Глава 3 Уравнение эквивалентности

Различные финансовые схемы можно считать эквивалентными в том случае, если они приводят к одному и тому же финансовому результату. В условиях определенности, когда все фигурирующие величины рассматриваются как детерминированные, финансовая эквивалентность сводится к соблюдению требования получить по разным финансовым операциям одинаковые денежные результаты.

С этой целью все платежи по сравниваемым вариантам приводят к одному и тому же моменту в прошлом, будущем или на промежуточную дату. Равенство приведенных величин фактически свидетельствует о безубыточности вносимых изменений для финансовых отношений участников или одного участника, например, инвестора.

Принцип эквивалентности лежит в основе многих финансовых расчетов долгосрочного и кратковременного характера. Он применяется, например, при изменениях условий контрактов: их объединении, досрочном погашении и т. д.

Датированные суммы

Использование значений денежных сумм без указания даты, когда они должны использоваться, является бессмысленным. Очевидно, что 1000 руб. наличными в настоящее время предпочтительнее, чем 1500 руб., которые вы получите через 50 лет. Сумма платежа вместе с датой погашения называется датированной суммой.

В общем случае датированные суммы сравниваются по следующему правилу эквивалентности: сумма Р, полагающаяся на данную дату, эквивалентна при данной норме сложного процента i сумме S , полагающейся нап периодов конверсии позже, если является справедливым хотя бы одно из следующих равенств:

S=P(1+i)ⁿ или P=(1+i)^-n S

Таким образом, накопление или дисконтирование могут рассматриваться как простое преобразование заданной датированной суммы к другой дате. Преобразование делается в соответствии со следующей временной диаграммой:

ΩΩΩ

Прошлая и будущая суммы эквивалентны датированной сумме D.

Важным и полезным свойством эквивалентных датированных сумм является свойство 1: при данной норме сложного процента если А эквивалентно В и В эквивалентно С, то А эквивалентно С.

Для доказательства этого утверждения мы расположим данные на временной диаграмме следующим образом:

где 0 означает настоящее время и а, b, с представляют числа периодов конверсии от настоящего времени до соответствующих дат погашения.

Если А эквивалентно В, то B=A(1+i)^b-a

Если В эквивалентно С, то C=(1+i)^c-b B

Исключая из этих равенств сумму В, получим, что:

C=A(1+i)^b-a(1+i)^c-b=A(1+i)^c-a

Полученный результат является условием эквивалентности датированных сумм А и С.

Это свойство не имеет места для норм простого процента и норм простого дисконта. Поэтому понятие эквивалентности для этих норм не применяется.

Серии датированных сумм

Сумма двух или большего числа датированных сумм, погашаемых в различные даты, практически не имеет смысла. Например, предположим, что 20000 руб. погашается через два года, а 30000 руб. погашается через пять лет. Сумма 20000 + 30000 = 50000 руб. не связана, с какой либо датой и поэтому мало о чем говорит. Однако если все рассматриваемые суммы преобразовать в эквивалентные датированные суммы с одной и той же датой погашения, то сумма таких эквивалентных сумм приобретает смысл и называется датированной суммой серии. Она будет изменяться в зависимости от даты, к которой преобразованы эквивалентные суммы. Для различных датированных сумм одной и той же серии справедливо следующее свойство 2: датированные суммы одной и той же серии, определенные для различных дат, являются эквивалентными.

Пусть А и В будут двумя датированными суммами, погашаемыми через а и b периодов начисления от настоящего времени. Пусть также U и V будут двумя датированными суммами этой серии, определенными для дат u и v (за единицу времени принимается период начисления). Представим эти данные на временной диаграмме:

Преобразовывая значения А и В ко времени и согласно правилу эквивалентности и суммируя результаты, получим датированную сумму серии, погашаемую через u периодов:

U=A(1+i)^u-a+B(1+i)^u-b

Умножая обе части этого равенства на (1+i)^v-u и производя очевидные упрощения, получим другую датированную сумму серии, погашаемую уже через v периодов начисления,

U(1+i)^v-u=A(1+i)^v-a+B(1+i)^v-b.

Но правая часть этого равенства в точности равна V, так что , U(1+i)^v-u=V и условие эквивалентности U и V выполняется, что и доказывает справедливость свойства 2.

Как уже было выше отмечено, для сравнения двух итоговых сумм, погашаемых в различные даты, необходимо заменить их эквивалентными суммами, пересчитанными на одну и ту же дату. Величина разности полученных эквивалентных сумм будет различной в зависимости от использованной для сравнения даты. Также как и в случае сумм серий, разности, рассчитанные на различные даты, будут эквивалентными. Доказательство этого повторяет те же рассуждения, которые были использованы выше при анализе сумм серий на различные даты при рассмотрении свойства 2.