Формули сферичної геометрії. Паралактичний трикутник. Перетворення небесних координат.

Системи координат

Робота

Студента групи ФІ-09

Бушуєв Станіслав Андрійович

Кривий Ріг 2013

Формули сферичної геометрії. Паралактичний трикутник. Перетворення небесних координат.

Сферична геометрія — розділ геометрії, який вивчає геометричні фігури на поверхні сфери. Це приклад неевклідової геометрії. Сферична геометрія виникла в давнину в зв'язку з потребами географії та астрономії.

При перетині двох великих кіл утворюються чотири сферичні двокутники. Площа двокутника визначається формулою , де — радіус сфери, а — кут двокутника.

Сторони сферичного трикутника вимірюють величиною кута, утвореного радіусами сфери, проведеними до кінців цієї сторони. Кожна сторона сферичного трикутника менша суми і більша різниці двох інших. Сума всіх сторін сферичного трикутника завжди менша . Сума кутів сферичного трикутника завжди більша і менша . Величина називається сферичним надлишком. Площа сферичного трикутника визначається за формулою Жирара .

Сфери́чні гармо́ніки — набір ортонормованих функцій двох кутових змінних і , які складають повний базис функцій сферичного кута.

Сферичні гармоніки позначаються , де l = 0,1,2…, а m пробігає значення від -l до l.

,

де - приєднані поліноми Лежандра.

Сферичні гармоніки є власними функціями оператора кутового моменту.

Множник в означенні сферичних гармонік вибирається з умови нормування

,

де інтегрування проводиться по повному сферичному куту, а - символ Кронекера.

Паралактичний трикутник

Сферичні трикутники, розміщені на небесній сфері, називаються астрономічними.   Перший астрономічний або паралактичний трикутник Трикутник, розміщений на небесній сфері і містить у вершинах зеніт Z , полюс світу P і будь-яке світило М , а сторони якого зображаються дугами небесного меридіана, кола висоти світила і кола схилення світила називають паралактичним або першим астрономічним трикутником.   Сторони цього трикутника: PZ=90о–φ (φ – широта місця спостереження), ZM=z=90о–h (z – зенітна віддаль світила), PM=90о–δ (δ – схилення світила).   Кути цього трикутника: PZM=180о–А (А – азимут світила), ZPM=t (t – годинний кут світила), PMZ – з астрономічними координатами не зв’язаний і не має спеціального позначення.   Другий астрономічний трикутник Трикутник, розміщений на небесній сфері і містить у вершинах полюс світу P, полюс екліптики П і будь-яке світило М, а сторони якого зображаються дугами кола схилення, кола широти світила і кола широти, що проходить через полюс світу, називається другим астрономічним трикутником.   Сторони трикутника: PM=90о–δ , ПМ=90о–β (β – широта світила), ПР=ε (ε – кут нахилу екліптики до екватора).   Кутитрикутника: РПМ=90о–λ (λ – довгота світила), ПРМ=90о+α (α – пряме сходження світила), ПМР – з астрономічними координатами не зв’язаний.

Перетворення небесних координат

Перехід від горизонтальних координат до перших екваторіальних Нехай в заданому місці, широта φ якого відома із спостережень, визначені горизонтальні координати світила М: зенітна віддаль z і азимут А . Визначити координати світила М в першій екваторіальній системі координат. Побудуємо для цього паралактичний трикутник. До сторони РМ застосуємо теорему косинусів: , або (1). У (1) φ, z, А - задані, а тому можна визначити схилення світила δ. До сторін ZМ і РМ застосуємо теорему синусів: знаходимо sin t: (2).   У (2) А, z задані, а δ визначається з (1), тому визначаємо годинний кут t.   Обернена задача: нехай задані координати δ і t світила М і відома широта φ місця спостереження. Визначити горизонтальні координати z і А. За теоремою косинусів до сторони ZM: (3). У (3) φ, δ, t задано, а тому визначаємо зенітну віддаль світила. Застосуємо теорему синусів до сторін МZ і РМ: (4). Так як δ і t задані, а z визначається за формулою (3), то (4) визначає азимут світила М.   Перехід від першої екваторіальної системи координат до другої Нехай задано координати t і δ світила М в першій екваторіальній системі координат. Так як координата t світила М міняється в результаті добового обертання небесної сфери, то необхідно задати час до якого відносяться ці координати. Цей час може бути задано в будь-якій системі виміру: зоряний, поясний, середній сонячний. Припустимо, що відомо зоряний час s, тоді (5). Ця формула дозволяє перейти від першої екваторіальної системи координат до другої екваторіальної системи координат, а друга координата схилення в обох системах однакова.   Перехід від другої екваторіальної системи координат до екліптичної системи координат Нехай відомо координати α і δ світила М в другій екваторіальній системі координат. Визначимо координати λ і β світила М в екліптичній системі координат. Для світила М будуємо другий астрономічний трикутник. Застосуємо теорему косинусів до сторони ПМ: (6). δ, α, ε – відомі, тому формула (6) визначає широту β світила М.   Застосуємо теорему синусів до сторін ПМ, РМ: (7). α, δ – відомі, а β визначається з (6), тому (7) дозволяє визначити довготу λ точки М.   Обернена задача: дано екліптичні координати β, λ світила М. Визначити екваторіальні координати α, δ. Застосуємо теорему косинусів до сторони РМ: (8). Застосуємо теорему синусів до сторін РМ і ПМ: (9) ε, β, λ – відомі, тому з (8) визначаємо δ. За відомими β, λ, δ визначаємо α з формули (9).