Сеть массового обслуживания

Сеть массового обслуживания (СеМО) представляет собой совокупность конечного числа взаимосвязанных узлов обслуживания, в которой циркулируют заявки, переходящие в соответствии с маршрутной матрицей с выхода одного узла на вход другого. Каждый отдельный узел является разомкнутой СМО и отображает функционально самостоятельную часть реальной системы.

СеМО используются для определения таких важных характеристик моделируемых систем как:

 производительность;

 время доставки заявок (сообщений, пакетов и пр.);

 вероятность потери заявки;

 вероятность блокировки узла;

 допустимые значения нагрузки, при которых обеспечивается требуемое качество обслуживания

и др.

Для наглядного представления СеМО используется граф, вершины которого (узлы) соответствуют отдельным узлам сети, а дуги отображают связи между узлами.

Переход заявок между узлами происходит мгновенно в соответствии с переходными вероятностями , обозначающими вероятность того, что заявка после обслуживания в узле i перейдет в узел j.

Если узлы i и j непосредственно между собой не связаны, то = 0.

Если из узла i возможен переход только в узел j, то = 1.

Под входным потоком некоторого узла будем понимать поток заявок, приходящих на вход этого узла из внешней среды. В общем случае число входных потоков СеМО равно числу образующих сеть узлов.

Наиболее разработанной является теория экспоненциальных СеМО, основанная на аппарате марковских процессов с непрерывным временем, с помощью которой можно получить аналитические выражения для нахождения основных показателей исследуемых систем.

Экспоненциальной называют сеть, обладающую следующими свойствами:

 входные потоки пуассоновские;

 время обслуживания заявок в узлах распределено по экспоненциальному закону;

 заявки в узлах обслуживаются в порядке поступления;

 переход заявки с выхода i-го узла на вход j-го узла является независимым случайным событием, имеющим вероятность , - вероятность ухода заявки из CeМО.

Из этих свойств следует, что время обслуживания в каждом узле не зависит ни от времени обслуживания в других узлах, ни от параметров входящего потока, ни от состояния сети, ни от маршрутов следования требований.

Чтобы задать разомкнутую экспоненциальную СеМО необходимо задать значения следующего набора параметров:

 число узлов N;

 число каналов i-ого узла ;

 матрицу вероятностей передач ;

 интенсивности входных потоков заявок ;

 интенсивности или средние времена обслуживания заявок в узлах .

Интенсивности входных потоков в узлах λ1,..., λN находятся из уравнений баланса сети (см.далее) с учетом свойств слияния и разветвления потоков.

Стационарность сети означает, что среднее число заявок в любом ее фрагменте неизменно, т.е., суммарная интенсивность входящих в эту часть потоков равна суммарной интенсивности выходящих. Математическая запись этого факта называется уравнением баланса. Если в качестве фрагментов сети взять ее узлы, то, составляя уравнения баланса для каждого узла, можно получить систему уравнений, связывающую неизвестные интенсивности λ1,..., λN c известными Λ1,.., ΛN. В этом случае для N неизвестных получаются N уравнений. Добавлением к ним уравнения баланса для входных и выходных потоков всей сети в целом, получается система из N+1 уравнений, одно из которых можно использовать для проверки.

Сеть стационарна, если стационарны все ее узлы, т.е. если

(11‑1)

где

Поток заявок на входе отдельного узла складывается из входного потока сети (возможно, нулевой интенсивности) и из потоков, поступающих с выходов других узлов. Входной поток узла в экспоненциальной сети в общем случае пуассоновским не является, поэтому узлы СеМО в общем случае не экспоненциальные. Тем не менее, узлы все же часто считают экспоненциальными. Это позволяет найти из уравнений баланса значения интенсивностей λ1,..., λNвходных потоков заявок и воспользоваться для расчета показателей сети соответствующими аналитическими моделями теории МО.

Помимо показателей отдельных узлов для описания сети используются показатели, отражающие свойства сети в целом. К наиболее важным относятся следующие.

 Среднее время пребывания заявки в сети.

Время пребывания заявки в сети определяется как время, прошедшее с момента прихода заявки в сеть до момента ее ухода из сети. Среднее время пребывания рассчитывается по формуле:

(11‑2)

где Λ = Λ1+...+ΛN,

- среднее время пребывания заявки в j-ом узле (см. п.? раздела).

 Передаточные коэффициенты.

Под передаточным коэффициентом понимается среднее значение числа приходов заявки i-го входного потока в j-ый узел за время пребывания этой заявки в сети.

В стационарном режиме при любых Λ1,...ΛN для λ1,...λN справедливо:

(11‑3)

Интенсивности прихода заявок в j-ый узел λ1, λ2… λN выражены в (11‑3) через интенсивности входных потоков сети Λ1,... ΛN.

Суммы в правой части (11‑3) можно рассматривать как элементы матрицы-строки, представляющей собой произведение вектор-строки =Λ1,...ΛN на матрицу . Таким образом, (11‑3) можно записать в матричном виде:

где - вектор-строка λ1,...λN.

Положив в (11‑3) Λ1 = 1 и Λ2 = ... = ΛN = 0, получим

(11‑4)

т.е., строку коэффициентов - матрицы можно найти, решив уравнения баланса сети при Λ1=1, Λ2 = ... = ΛN = 0: согласно (11‑4), найденные значения λ1,..., λN будут численно равны коэффициентам ,... .

Значения ,..., находятся как решение уравнений баланса для Λk=1 и Λi = 0, i≠k.

Таким образом, находим последовательно значения элементов всех строк матрицы .

 Средние входовые времена пребывания в сети.

Средним входовым временем пребывания в сети называется среднее время пребывания в сети заявки, поступающей из i-го входного потока, .

Показатели можно вычислить по формуле:

(11‑5)

 Абсолютные пропускные способности.

Абсолютную пропускную способность по i-му входу Ai можно найти непосредственно по ее определению.

Записав условие стационарности СеМО в виде:

что эквивалентно

и выражая λi через Λi из (11‑3), получим развернутую форму условия стационарности:

(11‑6)

Некоторые из неравенств (11‑6) оказываются излишними: такие неравенства можно исключать из (11‑6), не изменяя решения системы.

Если все входные интенсивности сети, кроме Λi, положить равными нулю, то, используя развернутую форму записи условий стационарности, получим, что для стационарности необходимо, чтобы

или

(11‑7)

Величина Ai определится как минимум значений, стоящих в правых частях неравенств (11‑7):

 Условные пропускные способности.

Условной пропускной способностью по i-му входу Bi называют максимальное значение интенсивности Λi, при котором сеть остается стационарной.

При заданных Λk (k≠i) сеть стационарна для любых значений .

Условная пропускная способность, как и абсолютная, может быть найдена из (11‑3). Для нахождения Bi в (11‑3) следует подставить значения всех входных интенсивностей сети, кроме Λi и разрешить полученную систему относительно Λi:

(11‑8)

Bi находится как наименьшая из правых частой в (11‑8).

 Запасы по пропускным способностям.

Запас по пропускным способностям , показывает, насколько может быть увеличена интенсивность прихода заявок на i-ом входе при фиксированных остальных без нарушения условия стационарности.

21) Изучение объёмов грузовых перевозок и грузопотоков

Организация движения подвижного состава при перевозках должна обеспечивать наибольшую производительность и наименьшую себестоимость перевозок. Движение подвижного состава происходит по маршрутам.

Маршрут движения – это путь следования подвижного состава при выполнении перевозок.

Длина маршрута – это путь, проходимый автомобилем от начального до конечного пункта маршрута.

Оборотом подвижного состава на маршруте называется законченный цикл движения, т.е. движение по всему маршруту с возвращением подвижного состава в начальный пункт, из которого оно началось, с выполнением всех соответствующих операций.

Маршрутизация – разработка таких маршрутов движения, которые обеспечивают наилучшее использование пробега. Выбор маршрута зависит от расположения погрузочно-разгрузочных пунктов, размера партии груза и типа подвижного состава.

Маятниковым маршрутом называется такой маршрут, при котором движение между двумя пунктами многократно повторяются. Маятниковые маршруты бывают трех видов: с обратным не груженым пробегом, с обратным не полностью груженым пробегом, с груженым пробегом в обоих направлениях.

Маршрут с обратным не груженым пробегом носит название простого маятникового. Такой маршрут является наиболее нецелесообразным, т.к. при работе на нем за один оборот совершается только одна ездка с грузом. Коэффициент использования пробега β₀на простом маятниковом равен 0,5, т.к. l_ег = l_x.

Объем перевозок (Q) измеряется в тоннах и показывает количество груза, которое уже перевезено или необходимо перевезти за определенный период времени.

Грузооборот (P) измеряется в тонно-километрах и показывает объем транспортной работы по перемещению груза, которая уже выполнена или должна быть выполнена в течении определенного периода времени.

При определении объема перевозок необходимо учитывать, что одни и те же грузы могут перевозиться несколько раз. Это вызвано тем, что многие грузы не всегда следуют от места производства непосредственно к месту потребления.

Повторность приводит к тому, что объем перевозок может быть больше фактического количества груза, произведенного или потребленного в данном месте. Оно определяется коэффициентом повторности (К_повт), представляющим собой отношение объема перевозок к фактически произведенному или потребленному количеству груза:

.

Годовой грузооборот и объем перевозок, как правило, неравномерно распределяются по отдельным месяцам и кварталам. Степень неравномерности перевозок определяется коэффициентом неравномерности перевозок n_н:

,

,

Q_макс, P_макс – максимальные значения объема перевозок и грузооборота;Q_ср, P_ср – средние значения объема перевозок и грузооборота за определенный период времени.

Грузовым потоком (грузопотоком) называется количество груза в тоннах, следующего в определенном направлении за определенный период времени.