Оценка величины случайных погрешностей при многократных измерениях

Практика измерений показывает, что если количество измерений довольно большое (n > 15…50), то, как бы ни был велик ряд результатов измерений, случайные погрешности колеблются в определенных, зачастую довольно узких пределах, при этом частота появления этих погрешностей уменьшается с ростом их величины. Иначе говоря, большие погрешности наблюдаются реже, чем малые. Отсюда вытекает первое свойство случайных погрешностей, а именно: они не могут превосходить по абсолютному значению определенного предела, зависящего от условий проведения измерений (средства измерений, внешние условия, квалификация экспериментатора и т.д.). В ряду результатов измерений случайные погрешности встречаются примерно в равной степени, как со знаком плюс, так и со знаком минус. Отсюда следует второе свойство случайных погрешностей измерений: положительные и отрицательные погрешности встречаются в ряду измерений одинаково часто. Когда погрешности измерений обладают вышеперечисленными свойствами, то говорят о нормальном распределении их величин, при этом совокупность всех значений погрешностей при выполнении большого количества измерений (в идеале n→∞, однако на практике это имеет место уже при n > 15…50) называется генеральной совокупностью.

При нормальном распределении случайных величин они хорошо поддаются анализу с помощью основных положений теории вероятности и математической статистики. При этом вероятностный характер погрешностей результатов измерений предопределяет использование при их оценке двух показателей: доверительной погрешности 2∆х (где ∆х – полуширина доверительной погрешности) и доверительной вероятности Р, т.е. вероятности того, что х_изм будет отличаться от x_ист на величину не большую, чем ∆х (где х_изм и x_ист -соответственно измеренное и истинное значение величины). При обработке данных измерений обычно принимают Р=0,95 или 95%

Практика измерений физических величин показывает, что при малом числе измерений (n < 15) распределение их случайных погрешностей начинает несколько отличаться от нормального и становится зависимым от числа измерений. Такое распределение получило название распределение Стьюдента. При n > 15…50 распределение Стьюдента переходит в нормальное. Таким образом, распределение Стьюдента можно рассматривать как своего рода нормальное распределение при малых выборках. Согласно ГОСТ 8.2070-76 при числе измерений n<15 принадлежность их к нормальному распределению уже не проверяется, а принимается априори. При n>15 это необходимо делать в обязательном порядке.

В связи с тем, что распределение Стьюдента относится к относительно небольшой выборке из генеральной совокупности, а истинное значение x_ист измеряемой величины Х неизвестно, оценка результатов измерений осуществляется с помощью:

- среднего арифметического значения x_ср представляющего собой среднее арифметическое всех результатов измерений

(2.58)

где: x_i – результат i-го единичного измерения;

- средней квадратической погрешности результатов единичных измерений в ряду измерений S_x, являющейся оценкой рассеяния единичных результатов измерений в ряду равноточных измерений одной и той же физической величины около их среднего значения

(2.59)

- коэффициента вариации W_в, характеризующего изменчивость изучаемого свойства материала:

(2.60)

- средней квадратической погрешности результата измерения среднего арифметического S(x_ср), являющейся оценкой случайной погрешности среднего арифметического значения результата измерений одной и той же величины в данном ряду измерений

(2.61)

Выражение (2.61) отражает фундаментальный закон возрастания точности измерений при росте их числа. Из него следует, что для повышения точности измерений в два раза, необходимо вместо одного измерения провести четыре. Разумеется, это относится к измерениям, при которых точность результата полностью определяется случайными погрешностями. В этих условиях, выбрав n достаточно большим, можно существенно повысить точность конечного результата.

Полуширина доверительной погрешности ∆х в распределении Стьюдента определяется, как

, (2.62)

где t_p(n) – коэффициент распределения (или критерий) Стьюдента, являющийся функцией доверительной вероятности Р и числа измерений n. Его значения приведены в табл. 2.13.

Таблица 2.13

Значения коэффициента Стьюдента t_p(n) при P=0,95

n	tp(n)	n	tp(n)	n	tp(n)
	12,706		2,447		2,201
	4,303		2,365		2,179
	3,182		2,306		2,160
	2,776		2,262		2,145
	2,571		2,228		2,131

Определенная таким образом величина ∆х является абсолютной погрешностью определения действительного значения х_д измеряемой величины Х при проведении серии измерений.

Как уже указывалось выше, при статистической обработке полученных результатов измерений необходимо убедиться в том, что в рассматриваемом ряду измерений отсутствуют результаты, содержащие промахи. Эта задача решается статистическими методами, основанными на том, что распределение к которому относится рассматриваемая группа измерений, в первом приближении можно считать нормальным. Проверка выборки на наличие промахов проводится при числе измерений n > 3, так как при n=2 невозможно определить какая из двух величин измерений содержит промах.

Для проверки возможности исключения из ряда результатов измерений результата измерения, подозреваемого на аномальность x_a, т.е. на наличие промаха необходимо вычислить критерий проверки на аномальность K_a:

, (2.63)

где х_ср вычисляют с учетом всех измерений n.

Затем необходимо сравнить полученную величину К_а с критическим значением этого критерия К_а^кр при доверительной вероятности Р=0,95 и соответствующем числе измерений n. Значения К_а^кр для Р=0,95 и n=3…17 приведены в табл. 2.14.

Таблица 2.14

Критические значения критерия проверки на аномальность К_а^кр при Р=0,95

n	Какр	n	Какр	n	Какр
	1,412		2,172		2,426
	1,689		2,237		2,461
	1,869		2,294		2,493
	1,996		2,343		2,523
	2,093		2,387		2,551

Если К_а > К_а^кр, то x_a, содержит промах и этот результат необходимо исключить из выборки. Если же К_а < К_а^кр, то x_a не содержит промаха и его нельзя исключать из выборки. После отбрасывания х_а величины х_ср, S_x вычисляются снова, но ряд измерений должен быть уже уменьшен на одно измерение х_а. В качестве х_а рассматривается тот результат измерения, который дальше всего отстоит от х_ср, т.е. |х_а–х_ср| должна быть максимальной в ряду измерений.

Если ряд измерений содержит несколько подозреваемых результатов, то проверку осуществляют в несколько стадий, начиная с х_а, для которого |х_а–х_ср| будет наибольшей. Если этот х_а отбрасывается, то из получившегося нового ряда проверяется другой х_а, для которого в новом ряду измерений |х_а–х_ср| будет уже наибольшей. Рекомендуется отбрасывать не более 15% измерений. Если приходится отбрасывать больше, то, следовательно, гипотеза о нормальности распределения измерений в данном эксперименте неправомерна.

При известных величинах х_ср, ∆х, и Р окончательный результат измерения соответствующей физической величины записывается следующим образом:

х_д = х_ср ± ∆х, единица измерения, при Р=0,95 (2.64)

Например, m = 5 ± 0,15 кг при Р=0.95, где m – масса образца. Такая запись читается следующим образом. С вероятностью Р=0,95 (или Р=0,95%) действительное значение измеренной физической величины Х будет находиться в интервале от х_ср-∆х до х_ср+∆х.

Необходимое количество измерений n_н для достижения требуемой точности измерений А_х при доверительной вероятности Р=0,95 можно определить заранее только тогда, когда известна дисперсия S_x², определяемая как квадрат средней квадратической погрешности результатов единичных измерений. В этом случае

(2.65)

Для того, чтобы свести к минимуму число измерений, рекомендуется пользоваться следующим приемом. Сначала проводится первая серия измерений количеством n₁ ≤ 5..6. По результатам этой серии измерений определяют n_н. Если будет установлено, что n_н > n_p то проводится вторая серия дополнительных измерений, число которых n₂ = n_н – n₁. После второй серии измерений опять определяется величина n_н. Путем последовательных приближений добиваются, чтобы разница между величинами n_н в текущей и предыдущих сериях была порядка единицы.

Ориентировочно n_н можно определить, используя величину вычисленного в рассматриваемой серии измерений коэффициента вариации W_в. Взаимосвязь между ними приведена в табл. 2.15.

Таблица 2.15

Взаимосвязь между величинами W_в и n_н

Коэффициент вариации Wв, %
Необходимое количество измерений nн

На основе измерений, полученных в предыдущем лабораторном практикуме необходимо оценить величины случайных погрешностей. За искомую величину принимается высота одного и того же дерева, измеренная различными студентами при помощи одного и того же прибора.

Задания для выполнения практической работы 2.8

1) Вычислить среднее арифметическое значение х_ср.

2) Вычислить среднюю квадратическую погрешность результатов единичных измерений S_x.

3) Если в ряду измерений х_i имеются значения х_а, существенно отличающиеся от х_ср, то провести проверку на аномальность.

4) Определить коэффициент вариации Wв.

5) Определить среднюю квадратическую погрешность результата измерения среднего арифметического S(x_ср).

6) Вычислить полуширину доверительной погрешности ∆х и представить окончательный результат.

7) Уточнить, достаточно ли было число проведенных измерений искомой физической величины.

Перечет деревьев

Для определения запаса древесины и выхода деловых сортиментов производят перечет деревьев, назначенных в рубку. Перечет ведут по породам и ступеням толщины. При этом обмеряют диаметр деревьев на высоте груди и одновременно дают качественную их оценку с распределением на деловые, полуделовые и дровяные. К деловым относят деревья общей длиной деловых сортиментов в комлевой части 6,5 м и более. У деловых деревьев высотой до 20 м длина деловой части должна быть не менее 1/3 длины ствола, у полуделовых от 2 до 6,5 м. К дровяным относят деревья, у которых в комлевой половине деловая древесина отсутствует или по длине менее 2 м. Поврежденные в нижней части ствола деревья, если повреждение не распространяется выше 2,5 м от комля, относят к соответствующей категории по технической годности в зависимости от длины деловой части.

Лесозаготовители для заготовки спецсортиментов отбирают высококачественную древесину. К таким относят деревья, из деловой части которых (не менее 6,5 м) могут быть заготовлены высококачественные сортименты длиной не менее 2,5 м. Обмер деревьев при перечете в спелых насаждениях проводят по 4-х сантиметровым ступеням толщины. Обмеряют деревья мерными вилками.

Методы таксации лесосек зависят от способа рубки леса, вида учета, площади лесосеки и характера древостоя. В зависимости от площади лесосеки, полноты древостоя и густоты подроста под пологом леса устанавливаются способы таксации, приведенные в табл. 2.16 [2].В насаждениях полнотой 0,4 и рединах, в лесах I и II групп производится сплошной перечет независимо от площади лесосек.

Таблица 2.16

Методы таксации в зависимости от площади лесосек

Площадь лесосеки (делянки), га	Метод таксации
Не более 5	Сплошной перечет.
5,1 – 10	Круговые площадки с узкими лентами перечета.
10,1 – 20	То же или линейная выборка: круговые площадки, если на лесосеке выделены таксационные участки; линейная выборка, если не выделены таксационные участки
Более 20,1	Линейная выборка или круговые площадки.
Независимо от площади лесосек при наличии густого подроста и подлеска, высокой травы, низкоопущенных крон, не позволяющих использовать угловые шаблоны	В лесах I и II групп — сплошной перечет, в лесах III группы — ленточный перечет; при значительных объемах отводов лесосек в лесах II группы органы лесного хозяйства союзных республик могут разрешить проведение ленточного перечета

Форма 1

Лесничество _________, участковое лесничество ___________, группа лесов ________;

хозяйство_________, квартал №____, лесосека____ г., делянка №___;

таксационный участок № ____, эксплуатационная площадь делянки (участка) _____ га.

Вид пользования___________, способ рубки ____________;

перечет: сплошной, ленточный, лента №_____, длина лент _____, ширина лент _____,

площадь перечета_______ га. Подрост: площадь______ га, порода___________,

количество на 1 га_______ тыс.шт. Способ очистки _________

Способ восстановления леса___________ Количество семенных куртин и полос ___шт.

Общая площадь ______ га.

Ступень толщины, см

Число деревьев по породам, шт

Количество единичных и групповых семенников по породам

Модельные деревья для определения разряда высот

сосна

ель*

порода

диаметр с округлением до 1 см

высота с округлением до 0,5 м

разряд высот

деловых

полудело-вых

дровяных

деловых

полуделовых

дровяных

сосна

ель*

и т.д.

Итого

«_______» _______________ 20__ г.

____________

* Эту графу нужно повторять столько раз, сколько пород в насаждении

Обработка материалов сплошного перечета. Данные обрабатывают отдельно по каждому таксационному участку лесосеки (делянки). Составляется перечетная ведомость (форма 1). Из перечетной ведомости количество деревьев по породам, ступеням толщины и категориям технической годности переносят в ведомость материально-денежной оценки (форма 2). Из общего количества полуделовых деревьев по каждой ступени толщины половину относят к деловым и половину — к дровяным.

Пример 1. При количестве деревьев 20-ти сантиметровой ступени толщины: деловых 75, дровяных 18 и полуделовых 22 в ведомость материально-денежной оценки по этой ступени толщины вписывают: деловых деревьев 86 (75+22/2=86) и дровяных 29 (18+22/2=29).

Для вычисления ликвидного запаса и выхода сортиментов по данным перечета используют сортиментные таблицы, составленные по разрядам высот. Разряд высот насаждения на лесосеке (делянке) определяют по данным замера высоты деревьев как среднеарифметическую величину по каждой ступени толщины.

Пример. При перечете на лесосеке были получены следующие результаты:

Сосна
ступени толщины, см
число деревьев, шт
измеренные высоты, м	-	-	20, 20, 21	22, 23, 23	24, 25, 26	-	-
Осина
ступени толщины, см							-
число деревьев, шт							-
измеренные высоты, м	-	-	-	20, 21, 22, 22, 20	-	-	-
Ель
ступени толщины, см					-		-
число деревьев, шт					-		-
измеренные высоты, м	-	-	14, 14, 15, 15, 16	-	-	-	-

При этих данных средняя высота сосны для ступени 20 см равна , для ступени 24 см и так далее; средняя высота осины для центральной ступени и ели . При таком соотношении высот и диаметров сосна и осина относятся к четвертому разряду высот, а ель — к шестому.

Если для всех трех ступеней толщины у одной породы не удается установить одинакового разряда высот, то в целом для данной породы его вычисляют как средневзвешенную величину (умножением разряда высот ступени на число деревьев и делением произведений в трех ступенях толщины на общее число деревьев).

Частное от деления дает разряд сортиментных таблиц, который применяют для определения запаса и выхода сортиментов каждой породы.

В сложных древостоях, когда перечет деревьев проводят по ярусам, разряды высот определяют также по ярусам. Запасы и выход сортиментов вычисляют отдельно по каждому ярусу.

После определения разряда высот вычисляют запас древесины по породам и ступеням толщины. С помощью сортиментных или сортиментно-сортных таблиц деловую древесину распределяют по классам крупности: на крупную, среднюю и мелкую.

Пример 2. По ступени толщины 24 см имеется 150 стволов сосны, из них 140 деловых и 10 дровяных. При IV разряде высоты (диаметр 24 см) объем одного делового ствола сосны (без коры) равен 0,35 и дровяного ствола (в коре) 0,41 м³. Общий запас древесины деловых деревьев равен 49 и дровяных 4,1 м³;. В сортиментных таблицах для этого диаметра и разряда высот указан следующий выход деловой древесины: крупной —18, средней —54, мелкой—17, дров —3%, остальные 8% — отходы.

Объем древесины по каждому классу крупности определяют в следующем порядке: крупная (49·18)/100=8,8 м^З; средняя (49·54)/100 = 26,5 м³; мелкая (49·17)/100=3,3 м³; дрова из деловых деревьев (49·3)/100= 1,5 м³. Для определения общего выхода дров необходимо суммировать дрова из деловых деревьев и из дровяных. Общий запас дров в данном примере равен 1,5 м³+4,1 м³=5,6 м³.

Аналогичным образом выполняют расчеты по всем ступеням толщины для каждой древесной породы.

В ведомости материально-денежной оценки объемы по ступеням толщины вычисляют с округлением до 0,1 м³, а общие итоги по делянке — до 1 м³ (форма 2).

Форма 2