Теоремы сложения и умножения вероятностей

Обобщим аксиому сложения вероятностей на произвольное число несовместных событий.

Теорема 1 (сложения вероятностей). Вероятность суммы произвольного числа Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Замечание. Аксиоматически теорема сложения вероятностей распространяется на случай бесконечного (счетного) числа событий

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Следствие 1. Сумма вероятностей событий, образующих полную группу, равна единице.

Следствие 2. Сумма вероятностей противоположных событий равна единице.

Чтобы сформулировать правило умножения вероятностей, введем понятие условной вероятности.

Определение. Условной вероятностью события Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru называется вероятность события Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru при условии, что другое событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru произошло (обозначается Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru или Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ).

Для иллюстрации последнего определения рассмотрим следующий пример.

Пример. Студент из 30 билетов успел выучить билеты с 1-го по 3-ий и с 28-го по 30-й. На экзамен он пришел одиннадцатым, и оказалось, что к его приходу остались только билеты с 1-го по 20-й (событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ). Найти вероятность того, что студент получит выученный билет: а) без дополнительной информации о том, что событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru произошло; б) при дополнительной информации о том, что событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru произошло.

Решение. Пусть событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - студент получил выученный билет. Согласно формуле (1) имеем для случая, когда дополнительная информация отсутствует (случай а) ):

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

В случае наличия дополнительной информации (случай б) ) о том, что событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru уже произошло, число всех элементарных исходов испытания равно 20, а событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru наступает вместе с событием Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru в 3-х случаях. Следовательно, в случае б) естественно определить условную вероятность Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru события Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru при условии, что Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru произошло:

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Сформулируем теперь четвертую аксиому, которая называется аксиомой умножения вероятностей.

40. Вероятность произведения (совмещения) двух событий равна произведению вероятности одного из них на условную вероятность другого:

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . (2)

Прежде, чем рассматривать теорему умножения вероятностей, введем понятие независимых и зависимых событий.

Определение. События Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru называются независимыми, если условная вероятность одного из них, при условии, что второе произошло, равна безусловной (исходной) вероятности первого:

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru или Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ,

другими словами, вероятность события Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru не зависит от того, произошло событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru или нет (и наоборот).

Замечание. Для независимых событий, таким образом справедливо соотношение:

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru

Пример. В урне находятся 3 белых и 4 черных шара. Из урны наудачу берут один шар, затем взятый шар возвращают в урну и испытание повторяют. Найти вероятность появления белого шара при первом испытании и при втором испытании.

Решение. Пусть событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - появление белого шара при первом испытании, событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - появление белого шара при втором испытании. Очевидно, что вероятность события Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ( Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ) не зависит от результата первого испытания. Таким образом, событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru не зависит от события Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ( Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ).

Замечание. Если события Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru независимы, то независимы также события: Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Теорема 2 (умножения вероятностей). Вероятность произведения, или совместного появления, нескольких событий равна произведению вероятности одного из них на условные вероятности остальных событий, вычисленные в предположении, что все предшествующие события имели место:

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .(3)

Замечание. Теорема может быть доказана методом математической индукции аналогично теореме 1.

Определение. События Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru называются независимыми в совокупности, если каждое из них не зависит от остальных и их произведений.

Замечание. Для событий Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , независимых в совокупности, формула (3) принимает вид:

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru . (4)

Пример. В двух ящиках, содержащих по 10 деталей, находятся стандартные детали: 5 в первом и 7 во втором. Из каждого ящика вынимают по одной детали. Найти вероятность того, что две вынутые детали окажутся стандартными.

Решение. Пусть событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - из 1-го ящика вынули стандартную деталь, вероятность этого события равна Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ; событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - из 2-го ящика вынули стандартную деталь, вероятность этого события равна Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ; событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - две вынутые детали стандартны (и 1-я и 2-я).

Так как Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и события Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru являются независимыми, то

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Пример.В ящике 6 белых и 8 черных шаров, из ящика вынули два шара, не возвращая вынутый шар в ящик. Найти вероятность того, что оба шара белые.

Решение. Пусть событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - вынутый первым шар белый, вероятность этого события равна Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ; событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - вынутый вторым шар белый (при условии, что белым был первый шар), вероятность этого события равна Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ; событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - два шара белые (и 1-й и 2-й).

События Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru и Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru зависимые, Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , поэтому

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Теорема умножения вместе с теоремой сложения вероятностей для несовместных событий позволяют доказать теорему сложения вероятностей совместных событий.

Теорема 3 (сложения вероятностей для совместных событий). Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий без вероятности их совместного появления:

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Для исключения громоздких вычислений переходят к противоположному событию и записывают теорему в следующей формулировке.

Теорема о вероятности появления хотя бы одного из n независимых событий. Вероятность появления хотя бы одного из n независимых событий равна разности между единицей и произведением вероятностей событий, противоположных данным:

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Пример.Три стрелка независимо друг от друга стреляют по цели. Вероятность попадания в цель для первого стрелка равна 0,75, для второго 0,8, для третьего – 0,9. Найти вероятность того, что в цель попадет хотя бы один стрелок.

Решение. Пусть событие Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru - первый стрелок попал в цель, Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ; событие B – второй стрелок попал в цель, Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru ; событие С – третий стрелок попал в цель, Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru , Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Событие D – хотя бы один стрелок попал в цель.

Теоремы сложения и умножения вероятностей - student2.ru .

Наши рекомендации