Математическое моделирование как метод исследования технико-экономических систем

Разработка совокупности расчетных формул, необходимых для выполнения инженерно-экономических расчетов, является необходимым этапом для получения окончательного результата. В задачах текущего и оперативного характера значительно больше свободы выбора при построении математической модели технико-экономических процессов по сравнению с проектными задачами. Вместе с тем более сложной и ответственной является процедура проверки ее адекватности. Универсальных рекомендаций по подбору или разработке совокупности расчетных формул, обеспечивающих возможность получения конечного результата, дать невозможно. Однако основные требования, которые не зависят от природы решаемой задачи и ее сложности, совершенно необходимо сформулировать,

Понятие модели является философским и относится к теории познания. Под моделью, в общем смысле этого слова, понимается некоторая идеальная или материальная структура, которая отображает часть реальной действительности и служит средством ее познания.

Модели подразделяются на два основных класса - материальные модели, подразумевающие геометрическое подобие и/или аналогию физических процессов, и идеальные модели, состоящие из наглядно чувственных или знаковых элементов.

Процесс познания является бесконечным. На любом уровне развитая при изучении любой вещи возникают такие вопросы, на которые невозможно ответить в настоящий момент времени, т.е. вопросы, требующие изучения. Поскольку модель служит целям познания, то она по сущности своей отражает реальную действительность только частично. Академик JL И. Седов [20] писал: "Познание природы и решение многих актуальных технических задач требует построения новых моделей для глубокого и более детального описания физических объектов, взаимодействий и явлений.

Естественно, что все модели отражают действительность только приближенно и только в некоторой степени: уточнение, усложнение, новое моделирование или в известном смысле упрощение существующих моделей - это постоянный процесс, связанный с научным процессом".

Математические модели относятся к идеальным моделям или еще их называют знаковыми, абстрактными моделями. Эти термины вызывали в свое время мысль, что математические модели, равно как и вся математика в целом, являются продуктом чистого разума, не связанным с объективной реальностью. По этому поводу Ф. Энгельс в "Анггидюринге" писал: "Совершенно неверно, будто в чистой математике разум имеет дело только с продуктами своего собственного творчества и воображения. Понятия числа и фигуры взяты не откуда- нибудь, а только из действительного мира. Десять пальцев, на которых люди учились считать^ т.е. производить первую арифметическую операцию, представляют собой что угодно, только не продукт свободного творчества разума". И далее: "Чистая математика имеет своим объектом пространственные формы и количественные отношения действительного мира, стало быть весьма реальный материал. Тот факт, что этот материал принимает чрезвычайно абстрактную форму, может лишь слабо затушевать его происхождение из внешнего мира".

Таким образом, все, чем обладает современная математика, возникло в процессе познания человеком объективной реальности и именно поэтому математика тесно связана с объективным миром. Термином "математическая модель" можно пользоваться в любом случае, когда дело касается символической записи некоторого явления и когда эта запись позволяет, не обращаясь непосредственно к явлению, изучать его свойства. Формулу для вычисления площади прямоугольника S - А ? Ъ можно с таким же правом назвать математической моделью,

как и известный закон теории относительности Е - т ? С , несмотря на то, что понимание сущности и осмысливание первой из них несоизмеримо проще, чем второй.

Математическое описание может быть использовано по отношению к любому процессу или явлению, В том случае, когда математическая модель содержит не только физические, но и экономические пере* меиные или константы, ее в принципе можно называть экономико- математической моделью.

Исходя из сказанного под математической моделью понимается совокупность математических формул, необходимых для решения поставленной задачи.

Адекватность изучаемому объекту (явлению, процессу) относительно выбранной системы характеристик является важнейшим требованием к математической модели.

В общемстодологическом смысле этого слова под адекватностью понимается верное воспроизведение объективных связей и соотношений.

При решении практических задач производства, связанных с расчетом показателей будущего периода, адекватность означает достоверность результатов расчета и, следовательно, надежность и оправданность решений, которые принимаются на основе этих результатов.

Поскольку математическая модель по своей сущноста является частичным отображением изучаемого объекта, то ее адекватность в отношении выбранных свойств объекта будет тем выше, чем более полное соответствие можно установить между объектом и его математической моделью.

При изучении и расчете технико-экономических показателей производства различают качествешгую и количественную адекватность математических моделей.

Качественная адекватность модели означает, что поведение интересующего нас показателя при изменении исходных факторов под- чиняется уже известным нам тенденциям и соображениям здравого смысла. Например, известно, что при увеличении глуби™ карьера увеличивается коэффициент вскрыши и, следовательно, увеличиваются затраты на производство. Таким образом, качественная адекватность расчетных формул для определения затрат должна, по крайней мере, обеспечиваться пропорциональной зависимостью от глубины карьера. В противном случае можно говорить о неадекватности модели и невозможности ее использования в практических расчетах.

Количественная адекватность должна обеспечивать необходимую точность численных значений всех расчетных величин.

Вопрос проверки адекватности модели в конечном итоге полно- стью зависит от возможности получения достоверных фактических данных. Если такие данные есть, то адекватность устанавливается методами и оценками математической статистики. Если же таких данных нет или их невозможно получить, то по необходимости приходится осуществлять лишь общий контроль модели. Основные этапы контроля заключаются в следующем, 1.

Контроль размерности. Он состоит в применении примитивного правила, согласно которому приравниваться и складываться могут величины только одинаковой размерности. Им нужно пользоваться как можно чаще не только на окончательной, но и на промежуточной стадиях вывода соотношений. При переходе к вычислениям он должен сочетаться с контролем системы единиц. 2.

Контроль порядка результата. Исследуемая величина сравнивается с уже известными из опыта или предыдущих исследований ее значениями. Необходимо, чтобы, по крайней мере, порядок этих значений совпадал, т.е. результаты расчета были реальными. Пример по этому поводу был приведен в разделе 3 при рассмотрении вопроса тестирования компьютерных программ, 3.

Контроль характера зависимостей. Заключается в проверке качественных особенностей поведения одних величин при изменении других, т.е. нулей монотонности, наличия экстремума и т.д.

4Т Контроль экстремальных ситуаций. Заключается в исследовании поведения расчетных величин и функций при предельных значениях независимых переменных - чаще всего нулевых или бесконечных значениях.