Учет случайных погрешностей при прямых измерениях

Для уменьшения случайных погрешностей физическую величину (истинное значение которой нам неизвестное, обозначим ) измеряют раз. Результаты отдельных измерений представляют собой набор независимых случайных величин, значения которых распределены около . Поведение случайных величин описывают статистические закономерности, изучение которых является предметом теории вероятности и математической статистики. При большом числе измерений случайные погрешности подчиняются нормальному распределению (распределению Гаусса) (см. Часть 3 настоящего пособия). В математической статистике доказывается, что наиболее близким к истинному значению измеряемой величины является среднее арифметическое значение :

. (1)

Однако даже при может отличаться от . Разность ( ) является случайной величиной, поэтому точно определить ее нельзя. Но, пользуясь методами математической статистики, можно указать интервал , в котором с некоторой заданной вероятностью находится истинное значение измеряемой величины.

Интервал называется доверительным интервалом. Величину называют доверительной случайной погрешностью результата измерений. Вероятность того, что значение искомой величины попадет в указанный доверительный интервал, называется доверительной вероятностью, или надежностью.

Для оценки случайной погрешности существует несколько способов. Наиболее распространенным является оценка с помощью среднеквадратичной погрешности , которая определяется по формуле:

, (2)

где – абсолютные погрешности отдельных измерений.

Английский математик У. Госсет, публиковавший свои работы под псевдонимом Стьюдент, показал, что при числе измерений истинное значение измеряемой величины c заданной доверительной вероятностью лежит в пределах , если величина случайной погрешности связана со среднеквадратичной погрешностью соотношением:

, (3)

где коэффициент, называемый коэффициентом Стьюдента. Этот коэффициент зависит от заданной доверительной вероятности и числа измерений . Коэффициенты Стьюдента вычислены и протабулированы (см. приложение, табл. 1).

Выбор доверительной вероятности зависит от задач, решаемых экспериментатором. Как правило, в лабораторном практикуме рекомендуется определять границы доверительного интервала при = 0,9.

Таким образом, проведя конечное число измерений и определив среднеквадратичную погрешность , можно указать границы случайной погрешности с заданной вероятностью .

1.3. Учет систематических (приборных) погрешностей
при прямых измерениях

Показания любого прибора, даже самого точного и совершенного, всегда отличаются от фактического значения измеряемой величины. Это отличие характеризуется приборной погрешностью .

Приборные погрешности, несмотря на то, что являются систематическими, по своим свойствам близки к свойствам случайных погрешностей: не известно точно, чему они равны и в какую сторону искажают измеряемую величину.

Для оценки систематической приборной погрешности также применяют методы математической статистики, с помощью которых показано, что

. (4)

Здесь − приборная погрешность, соответствующая выбранной доверительной вероятности ; коэффициент Стьюдента при выбранной доверительной вероятности и числе измерений ;
– максимальная приборная погрешность.

Величина максимальной приборной погрешности зависит от того, каким прибором производятся измерения.

1) Если при измерениях используются стрелочные электроизмерительные приборы, для которых указан класс точности , то

, (5)

где наибольшее значение, которое может быть измерено по шкале прибора; класс точности прибора (он указан на приборе и может иметь значения 0,05; 0,1; 0,2; …4).

2) Если при измерениях используются цифровые приборы, то максимальная приборная погрешность обычно указывается в паспорте прибора.

3) Если при измерениях используется прибор, у которого класс точности неизвестен или прибор не имеет класса точности (например, измерительная линейка, секундомер, термометр и др.), максимальную приборную погрешность принимают равной цене наименьшего деления его шкалы.

Примечание. В большинстве реальных задач лабораторного практикума, когда значение доверительной вероятности , погрешность измерительного прибора можно принять равной

.

1.4. Совместный учет случайных и систематических (приборных)
погрешностей

Наличие приборной погрешности уменьшает достоверность результатов измерения, то есть реальная доверительная вероятность полученных результатов оказывается меньше, чем в случае, если бы измерения проводились идеальным прибором, не имеющим погрешностей.

В этом случае для компенсации потери доверительной вероятности увеличивают доверительный интервал, полагая, что истинное значение измеряемой величины лежит в пределах:

,

где .

Величину называют абсолютной погрешностью измерений.

Абсолютная погрешность определяет границы доверительного интервала около , в пределах которого с заданной надёжностью (заданной доверительной вероятностью) находится истинное значение измеряемой величины.

Методами математической статистики при учёте почти случайного характера приборной погрешности для абсолютной погрешности прямого измерения получено выражение:

. (6)

1.5. Последовательность действий при обработке результатов
многократных прямых измерений

При математической обработке результатов многократных прямых измерений рекомендуется соблюдать следующую последовательность действий.

1) Используя результаты прямых измерений искомой величины − , вычислить среднее арифметическое значение:

. (7)

2) Найти абсолютные погрешности отдельных измерений:

. (8)

3) Вычислить среднеквадратичную погрешность измерений:

. (9)

4) Задать значение доверительной вероятности и по таблице (см. приложение) определить значение коэффициента Стъюдента для заданной вероятности и числа проведенных измерений .

5) Вычислить случайную погрешность измерений:

. (10)

6) Оценить погрешность, даваемую измерительным прибором:

. (11)

Примечание. Если у прибора указан класс точности или максимальная приборная погрешность , то необходимо воспользоваться рекомендациями, изложенными в 1.3.

7) Вычислить абсолютную погрешность результата измерений:

. (12)

8) Вычислить относительную погрешность:

. (13)

9) Окончательный результат записать в виде:

,

указать доверительную вероятность и относительную погрешность .

Пример обработки результатов

Прямых измерений

Пример.В результате пяти измерений диаметра некоторого цилиндра, выполненных штангенциркулем, точность которого 0,1 мм, получены следующие значения: . Необходимо определить доверительный интервал, в пределах которого с заданной доверительной вероятностью (надежностью) лежит истинное значение диаметра цилиндра.

1) По формуле (7) вычислим среднее арифметическое значение

.

(Расчет среднего значения производится с числом значащих цифр, превышающим на единицу число значащих цифр в результатах измерений).

2) По формуле (8) вычислим погрешности отдельных измерений:

3)По формуле (9) вычислим среднеквадратичную погрешность

.

4) Задаем значение доверительной вероятности . По таблице определяем значение коэффициента Стьюдента (при и ).

5) По формуле (10) вычислим случайную погрешность :

.

6) По формуле (11) оценим погрешность , даваемую штангенциркулем:

.

7) По формуле (12) вычислим абсолютную погрешность результата измерений

.

8) По формуле (13) вычислим относительную погрешность

.

(При расчете погрешностей ( , , и ) рекомендуется оставлять три значащих цифры, а округление проводить только при записи окончательного результата).

9) Запишем окончательный результат:

,

;

(Значение округлили в большую сторону до двух значащих цифр, поскольку первая значащая цифра 1).

Замечание. Все вычисления выполнены в соответствии с правилами, изложенными в 1.10.