по отношению к другим, то их целесообразно полагать равновозможными. После этого можно считать ситуацию случайной и применять критерий наибольшего среднего результата.
Рассчитаем для нашего примера средние результаты в табл. 3.12.
Таблица 3.12
Средние результаты по каждому из решений
| Решение | Значение критерия Лапласа |
| Р1 | |
| Р2 | |
| Р3 | |
| Р4 |
Т.о., наилучшим по критерию недостаточного основания Лапласа следует считать решение Р3.
При сравнительном анализе критериев оптимальности нецелесообразно останавливаться на выборе единственного критерия, так как это может привести к неоправданным решениям, ведущим к значительным потерям. Поэтому обычно применяют нескольких критериев в совокупности. Например, наряду с критерием гарантированного результата может быть использован критерий Сэвиджа, критерий Лапласа может дополняться применением пессимистического критерия и т.д.
Тема 4. Обработка риска