Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту

Силы гравитации.

Упругие силы.

Силы трения.

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту.

5. Примеры расчёта тяговых усилий при буксировке автомобиля.

Как показывает сравнение, гравитационные силы являются слабейшими из всех фундаментальных взаимодействий, однако они обладают свойствами аддитивности (суммируются!) и достигают значительных величин в космическом масштабе ( притяжение Луны, строение Солнечной системы и т.п.).

Величина гравитационной силы притяжения двух точечных масс m1 и m2 определена Ньютоном и известна как закон всемирного тяготения:

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru , ( 1 )

где Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru расстояние между массами, а G = 6,67 10 -11 Н· м2/кг2 - гравитационная

постоянная.

Чтобы подчеркнуть, что сила – это вектор, закон записывают несколько иначе, рассматривая силу, действующую на m2 со стороны m1:

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru , ( 2 )

Из формулы (2) видно направление силы (она направлена вдоль прямой, соединяющей взаимодействующие массы). Модуль силы притяжения P тела с массой m к Земле , которую называют силой тяжести можно записать так:

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru ( 3 )

где величина Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru - ускорение свободного падения, МЗ- масса Земли,

а RЗ – радиус Земли.

Из выражения для ускорения свободного паденияg видно, что оно не зависит от массы выбранного тела и поэтому одинаково для всех тел в определенной точке земной поверхности.

Важно подчеркнуть различие двух понятий – силы тяжести и веса тела. Первая сила существует всегда, когда есть притягивающая масса МЗ, тогда как вторая, представляющая меру воздействия тела на подставку или нить подвеса, вообще говоря может изменяться.

Для пояснения сказанного полезно рассмотреть показания весов, на которых стоит гиря (рисунок ниже!).

Внеподвижном состоянии на гирю действует две силы - сила тяжести Р и сила реакции опоры ( весов ) N, причем Р - N = 0.

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru Если весы движутся вниз с ускорением а,то уравнение второго закона Ньютона, записанное в неподвижной системе координат, имеет вид:

ma = P - N , (4 )

Откуда

N = P - ma = mg - ma = m( g - a ). ( 5 )

По третьему закону Ньютона сила реакции опоры N равна и противоположно направлена по отношению к силе давления гири на весы Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru , т.е. весу гири ( N = Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru ).

Поэтому вес гири будет равен: Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru = m (g - a).( 6 )

Очевидно, при а = g Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru = 0, т.е. все свободно падающие тела ничего не весят.

Упругие силы.

Кроме гравитационных сил в механике рассматриваются упругие силы (иначе, силы упругости!) и силы трения.

Силы упругости обусловлены деформациями. Деформации связаны с изменением взаимного расположения молекул, образующих рассматриваемое тело, причем силы возникают лишь тогда, когда деформации носят упругий характер.

В этом случае справедлив закон Гука так, что

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru , ( 1 )

где Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru обозначает величину упругой деформации, очевидно, что Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru при

растяжении тела, Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru при сжатии,

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru - коэффициент пропорциональности, зависящий от свойств деформируемого

тела и вида деформации.

Вычислим работу, совершаемую против упругой силы, при деформации на величину Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru одномерного стержня, показанного на рисунке .

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru По определению Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru .

Эта работа идет на изменение взаимного расположения отдельных частей тела, т. е. на изменение его потенциальной энергии.

Следовательно, зависимость потенциальной энергии стержня от величины его деформации Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru имеет вид:

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru , (2).

Силы трения.

Наиболее общим примером проявления упругих сил служат силы сжатия-растяжения пружин.

Рассмотрение сил трения можно ограничить двумя примерами: силами сухого и силами вязкого трения.

а) Сила сухого трения:

Fтр = – m ·N,( 2 )

где m - коэффициент трения, характеризующий свойства взаимодействующих

поверхностей, а N - так называемая сила нормального давления.

В отличие от сил вязкого трения эта сила не зависит от скорости движения тела.

б) Сила вязкого трения (ранее встречалась в задаче о демпфирующем устройстве – амортизаторе колебаний колеса автомобиля!), напротив, зависит от величины скорости, причем степень зависимости меняется по мере возрастания скорости.

Для сравнительно небольших скоростей она может быть представлена в таком виде:

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru ( 3 )

Величина коэффициента b зависит как от свойств самого тела, которое движется в вязкой среде, так и от свойств среды.

Практически важное значение имеет сила трения покоя, возникающая между соприкасающимися телами. Максимальную величину этой силы обычно оценивают поформуле для силы трения скольжения.

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту.

Здесь присутствуют некоторые интересные особенности.

Если выбирать обычную неподвижную систему координат, то при вращении направления скоростей и ускорения точки будут ежесекундно изменяться относительно координатных осей, что не совсем удобно. Поэтому оперируют с так называемой следящей системой координат, т.е. с такой системой, начало которой неподвижно и совпадает в выбранный момент времени с движущейся материальной точкой, а направления ее осей совпадает с направлением скорости тела в этот момент времени и с направлением радиуса вращения, проведенного в точку, где расположено тело в этот же момент времени.

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru

Важно отметить, что выбранная таким образом система отсчета является неподвижной относительно инерциальной системыотсчета (например, Земли), и в ней справедливы законы Ньютона.

Рассмотрим в качестве примера движение автомашины по выпуклому мосту, радиус которого равен r.Направим одну из осей следящей системы координат к центру моста, а другую – вдоль направления скорости v.

Уравнение движения в этом случае имеет вид ( в проекции на вертикальную ось):

maц = mg - N,( 1 )

где ац – центростремительное ускорение,

N –сила реакции моста, mg- сила тяжести.

Решая это уравнение относительно N, получаем, что

N = mg - maц = m(g - Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru ). ( 2 )

Откуда следует, что при Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru = g сила реакции моста будет равна 0.

Но это означает, что автомашина в этот момент времени не оказывает никакого давления на мост, т.е. она находится в состоянии невесомости.

4. Примеры расчёта тяговых усилий при буксировке автомобиля.

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru

Пример №1.

Автомобильный тягач буксирует автомобиль с заблокированными колёсами. Вес буксируемого автомобиля Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru тонн. Тягач развивает достаточно большое тяговое усилие. Определить величину силы, начиная с которой буксируемый автомобиль придёт в движение, если коэффициент сухого трения между колёсами автомобиля и поверхностью дорожного покрытия составляет ~ Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru .

Решение.

Буксируемый автомобиль представляется механической системой, на которую действует сила тяги – Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru и сила сопротивления – Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru .

Последняя представляет собой силу сухого трения – Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru где Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru коэффициент сухого трения (по условию – Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru ), Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru нормальная сила давления автомобиля на поверхность дороги (может быть принята равной весу автомобиля, то есть, Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru кг по условию).

С помощью второго закона Ньютона составляем уравнение движения буксируемого автомобиля:

Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru .

Очевидно, движение должно иметь место при Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru . Как видно из уравнения движения, это возможно, когда его правая часть больше нуля, то есть, Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru . С учётом чисел в условии получаем, что буксируемый автомобиль начнёт движение, когда сила тяги Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru кг!

Задание.Перейти к единицам системы СИ!

Пример № 2.

В условиях предыдущего примера считать, что тяговый трос выполнен из витой сталистой проволоки и может рассматриваться как упругая пружина с коэффициентом упругости – Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru кг/м. Определить величину удлинения троса в момент начала движения буксируемого автомобиля.

Решение.

Сила упругости пружины – Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru удлинение прижины [м].

Очевидно, что в момент начала движения трос должен испытывать действие силы Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru кг, то есть, Динамика вращения материальной точки. Автомобиль на выпуклом мосту - student2.ru м.

Задание.Перерейти к единицам системы СИ!

Наши рекомендации