Вычисление определителей высоких порядков

В отличие от технологии вычисления определителей в методе Крамера, для матриц общего вида, являющихся элементом СЛАУ, для решения этой задачи успешно может использоваться метод Гаусса. Прямой ход метода для системы позволяет вычислить

,

так как последовательное исключение элементов величину определителя не изменяет. Здесь а_kk – элементы преобразованной матрицы А (прямой ход Гаусса). Знак зависит от четности или нечетности перестановок строк исходной матрицы при приведении ее к треугольному виду во избежание делении на «0» или необходимости поиска «max» ведущего элемента в текущем столбце на каждом этапе исключение неизвестных.

Для симметричных матриц

; .

Вычисление обратных матриц

1. По методу Гаусса. Всякая неособенная матрица, для которой , имеет обратную матрицу. Очевидно, что А*А^–1 = Е. запишем это равенство в виде системы n уравнений с n неизвестными

; (37)

где а_ik – элементы матрицы А;

z_kj – элементы обратной матрицы (А^–1);

d_ij – элементы единичной матрицы.

При этом d_ij =

Для нахождения элементов одного столбца обратной матрицы необходимо решить соответствующую линейную систему (37) с матрицей А. Так для получения j-го столбца для А^–1 (z_1j, z_2j,… z_nj) решается система:

(38)

Следовательно для обращения матрицы А нужно n раз решить систему (38) при j= . Поскольку матрица А системы не меняется, то исключение неизвестных осуществляется только один раз, а (n–1) раз при решении (38) делается только обратный ход с соответствующим изменением правой ее части.

2. Другой подход к определению обратной матрицы А^–1

,

где D – определитель матрицы, А_ij – алгебраические дополнения соответствующих элементов матрицы А.

Обращение матрицы А посредством треугольных матриц

Известно, что всякая обратная матрица, если она существует, то по структуре будет такая же, как и исходная, т.к.

А^–1×А = А×А^–1 = Е = . (39)

Рассмотрим пример обращения матрицы 3-го порядка следующего вида:

А = . (40)

Решение. Матрицу А^–1 ищем в виде

А^–1 = . (41)

Перемножая А и А^–1 с учетом (39) будем иметь t₁₁ = 1; t₁₁ + 2t₂₁ = 0; 2t₂₂ = 1;

Отсюда последовательно находим t₁₁ = 1; t₂₁ = –1/2; t₃₁ = 0; t₂₂ = 1/2; t₃₂ = –1/3; t₃₃ = 1/3, следовательно

А^–1 = . (42)

Перемножив (42) и (40) получим (39).

Известно, что любая произвольная матрица А может быть представлена в виде двух треугольных.

Например, пусть имеется матрица

. (43)

Будем искать Т₁ = и Т₂ = . Диагональ в матрице Т₂ искусственно берется равной 1. Тогда

A = T₁ × T₂ . (44)

Реализуя (44) и сравнивая с (43), получим

= .

Сравнивая значения правой и левой частей и выполняя простейшие вычисления, очевидно:

t₁₁ = 1; t₁₁ r₁₂ = –1; t₁₁ r₁₃ = 2;

t₂₁ = –1; t₂₁ r₁₂ + t₂₂ = 5; t₂₁ r₁₃+ t₂₂ r₂₃ = 4;

t₃₁ = 2; t₃₁ r₁₂ + t₃₂ = –1; t₃₁ r₁₃+ t₃₂ r₂₃ + t₃₃ = 14;

Решив полученную систему, получим

t₁₁ = 1; t₂₁ = –1; t₃₁ = 2;

t₂₂ = 4; t₃₂ = 6; t₃₁ = 1;

r₁₂ =–1; r₁₃ = 2; r₂₃ = 3/2.

Таким образом Т₁ = и Т₂ = , тогда A^–1 = .