Пример выполнения работы. 1. Используя набор экспериментальных данных (xi, yi), приведенных в табл

1. Используя набор экспериментальных данных (x_i, y_i), приведенных в табл. 12, необходимо построить график (рис. 8) ;

Таблица 12.

xi		2,5		3,5		4,5		5,5		6,5
yi	5,1	6,4	7,1	9,8	10,7	14,6	15,5		24,8	28,7	35,2

Как видно из графика однозначно определить характер зависимости весьма затруднительно.

y

x

Рис. 8. Результаты эксперимента

2. Выбрать вариант модели на основе таблицы с промежуточными значениями переменных

Таблица 13.

№	Хпр	Упр	Уэ(Хпр) или Ур(Хпр)	ΔY
	3,74	13,40	10,23	3,16
	4,50	13,40	14,60	1,20
	3,11	20,15	7,21	12,94
	4,50	8,91	14,60	5,69
	3,11	8,91	7,21	1,70
	3,74	20,15	10,24	9,92

В четвертом столбце приведены значения функции в промежуточной точке Х_пр. Эти значения определяют следующим образом:

· Если расчетное промежуточное значение для Х равно какому-либо из Х_i, то выбирают Y_э(Х_пр=X_i);

· Если промежуточное значение находится в интервале X_i<X_пр<X_i+1, то значение функции вычисляют на основе линейной интерполяции

Ур(Хпр) = Y_i + (Y_i+1 - Y_i)(X_пр – X_i)/(X_i+1 – X_i)

· Выбираем 3 варианта для которых ΔY = | Yпр – У(Хпр)| = min(варианты 1, 2, 5).

3. Преобразовать переменные для каждого из выбранных вариантов в соответствии с табл. 12 , таким образом, чтобы функциональные зависимости стали линейными и в соответствии с этим заполнить вышеприведенную таблицу, т.е. Y(или y) от X(или x).

Таблица 14.

i
xi		2,5		3,5		4,5		5,5		6,5
yi	5,1	6,4	7,1	9,8	10,7	14,6	15,5		24,8	28,7	35,2
X1i=ln xi	0,693	0,916	1,099	1,253	1,386	1,504	1,609	1,705	1,792	1,872	1,946
Y1i=ln yi	1,629	1,856	1,960	2,282	2,370	2,681	2,741	3,091	3,211	3,357	3,561
X2i= xi	2,000	2,500	3,000	3,500	4,000	4,500	5,000	5,500	6,000	6,500	7,000
Y2i=ln yi	1,629	1,856	1,960	2,282	2,370	2,681	2,741	3,091	3,211	3,357	3,561
X3i=1/xi	0,500	0,400	0,333	0,286	0,250	0,222	0,200	0,182	0,167	0,154	0,143
Y3i=1/yi	0,196	0,156	0,141	0,102	0,093	0,068	0,065	0,045	0,040	0,035	0,028

4. По методу наименьших квадратовнеобходимо определить коэффициенты трех полученных линейных эмпирических зависимости для каждого варианта. В качестве примера рассмотрим 2-ю модель (X_2i; Y_2i). Для расчетов заполняем табл. 15.

Таблица 15.

i	xi	xi - xср	yi	(xi - xср)2	(xi - xср) yi
		-2,5	1,629	6,25	-4,07
	2,5	-2	1,856		-3,71
		-1,5	1,960	2,25	-2,94
	3,5	-1	2,282		-2,28
		-0,5	2,370	0,25	-1,19
	4,5		2,681		0,00
		0,5	2,741	0,25	1,37
	5,5		3,091		3,09
		1,5	3,211	2,25	4,82
	6,5		3,357		6,71
		2,5	3,561	6,25	8,90
Σ	49,5		28,74	27,5	10,70
xср	4,5	yср	2,612636

Линейная зависимость в данном случае будет выглядеть следующим образом:

Y = d₀ + d₁ (X – X_ср) .

Где d₀ = Y_ср , d₁ =

Полученную зависимость легко преобразовать к привычному виду:

Y= a₀ + a₁X

Линейная зависимость будет иметь вид: Y = 0,861 + 0,389 X .

Первоначальное значение коэффициента:

Исходная зависимость будет иметь вид:

Аналогичным образом находим коэффициенты для других 2-х моделей.

5. Для окончательного выбора наилучшей функции находят коэффициенты для всех вариантов зависимостей и сравнивают их между собой по сумме квадратов отклонений экспериментальных и расчетных значений (см. табл. 16).

Таблица 16.

xi	yi	yi1	yi2	y5i	(yi-yi2)2	(yi-yi2)2	(yi-yi5)2
	5,1	4,264	5,151	4,866	0,700	0,003	0,055
2,5	6,4	6,047	6,257	6,369	0,125	0,020	0,001
	7,1	8,045	7,600	8,021	0,893	0,250	0,849
3,5	9,8	10,242	9,232	9,845	0,195	0,322	0,002
	10,7	12,624	11,214	11,869	3,701	0,265	1,368
4,5	14,6	15,181	13,622	14,129	0,337	0,956	0,222
	15,5	17,904	16,547	16,667	5,779	1,096	1,361
5,5	22,1	20,786	20,100	19,538	1,727	4,002	6,563
	24,8	23,820	24,415	22,814	0,960	0,148	3,945
6,5	28,7	27,001	29,657	26,585	2,886	0,916	4,474
	35,2	30,324	36,025	30,973	23,776	0,680	17,864
				Σ	41,078	8,658	36,703

Вывод: наименьшая сумма квадратов отклонений расчетных значений от результатов эксперимента достигается для второй модели. Это свидетельствует о том, что она наиболее адекватно отражает данные экспериментальных исследований.