Теоремы сложения и умножения вероятностей

1. Фирма по продаже автомобилей рекламирует две новые модели машин по радио и телевидению. Компанию интересует эффективность рекламы, в частности, оценка того, что случайно выбранный человек имеет представление хотя бы об одной из двух рекламируемых моделей. Определим событие А как событие, состоящее в том, что случайно выбранный человек слышал рекламу по радио, а событие В — как событие, состоящее в том, что случайно выбранный человек знает о новых моделях автомобилей из рекламы телевидения. Определить в этом контексте

2. Брокерская фирма имеет дело с акциями и облигациями. Для анализа деятельности фирме полезно оценить вероятность того, что лицо, интересующее фирму, является держателем акций (событие A) или облигаций (событие B). Определить в этом контексте AB, A+B.

3. В автопробеге участвуют 3 автомобиля: первый автомобиль может сойти с маршрута с вероятностью 0,15; второй — с вероятностью 0,05; третий — с вероятностью 0,1. Определить вероятность того, что к финишу прибудут: а) только один автомобиль; б) два автомобиля; в) по крайней мере два автомобиля. Ответы: а) 0,02525, б) 0,24725, в) 0,974.

4. Вероятность успешной сдачи экзамена по ТВ и МС равна 0,7, а при следующей попытке она увеличивается на 0,1. Определить вероятность того, что студент сдаст экзамен, если у него имеется только 3 попытки. Ответ: 0,994.

5. Предположим, что 25% населения живет в области, охваченной коммерческим TV, рекламирующим две новые модели автомобилей фирмы; 34% населения охвачено радиорекламой. Также известно, что 10% населения слушают радио и теле рекламу. Если случайно отобрать человека, живущего в данной области, то чему равна вероятность того, что он знаком, по крайней мере, хотя бы с одной из рекламных телепередач фирмы? Ответ: 0,49.

6. Предположим, что 86% людей, которые интересуются возможными инвестициями в брокерскую фирму, не покупают акции, а 33% не покупают облигации. Также известно, что 28% интересующихся прерывают покупку ценных бумаг — как акций, так и облигаций. Некто интересуется делами компании; чему равна вероятность того, что он будет покупать либо акции, либо облигации,, либо и то и другое? Ответ: 0,72.

7. Служащий кредитного отдела банка знает, что 12% фирм, бравших кредит в банке, обанкротились и не вернут кредиты по крайней мере в течение пяти лет. Он также знает, что обанкротились 20% кредитовавшихся в банке фирм. Если один из клиентов банка обанкротился, то чему равна вероятность того, что он окажется не в состоянии вернуть долг банку? Ответ: 0,6.

8. Секрет увеличения доли определенного товара на рынке состоит в привлечении новых потребителей и их сохранении. Сохранение новых потребителей товара называется brand loyalty (приверженность потребителя к данной марке или разновидности товара) и это одна из наиболее ответственных областей рыночных исследований. Производители нового сорта товара знают, что вероятность того, что потребители сразу примут новый продукт и создание brand loyalty потребует по крайней мере шести месяцев, равна 0,02. Производитель также знает, что вероятность того, что случайно отобранный потребитель примет новый сорт, равна 0,05. Предположим, что потребитель только что изменил марку товара. Какова вероятность того, что он сохранит свои предпочтения в течение шести месяцев? Ответ: 0,4.

9. Стандарт заполнения счетов, установленный фирмой, пред­полагает, что не более 5% счетов будет заполняться с ошибками. Время от времени компания проводит случайную выборку счетов для проверки правильности их заполнения. Исходя из того, что допустимый уровень ошибок 5% и 6 счетов отобраны в случайном порядке, определите, чему равна вероятность того, что среди них нет ошибок? Ответ: 0,7351.

10. В студенческой группе 28 человек. Среди них 20 студентов старше 19 лет и 8 студентов старше 22 лет. Путем жеребьевки разыгрывается пригласительный билет на концерт. Чему равна вероятность того, что билет достанется студенту старше 19 либо старше 22 лет? Ответ: 0,7143.

11. Одна из наиболее сложных проблем рыночных исследований — отказ потребителей отвечать на вопросы о потребительских предпочтениях, либо, если опрос проводится по месту жительства, — отсутствие их дома на момент опроса. Предположим, что исследователь рынка с вероятностью в 0,94 верит, что респондент согласится отвечать на вопросы анкеты, если окажется дома. Он также полагает, что вероят­ность того, что этот же человек будет дома, равна 0,65. Имея такие данные, оцените процент заполненных анкет. Ответ: 61%.

12. В большом универмаге установлен скрытый «электронный глаз» для подсчета числа входящих покупателей. Когда два покупателя входят в магазин вместе и один идет перед другим, то первый из них будет учтен электронным устройством с вероятностью 0,98, второй — с вероятностью 0,94, а оба — с вероятностью 0,93. Чему равна вероятность того, что устройство сканирует по крайней мере одного из двух входящих вместе покупателей. Ответ: 0,99.

13. В мешке смешаны нити, среди которых 80% белые, а остальные – красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити окажутся одного цвета.

14. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены его внимания потребует первый станок равна 0.3, второй – 0.35, третий – 0.15. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребуют какие-либо два станка.

15. Вероятность того, что пришедший в библиотеку студент закажет учебное пособие по теории вероятностей равна 0.05. Найти вероятность того, что среди троих первых студентов, пришедших в библиотеку, только один закажет учебное пособие по теории вероятностей.

16. Среди производимых рабочим деталей 6% брака. Какова вероятность того, что среди взятых на испытание четырех деталей хотя бы одна бракованная.

17. Радист трижды вызывает корреспондента. Вероятность того, что будет принят первый вызов равна 0.4, второй – 0.7, третий – 0.3. События, состоящие в том, что данный вызов будет услышан, независимы. Найти вероятность того, что корреспондент услышит вызов радиста.

18. По цели стреляют два торпедных катера. Вероятность попадания в цель для первого катера равна 0.7, для второго – 0.85. Для поражения цели достаточно попадания в нее одной торпеды. Каждый катер делает по одному выстрелу. Определить вероятность того, что цель поражена.

19. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0.7, второе – 0.9. Найти вероятность того, что при аварии сработает только одно устройство.

20. Деталь проходит три операции обработки. Вероятность того, что она окажется бракованной после первой операции равна 0.05, после второй – 0.07, после третьей – 0.1. Найти вероятность того, что после трех операций деталь окажется бракованной, предполагая, что появление брака на отдельных операциях – независимые события.

21. В механизм входят три детали. Работа механизма нарушается, если хотя бы одна деталь выйдет из строя. Вероятность выйти из строя для первой детали – 0.1, для второй – 0.15, для третьей – 0.05. Найти вероятность нормальной работы механизма.

22. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос равна 0.9, на второй – 0.6, на третий – 0.8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить по крайней мере на один вопрос.

23. Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0.7, на второй – 0.9, на третьей – 0.75, на четвертой – 0.8. Найти вероятность того, что хотя бы на одной базе не окажется нужного материала.

24. Из партии деталей контролер отбирает стандартные. Вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартная, равна 0.85. Найти вероятность того, что из трех проверенных деталей только две будут стандартные.

25. В первом ящике 1 белый, 3 красных и 1 синий шар, во втором 3 белых, 2 красных и 5 синих шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров хотя бы один красный шар?

26. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем ящике соответственно равны 0.7, 0.5, 0.9. Найти вероятность того, что деталь содержится хотя бы в одном ящике.

27. Студент записан в три библиотеки, в которых он разыскивает нужную ему книгу по комбинаторике. Вероятность найти книгу в первой библиотеке равна 0.2, во второй – 0.7, в третьей – 0.5. Найти вероятность того, что книгу можно найти хотя бы в одной библиотеке.

28. Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него будут сброшены три бомбы с вероятностями попадания соответственно равными 0.7, 0.2, 0.85.

29. В одном ящике 3 белых и 7 красных шаров, в другом 6 белых и 4 красных. Из каждого ящика наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что хотя бы из одного ящика будет извлечен белый шар.

30. Вероятность того, что в течение одной смены станок выйдет из строя равна 0.1. Какова вероятность того, что не произойдет ни одной неполадки за три смены?

31. В первом ящике 1 белый, 3 красных и 1 синий шар, во втором 3 белых, 2 красных и 5 синих шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет синих?

32. В мешке смешаны нити, среди которых 80% белые, а остальные – красные. Определить вероятность того, что вынутые наудачу две нити окажутся разных цветов.

33. Рабочий обслуживает три станка. Вероятность того, что в течение смены его внимания потребует первый станок равна 0.3, второй – 0.35, третий – 0.15. Найти вероятность того, что в течение смены внимания рабочего потребует хотя бы один станок.

34. Для сообщения об аварии установлены два независимо работающих устройства. Вероятность того, что при аварии сработает первое устройство равна 0.7, второе – 0.9. Найти вероятность того, что при аварии сработает хотя бы одно устройство.

35. В механизм входят три детали. Работа механизма нарушается, если хотя бы одна деталь выйдет из строя. Вероятность выйти из строя для первой детали – 0.1, для второй – 0.15, для третьей – 0.05. Найти вероятность того, что работа механизма будет нарушена.

36. Экзаменационный билет содержит три вопроса. Вероятность того, что студент ответит на первый вопрос равна 0.9, на второй – 0.6, на третий – 0.8. Найти вероятность того, что студент сдаст экзамен, если для этого необходимо ответить по крайней мере на два вопроса.

37. Заводом послана автомашина за различными материалами на четыре базы. Вероятность наличия нужного материала на первой базе равна 0.7, на второй – 0.9, на третьей – 0.75, на четвертой – 0.8. Найти вероятность того, что только на одной базе не окажется нужного материала.

38. Из партии деталей контролер отбирает стандартные. Вероятность того, что наудачу взятая деталь стандартная, равна 0.85. Найти вероятность того, что из трех проверенных деталей хотя бы одна нестандартная.

39. Вероятности того, что нужная сборщику деталь содержится в первом, втором, третьем ящике соответственно равны 0.7, 0.5, 0.9. Найти вероятность того, что деталь содержится по крайней мере в двух ящиках.

40. Студент записан в три библиотеки, в которых он разыскивает нужную ему книгу по комбинаторике. Вероятность найти книгу в первой библиотеке равна 0.2, во второй – 0.7, в третьей – 0.5. Найти вероятность того, что книгу можно найти по крайней мере в двух библиотеках.

41. В одном ящике 3 белых и 7 красных шаров, в другом 6 белых и 4 красных. Из каждого ящика наудачу извлекают по одному шару. Найти вероятность того, что оба извлеченных шара красные.

42. В первом ящике 1 белый, 3 красных и 1 синий шар, во втором 3 белых, 2 красных и 5 синих шаров. Из каждого ящика вынули по шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров нет белых шаров?