СМО с неограниченным ожиданием

Пусть имеется n-канальная СМО с очередью, на которую не наложено ограничений ни по длине очереди, ни по времени ожидания. В силу неограниченности очереди каждая заявка рано или поздно будет обслужена, поэтому Робсл=1, Ротк=0. Для СМО с неограниченной очередью накладывается ограничение r/n<1. Если это условие нарушено, то очередь растет до бесконечности, наступает явление «взрыва».

Вероятность простоя каналов

Вероятность занятости обслуживаниемk каналов

Вероятность занятости обслуживанием всех каналов при от­сутствии очереди:

Вероятность наличия очереди есть вероятность того, что число требований в системе больше числа каналов:

Вероятность для заявки попасть в очередь есть вероятность занятости всех каналов, эта вероятность равна сумме вероятностей наличия очереди и занятости всех n каналов при отсутствии очереди.

Среднее число занятых обслуживанием каналов

Доля каналов, занятых обслуживанием

Среднее число заявок в очереди (длина очереди)

Среднее число заявок в системе

Среднее время ожидания заявки в очереди:

Среднее время пребывания заявки в системе:

СМО с ожиданием и ограниченной длиной очереди

Имеется «-канальная система с ожиданием, в которой количе­ство заявок, стоящих в очереди, ограничено числом m, т.е. заявка, заставшая все каналы занятыми, становится в очередь, только если в ней находится менее m заявок. Если число заявок в очереди равно т, то последняя прибывшая заявка в очередь не становится и поки­дает систему необслуженной.

Системы с ограниченной очередью являются обобщением двух рассмотренных ранее СМО: при m = 0 получаем СМО с отказами, при т = со — СМО с ожиданием.

Вероятность простоя каналов

Вероятность отказа в обслуживании равна вероятности P_n+m того, что в очереди уже стоят m заявок:

Относительная пропускная способность есть величина, дополняющая вероятность отказа до 1, т.е. вероятность обслуживания:

Р_обсл=1-Р_отк

Абсолютная пропускная способность определяется равенством

A=l(1-P_отк)= l Р_обсл

Среднее число занятых каналов

Средняя длина очереди, т.е. среднее число заявок в очереди

Среднее время ожидания обслуживания в очереди:

Среднее число заявок в СМО

Среднее время пребывания заявки В СМО

Замкнутые СМО

В замкнутой СМО циркулирует одно и то же конечное число потен­циальных требований. Пока потенциальное требование не реализовалось в качестве требования на обслуживание, считается, что оно находится в блоке задержки. В момент реализации требование поступает в саму систему. Пусть п — число каналов обслуживания, s — число потенциальных заявок, п<s, l — интенсивность потока заявок каждого потенциального требования, m — интенсивность обслуживания:

.

Вероятность простоя системы:

Финальные вероятности состояний системы

при k<n, при n≤k≤s.

Среднее число занятых каналов

Или

Абсолютная пропускная способность:

Среднее число заявок в системе

Решение

n=3

t_обс=0,5 мин

l=4 з/мин

μ=1/ t_обс=2

r=l/μ=4:2=2

Вероятность простоя СМО:

Вероятность отказа

Относительная пропускная способность системы

Р_обсл=1-Р_отк»1-0,21=0,79

Абсолютная пропускная способность системы

A=l Р_обсл»3,16

Среднее число занятых каналов

Доля каналов занятых обслуживанием

Среднее время пребывания заявки в СМО находим как вероятность того, что заявка принимается к обслуживанию, умноженную на среднее время обслуживания: t_СМО»0,79·0,5»0,395 мин.

Объединим все три канала в один, получаем одноканальную систему с параметрами

n=1;t_обс=0,5/3=1/6; µ=6; r=4/6=2/3

Вероятность простоя СМО:

Вероятность отказа

Относительная пропускная способность системы

Р_обсл=1-Р_отк=1-0,4=0,6

Абсолютная пропускная способность системы

A=l Р_обсл=4·0,6=2,4

Среднее число занятых каналов

Доля каналов занятых обслуживанием

t_СМО=0,6·(1/6)=0,1 мин.