Вычисление определителей n-го порядка.

Пусть имеем определитель n-го порядка. Его вычисление вполне определяется приводимыми ниже теоремами.

Теорема 1: Произведение любого минора Мk-го порядка на его алгебраическое дополнение АМ в определителе d есть сумма некоторых членов определителя с теми же знаками, с какими они входят в состав определителя.

Теорема 2 (Лапласа) Пусть в определителе d порядка n произвольно выбраны k строк (или столбцов) Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru . Тогда сумма произведений всех миноров k-го порядка, содержащихся в выбранных строках, на их алгебраические дополнения равна определителю d.

Частным случаем теоремы Лапласа является разложение определителя d:

по i-й строке:

Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru (56)

по j-му столбцу:

Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru (57)

Учитывая свойство 4 определителей запишем также:

Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru (58)

Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru (59)

Пример 41. Определим знак члена определителя, определяемого записью:

Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru ,

Решение: Составим подстановку так, что первый индекс помещается в первую строку подстановки, а второй – во вторую ее строку, и разложим подстановку в произведение циклов:

Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru .

Определим декремент: для записанной подстановки: d = n = 9 – 3 = 6, где 9 – порядок подстановки, 3 – число циклов в разложении подстановки → подстановка четная. Следовательно, заданный член определителя учитывается в записи суммы членов определителя со знаком «+».

Ответ: Положительный.

Пример 42. Определим знак члена определителя, определяемого записью:.

Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru , (*)

Решение: Составим подстановку так, что первый индекс помещается в первую строку подстановки, а второй – во вторую ее строку, и разложим подстановку в произведение циклов:

Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru .

Так как в верхней строке дважды используется элемент «2» и ни разу «1», то запись (*) не является членом определителя

Ответ: Исходная запись не является членом определителя.

Пример 43. Докажем тождество Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru ,

используя свойства определителя.

Решение: Обозначим левую часть тождества dL и произведем цепочку последовательных преобразований: 1-й шаг: 2С +1С; 2-й шаг: а) меняем местами 1-й и 2-й столбцы; б) выносим за скобку определителя общий множитель столбца (см. множитель “-2”); 3-й шаг: 2С - 1С; 4-й шаг: выносим за скобку общий множитель x : тождество доказано.

1 шаг a1+b1x 2a1 c1 2 шаг a1 a1+b1x c1 3 шаг a1 b1x c1 4 шаг a1 b1 c1
dL= a2+b2x 2a2 c2 =–2 a2 a2+b2x c2 = –2 a2 b2x c2 = –2x a2 b2 c2
a3+b3x 2a3 c3 a3 a3+b3x c3 a3 b3x c3 a3 b3 c3

Ответ: см. схему преобразований доказательства.

Пример 43. Вычислим определитель 4-го порядка Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru ,

используя свойства определителя n – го для упрощения вычислений.

Решение: Вычислим определитель, применяя цепочку преобразований: 1-й шаг: 4С-1Сх2; 1R-2R; 2-й шаг: 4R-3Rх4; 3-й шаг: разложение определителя по 4-му столбцу; 4-й шаг: 3С-1С; 5-й шаг: 3R+2R;2R+1R; 6-й шаг: 3R-1R;2R+1R; 7-й шаг: разложение определителя по 3-му столбцу и вычисление определителя 2-го порядка:

1 шаг 7 -20 19 1 2 шаг -20 3 шаг 20 64 21 4 шаг 20 64 1
20 64 21 0 = 20 64 21 =1(-1)1+4 27 -60 25 = (-1)∙ 27 -60 -2
dL= 13 -20 -13 -2 27 -60 25 -6 125 -3   -6 125 3
46 45 -55 -8 -6 125 -3    
5 шаг 20 64 1 6 шаг 20 64 1 7 шаг 67 68
= (-1)∙ 47 4 -1 = (-1)∙ 67 68 0 =1∙(-1)∙(-1)1+3 1 1 = 1
21 65 1 1 1 0

Ответ: 1.

Пример 44. Вычислим определитель 5-го порядка Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru ,

используя разложения «по строке» или «по столбцу»:

Решение: Учитывая правила разложения определителя по строке и по столбцу, запишем цепочку последовательных преобразований::

x a b 0 c   x a b          
0 y 0 0   0 y 0   x a b
0 e z 0 f =v(-1)5+5 0 e z =vu(-1)4+4 y = xyzuv
g h k u l   g h k u e z
v                

Ответ: xyzuv.

Пример 45. Вычислим определитель 6-го порядка Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru ,

используя разложения «по k строкам» или «по k столбцам» (см. теорему Лапласа).

Решение: В рассматриваемом примере первый шаг вычислений подсказан тем, что в 5-м и 6-м столбцах только один определитель 2-го порядка не равен нулю. Значит выгодно разложение по этим двум столбцам. Учитывая правила разложения определителя «по k столбцам», запишем цепочку последовательных преобразований::

               
   
  3 2  
= 4 3 ∙(-1)1+2+5+6 = ∙(-1)1+2+5+6 = 4
   
                       

Ответ 4.

☻Решите примеры:

Пример 46. Вычислите определитель: Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru .

Ответ -8.

Пример 47. Вычислите определитель: Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru .

Ответ 18.

Пример 48. Вычислите определитель: Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru .

Ответ 10.

Пример 49. Вычислите определитель: Вычисление определителей n-го порядка. - student2.ru .

Ответ (be – cd)2.

Вопросы для самопроверки:

1. Может ли определитель n-го порядка не быть числом?

2. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем строки заменить столб-цами и наоборот?

3. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем строки (или столбцы) поменять местами?

4. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем из одной строки вычесть другую строку?

5. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем из одного столбца вычесть другой столбец?

6. Изменится ли определитель n-го порядка, если в нем строку умножить на число 2?

7. Применение теоремы Лапласа предполагает уменьшение трудоемкости вычисления определителей высокого порядка?

8. Может ли произведение нескольких невырожденных квадратных матриц n-го порядка дать в результате вырожденную матрицу?

Наши рекомендации