Биномиальный закон распределения
Глава 7.
Конкретные законы распределения случайных величин
Виды законов распределения дискретных случайных величин
Пусть дискретная случайная величина может принимать значения х1, х2, …, хn, … . Вероятности этих значений могут быть вычислены по различным формулам, например, при помощи основных теорем теории вероятностей, формулы Бернулли или по каким-то другим формулам. Для некоторых из этих формул закон распределения имеет свое название.
Наиболее часто встречающимися законами распределения дискретной случайной величины являются биномиальный, геометрический, гипергеометрический, закон распределения Пуассона.
Биномиальный закон распределения
Пусть производится n независимых испытаний, в каждом из которых может появиться или не появиться событие А. Вероятность появления этого события в каждом единичном испытании постоянна, не зависит от номера испытания и равна р=Р(А). Отсюда вероятность не появления события А в каждом испытании также постоянна и равна q =1–р. Рассмотрим случайную величину Х равную числу появлений события А в n испытаниях. Очевидно, что значения этой величины равны
х1=0 – событие А в n испытаниях не появилось;
х2=1 – событие А в n испытаниях появилось один раз;
х3=2 – событие А в n испытаниях появилось два раза;
…………………………………………………………..
хn+1 = n – событие А в n испытаниях появилось все n раз.
Вероятности этих значений могут быть вычислены по формуле Бернулли (4.1):
, (7.1)
где к=0, 1, 2, …, n .
Биномиальным законом распределения называется распределение дискретной случайной величины Х, равной числу успехов в n испытаниях Бернулли, с вероятностью успеха р.
Итак, дискретная случайная величина имеет биномиальное распределение (или распределена по биномиальному закону), если ее возможные значения 0, 1, 2, …, n, а соответствующие вероятности вычисляются по формуле (7.1).
Биномиальное распределение зависит от двух параметров р и n.
Ряд распределения случайной величины, распределенной по биномиальному закону, имеет вид:
| Х | … | k | … | n | ||
| Р |  |  | … |  | … |  |
Пример 7.1. Производится три независимых выстрела по мишени. Вероятность попадания при каждом выстреле равна 0,4. Случайная величина Х – число попаданий в мишень. Построить ее ряд распределения.
Решение. Возможными значениями случайной величины Х являются х1=0; х2=1; х3=2; х4=3. Найдем соответствующие вероятности, используя формулу Бернулли. Нетрудно показать, что применение этой формулы здесь вполне оправдано. Отметим, что вероятность не попадания в цель при одном выстреле будет равна 1-0,4=0,6. Получим
Ряд распределения имеет следующий вид:
| Х | ||||
| Р | 0,216 | 0,432 | 0,288 | 0,064 |
Нетрудно проверить, что сумма всех вероятностей равна 1. Сама случайная величина Х распределена по биномиальному закону. ■
Найдем математическое ожидание и дисперсию случайной величины, распределенной по биномиальному закону.
При решении примера 6.5 было показано, что математическое ожидание числа появлений события А в n независимых испытаниях, если вероятность появления А в каждом испытании постоянна и равна р, равно n·р
В этом примере использовалась случайная величина, распределенная по биномиальному закону. Поэтому решение примера 6.5, по сути является доказательством следующей теоремы.
Теорема 7.1. Математическое ожидание дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равно произведению числа испытаний на вероятность "успеха", т.е. М(Х)= n·р.
Аналогично, решение примера 6.9 можно считать доказательством теоремы 7.2.
Теорема 7.2.Дисперсия дискретной случайной величины, распределенной по биномиальному закону, равна произведению числа испытаний на вероятность "успеха" и на вероятность "неудачи", т.е. D(Х)= nрq.
Асимметрия и эксцесс случайной величины, распределенной по биномиальному закону, определяются по формулам
и 
.
Эти формулы можно получить, воспользовавшись понятием начальных и центральных моментов.
Биномиальный закон распределения лежит в основе многих реальных ситуаций. При больших значениях n биномиальное распределение может быть аппроксимировано с помощью других распределений, в частности с помощью распределения Пуассона.
Распределение Пуассона
Пусть имеется n испытаний Бернулли, при этом число испытаний n достаточно велико. Ранее было показано, что в этом случае (если к тому же вероятность р события А очень мала) для нахождения вероятности того, что событие А появиться т раз в испытаниях можно воспользоваться формулой Пуассона (4.9). Если случайная величина Х означает число появлений события А в n испытаниях Бернулли, то вероятность того, что Х примет значение k может быть вычислена по формуле
, (7.2)
где λ = nр.
Законом распределения Пуассонаназывается распределение дискретной случайной величины Х, для которой возможными значениями являются целые неотрицательные числа, а вероятности рт этих значений находятся по формуле (7.2).
Величина λ = nр называется параметромраспределения Пуассона.
Случайная величина, распределенная по закону Пуассона, может принимать бесконечное множество значений. Так как для этого распределения вероятность р появления события в каждом испытании мала, то это распределение иногда называют законом редких явлений.
Ряд распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, имеет вид
| Х | … | т | … | ||||
| Р |  |  |  |  | … |  | … |
Нетрудно убедиться, что сумма вероятностей второй строки равна 1. Для этого необходимо вспомнить, что функцию 
можно разложить в ряд Маклорена, который сходится для любого х. В данном случае имеем
. (7.3)
Тогда
Как было отмечено, закон Пуассона в определенных предельных случаях заменяет биномиальный закон. В качестве примера можно привести случайную величину Х, значения которой равны количеству сбоев за определенный промежуток времени при многократном применении технического устройства. При этом предполагается, что это устройство высокой надежности, т.е. вероятность сбоя при одном применении очень мала.
Кроме таких предельных случаев, на практике встречаются случайные величины, распределенные по закону Пуассона, не связанные с биномиальным распределением. Например, распределение Пуассона часто используется тогда, когда имеют дело с числом событий, появляющихся в промежутке времени (число поступлений вызовов на телефонную станцию в течение часа, число машин, прибывших на авто мойку в течение суток, число остановок станков в неделю и т.п.). Все эти события должны образовывать, так называемый поток событий, который является одним из основных понятий теории массового обслуживания. Параметр λ характеризует среднюю интенсивность потока событий.
Пример 7.2. На факультете насчитывается 500 студентов. Какова вероятность того, что 1 сентября является днем рождения для трех студентов данного факультета?
Решение. Так как число студентов n=500 достаточно велико и р – вероятность родится первого сентября любому из студентов равна 
, т.е. достаточно мала, то можно считать, что случайная величина Х – число студентов, родившихся первого сентября, распределена по закону Пуассона с параметром λ = np= 
=1,36986. Тогда, по формуле (7.2) получим
. ■
Теорема 7.3.Пусть случайная величинаХ распределена по закону Пуассона. Тогда ее математическое ожидание и дисперсия равны друг другу и равны значению параметра λ, т.е. M(X) = D(X) = λ = np.
Доказательство. По определению математического ожидания, используя формулу (7.3) и ряд распределения случайной величины, распределенной по закону Пуассона, получим
.
Прежде, чем найти дисперсию, найдем вначале математическое ожидание квадрата рассматриваемой случайной величины. Получаем
Отсюда, по определению дисперсии, получаем
.
Теорема доказана.
Применяя понятия начальных и центральных моментов, можно показать, что для случайной величины, распределенной по закону Пуассона, коэффициенты асимметрии и эксцесса определяются по формулам
и 
.
Нетрудно понять, что, так как по смысловому содержанию параметр λ = np положителен, то у случайной величины, распределенной по закону Пуассона, всегда положительны и асимметрия и эксцесс.