Незамкнутая транспортная задача с избытком

Компания, занимающаяся добычей песка и доставкой его собственным транспортом к потребителям, разрабатывает 4 песчаных карьера. Недельная производительность карьеров 210, 170, 270 и 360 тонн. Песок направляется на три завода железобетонных изделий (ЖБИ). Недельные потребности заводов в песке составляют 300, 290 и 320 тонн. Транспортные затраты cij; (в условных денежных единицах — у.е.), связанные с доставкой 1 тонны песка от карьеров до заводов, известны и приведены в табл. 7.3.

Табл.7.3.

Песчаные карьеры Заводы ЖБИ Производительность карьеров (предложение)
№1 №2 №3
Потребности заводов (спрос) Предложение превышает спрос на 100 т 1010>910

Требуется:

1) составить такой план перевозок песка из карьеров на заводы, при котором совокупные транспортные издержки будут минимальны;

2) выяснить, какое количество песка и на каких карьерах окажется невостребованным;

3) установить размер минимальных транспортных издержек.

Решение

Потребности заводов в песке (спрос) составляют 300 + 290 + 320 = = 910 т, в то время как мощности карьеров позволяют добывать 210 + 170 + 270 + 360 = 1010 т. Предложение превышает спрос на 100 т. Следовательно, эта задача незамкнутая (п. 7.1).

Для приведения ее к стандартному виду (задаче замкнутого типа) введем дополнительно фиктивного потребителя, спрос которого будет равен 100 т, а стоимости перевозок от карьеров до фиктивного потребителя примем равными нулю, так как реально никаких перевозок по этому маршруту выполняться не будет. В итоге получаем замкнутую задачу, эквивалентную исходной (табл. 7.4).

Табл.7.4.

Песчаные карьеры Заводы ЖБИ Фиктивный потребитель   Предложение
№1 №2 №3 №4
Спрос 1010=1010

Обозначим через хij количество песка (в тоннах), которое будет вывезено из карьера i (i = 1, 2, 3, 4) и доставлено на завод j (j = 1,2,3,4). Тогда искомый план перевозок, представленный в табл. 7.5., состоит из 16 управляемых переменных.

Табл.7.5.

Песчаные карьеры Заводы ЖБИ Фиктивный потребитель   Предложение
№1 №2 №3 №4
х11 х12 х13 х14
х21 х22 х23 х24
х31 х32 х33 х34
х41 х42 х43 х44
Спрос 1010=1010

Далее можно посчитать совокупные транспортные издержки на перевозку (аналогично предыдущей задаче). Заметим, что введение фиктивного потребителя с нулевыми стоимостями перевозок никак не влияет на целевую функцию в силу того, что коэффициенты при х14, х24, х34, х44 равны нулю.

Ограничения, вытекающие из необходимости удовлетворения потребностей заводов в песке, и ограничения, связанные с необходимостью полностью задействовать мощности карьеров и вывезти весь имеющийся запас песка, могут быть легко записаны. Кроме того, все переменные неотрицательны.

В результате мы получили замкнутую транспортную задачу линейного программирования: необходимо минимизировать целевую функцию при условии, что на переменные наложены соответствующие ограничения.

Незамкнутая транспортная задача с избытком - student2.ru

Рис.7.4.Табличное представление задачи в Excel

Незамкнутая транспортная задача с избытком - student2.ru

Ответы

1. Оптимальный план перевозок найденный «Поиском решения», при котором будут обеспечены минимальные транспортные издержки, следующий:

из карьера № 1 доставляется 210 т на ЖБИ № 3;

из карьера № 2 доставляется 110 т на ЖБИ № 3;

из карьера № 3 доставляется 230 т на ЖБИ № 1;

из карьера № 4 доставляется 70 т на завод ЖБИ № 1 и 290 т на завод ЖБИ № 2.

2. Невостребованными окажутся 60т песка на карьере № 2 и 40т песка на карьере № 3.

3. Минимальные совокупные транспортные издержки при оптимальном плане перевозок составят 5240 у.е.

Наши рекомендации