Вариационные ряды распределения

Методы анализа вариационных рядов распределения используются, главным образом, применительно к анализу внутренних закономерностей формирования цен на товары внешней торговли. Это – весьма важная задача, так как с ней связаны задача оценки эффективности внешней торговли и задача повышения достоверности данных таможенной статистики (контроль по средней цене контракта является одним из элементов контроля достоверности данных).

Основная цель статистического анализа – отделение закономерностей от случайностей. Решение этой задачи осуществляется в вариационном анализе исходя из простой идеи: случайное встречается редко, закономерное – часто. Подсчёт частоты встречаемости значений исследуемого показателя и анализ частотных характеристик является предметом изучения вариационных рядов распределения.

При решении этой задачи исходной информацией служат одномерные пространственные ряды наблюдений, то есть совокупность наблюдений за значениями одного и того же показателя в один и тот же момент времени по различным объектам. В качестве исследуемого показателя, как правило, берутся не объёмные, а относительные, качественные показатели, так как именно в их формировании обычно наиболее сильно проявляется закономерность.

При проведении вариационного анализа исходные наблюдения группируются в виде ряда распределения, рассчитываются статистические характеристики, описывающие форму распределения, и строится его график.

На основе формы распределения, его графика и статистических характеристик делается вывод о соотношении закономерности и случайности в формировании значений показателя и о сходстве распределения с известными теоретическими законами распределения.

В статистике вариационные ряды подразделяются на дискретные и интервальные.

Дискретными называют вариационные ряды, в которых значения признаков, положенных в основу их образования, выражены в виде вполне определённых величин, обычно целых. Дискретные ряды распределения предназначены для анализа показателей, которые имеют сравнительно малое число значений (обычно не больше 10). Они редко используются в статистических исследованиях и для анализа данных таможенной статистики внешней торговли (ТСВТ) не представляют практического интереса.

Интервальными называются такие вариационные ряды, в которых значения признака заданы определёнными интервалами, то есть для каждой выделяемой группы единиц совокупности указывается минимальная и максимальная граница значений показателя. Их использование для цен внешней торговли представляет теоретический и практический интерес.

При построении интервальных рядов распределения обычно сначала образуют интервалы изменения значений показателя, а затем подсчитывают число единиц совокупности, относящихся к каждому интервалу.

Образование интервалов связано с решением вопроса об их рациональной численности и величине. Интервалы подбираются так, чтобы ряд распределения дал как можно долее подробную, но в то же время обозримую структуру статистической совокупности. Интервалы не должны быть слишком большими.

Интервалы могут быть равными и неравными.

Равные интервалы применяются в тех случаях, когда показатель варьирует в незначительных пределах, а распространение единиц совокупности по его значениям не отличается резко выраженной колеблемостью.

Когда признак варьируется в значительных пределах, применяются неравные интервалы, например, при анализе цен на машины и оборудование.

Величина равных интервалов определяется по формуле:

где: x_max и x_min – соответственно максимальное и минимальное значение показателя;

k – число интервалов.

Если не решён вопрос о количестве выделяемых групп k, то его рекомендуется брать близким к величине:

Величины равных интервалов, исчисленных по приведённым формулам, обычно округляют для удобства подсчёта. В качестве величин интервалов часто используют числа, кратные пяти или десяти.

При образовании интервалов необходимо соблюдать следующее правило их записи: границы интервалов надо обозначать так, чтобы было ясно, в какую группу следует относить единицы, размер варьирующего признака у которых в точности совпадает с крайними значениями интервалов. При образовании интервалов по дискретным признакам иногда это достигается обозначением нижних границ интервалов таким образом, чтобы они отличались на единицу от верхних границ предшествующих им интервалов.

В непрерывных вариационных рядах часто границы интервалов обозначаются таким образом, чтобы верхние и нижние границы смежных интервалов совпадали. В подобных случаях соблюдение сформулированного выше правила записи интервалов достигается при помощи слов: «менее», «более», «свыше» и т. п.

Интервальный ряд позволяет судить о соотношении свойств постоянства и изменчивости изучаемого показателя. Если показатель принимает значения в широком диапазоне, и в таблице распределения вариантом признака соответствуют примерно равные значения частот, а график распределения имеет «размытый» вид, не имеющий чётко выраженной вершины, то это свидетельствует о преобладании у показателя свойств изменчивости и о большом влиянии случайных факторов на его формирование. Напротив, если большинство значений показателя тяготеет к некоторой величине, что иллюстрируется обычно островершинным графиком распределения, то это свидетельствует о наличии закономерности в формировании показателя, о преобладании у него свойства постоянства и о значительной его устойчивости.

Статистические характеристики являются обобщёнными показателями свойств ряда распределения. Они позволяют судить о распределении, даже не располагая таблицей или графиком. По числовым значениям статистических характеристик несложно в общих чертах представить форму гистограммы.

К основным статистическим характеристикам относятся различные виды показателей средних, показатели вариации относительно среднего, а также показатели асимметрии (скошенности) и эксцесса (крутости) распределения.

Наиболее часто применяемым показателем среднего является средняя арифметическая (см. Гл. 1 п. 1.5).

Если данные представлены не исходными наблюдениями, а уже сгруппированы в виде ряда распределения, то удобнее пользоваться формулой средней взвешенной (см. Гл. 1 п. 1.5).

Важное значение для характеристики формы распределения имеют структурные средние мода и медиана.

Мода Мо определяет наиболее часто встречающееся (наиболее типичное) значение признака. На графиках распределения моде соответствует вершина гистограммы.

Для интервального ряда распределения непосредственно по таблице нельзя сразу найти моду, а можно определить только модальный интервал, то есть такой интервал, которому соответствует максимальная плотность f_j. В качестве грубой оценки моды может служить середина модального интервала. Более строго мода определяется с учётом весов интервалов, соседних с модальным, в этом случае мода вычисляется по формуле:

где: x_jниж – нижняя граница модального интервала;

Δx_j – длина интервала;

f_j – плотность модального интервала;

f_j-1 – плотность интервала, предшествующего модальному;

f_j+1 – плотность интервала, следующего за модальным.

Медиана Ме - это значение показателя, приходящееся на середину ранжированного ряда наблюдений.

Если ряд наблюдений представлен интервальным распределением, то при вычислении медианы сначала находится j-й медианный интервал из условия v_j-1≥0,5 и v_j-1<0,5. Внутри интервала медиана определяется из выражения:

где: x_jниж – начало медианного интервала;

v_j-1 – накопленная частость предшествующего интервала;

w_j – частота медианного интервала;

Δx_j – длина интервала.

Если средние величины отражают расположение графика распределения относительно числовой оси, то показатели вариации несут информацию о «ширине» распределения.

Простейшим показателем вариации является R_в – размах вариации:

Более устойчивым показателем вариации является среднее линейное отклонение d:

Из показателей вариации наиболее важным является дисперсия S² и среднеквадратическое отклонение S.

Дисперсия:

или для распределения:

Иногда при расчёте дисперсии удобнее пользоваться формулой:

Среднеквадратическое отклонение S позволяет наглядно представить «ширину» распределения:

Относительным показателем вариации является коэффициент вариации V: