Ема. Метод множників Лагранжа до задач нелінійного програмування (ЗНП), система умов якого включає й обмеження нерівності.

Алгоритм розв’язку задачі:

1 крок. Розглядаємо всі обмеження як строгі рівності, знаходимо точки екстремуму і обчислюємо в них значення функції мети. Функція Лагранжа при цьому:

ƒ (1)

Таким чином знаходимо екстремальні точки множини планів задачі, де всі додаткові змінні дорівнюють 0.

2 крок. Відкидаємо в (1) один доданок, який відповідає одному обмеженню-нерівності і знаходимо стаціонарні точки нової задачі 2. Відбираємо серед них ті, які задовольняють відкинуте обмеження, як строгу нерівність, і знаходимо значення функції мети. Цей крок повторюємо послідовно для всіх обмежень-нерівностей.

3 крок. Відкидаємо послідовно по 2 доданка функції Лагранжа (1), які відповідають обмеженням-нерівностям і щоразу визначаємо стаціонарні точки L. Відбираємо ті стаціонарні точки, які задовольняють два відкинуті обмеження. Продовжуємо цей процес для 3 і більше нерівностей.

Глобальний екстремум потрібного типу знаходимо, порівнюючи всі обчислені значення функції мети.

Приклад 1:

1 крок.

Система рівнянь (3)–(5) несумісна і, отже не визначає жодної точки.

2 крок. Відкинемо останнє обмеження-нерівність (5) і розв’яжемо задачу Лагранжа (1– 4) при . причому задовольняє відкинуте обмеження >2.

Відкинемо друге обмеження – нерівність (4) і розв’яжемо (1)–(3), (5) при Дістанемо: Причому задовольняє відкинуту нерівність .

3 крок. Відкидаємо обидва обмеження-нерівності і розв’язуємо (1) – (3) при . Дістанемо: Причому задовольняє обидві відкинуті нерівності:

Порівнюючи дістанемо при плані , тобто

Відповідь: при плані .

Приклад 2:

Узагальненим методом множників Лагранжа знайти мінімум функції для системи обмежень

Розв‘язання:

1. Записуємо функцію Лагранжа при наявності всіх обмежень:

Шукаємо стаціонарні точки функції або

Із рівняння (3) маємо

Підставимо цей вираз у рівняння (4).

Із (5): Із (4): де Тоді (1) і (2) приймають вигляд:

Маємо систему двох лінійних рівнянь відносно невідомих Помножимо рівняння (8) на а рівняння (9) – на отримаємо:

Від першого рівняння системи віднімемо друге, отримаємо

Так як (див. (6) і (7) при , то Тоді із першого рівняння останньої системи при маємо:

Так як (див. (7)), то Тоді тому що задовольняють (4). Таким чином у стаціонарних точках:

і

маємо локальні екстремуми

2. Відкидаємо обмеження-нерівність і запишемо функцію Лагранжа для випадку наявності тільки обмеження рівності:

Знаходимо стаціонарні точки функції

або

Помножимо перше рівняння системи на 100, а друге – на 99:

До першого рівняння додамо друге, отримаємо систему відносно

Зважаючи, що маємо:

Із другого рівняння системи (10):

Стаціонарна точка

Перевіряємо виконання відкинутої нерівності.

Локальний екстремум

Вибираємо

Відповідь: у точках

Розрахункова робота №1 (РР) з "Економіко-математичного моделювання"

1. На виготовлення двох видів продукції витрачається три види ресурсів. Запаси ресурсів 3 , , норми їх витрат Н₁₁, Н₁₂ – 1 ресурсу; Н₂₁, Н₂₂ – 2 ресурсу; Н₃₁, Н₃₂ – 3 ресурсу, прибуток від реалізації одиниці продукції П₁ і П_2. За допомогою симплекс – методу знайти точний план виробництва, який би забезпечував найбільший прибуток. Скласти подвійну задачу до вихідної і виписати її оптимальний план із останньої симплекс-таблиці розв’язаної задачі.

№	Норми витрат	Запаси ресурсів	Прибуток
Н11	Н12	Н21	Н22	Н31	Н32	З1	З2	З3	П1	П2

2. Знайти оптимальний план транспортної задачі, де а – вектор запасів, в – вектор потреб, с – матриця вартості.

№

Матриця вартості

Запаси

Потреби

С11

С12

С13

С14

С21

С22

С23

С24

С31

С32

С33

С34

а1

а2

а3

в1

в2

в3

в4

3. Знайти мінімум функції за умов та , де п – номер варіанту.