Теория Бардина-Купера-Шриффера. Основные результаты

Первой теорией, достаточно хорошо описавшей электромагнитные свойства сверхпроводников, была теория братьев Лондонов, основанная на двухжидкостной модели (1935 г.). Лондоны получили уравнения, которые в настоящее время называются уравнениями Лондонов, описывающие условия, необходимые для возникновения идеального диамагнетизма (эффекта Мейсснера-Оксенфельда) в проводнике с нулевым сопротивлением.

Первое уравнение Лондонов основано на условиях движения сверхпроводящих электронов в электрическом поле и имеет вид:

, (1.32)

где ε – напряженность электрического поля.

Это уравнение отражает свойство сверхпроводника, связанное с нулевым сопротивлением: существование постоянного тока плотностью j=const в отсутствие электрического поля.

Второе уравнение Лондонов основано на законах Максвелла. С учетом выталкивания магнитного поля из сверхпроводника

. (1.33)

Выражение (1.33) говорит о появлении вихревого тока в сверхпроводнике при наложении на него постоянного магнитного поля. В нормальных проводниках токи появляются только при переменных магнитных полях, как это предписывает закон электромагнитной индукции Фарадея.

На основе теории Лондонов можно объяснить связь между критическим током в сверхпроводнике и критическим магнитным полем и некоторые другие явления. Теория Лондонов является феноменологической теорией и не отвечает на главные вопросы: какова микроскопическая природа сверхпроводящего состояния, что представляют собой сверхпроводящие электроны и т.д.

В 1956 г. Л.Д. Ландау и В.Л. Гинзбург построили теорию сверхпроводимости, основанную на квантовой механике. Их теория также является феноменологической, поскольку в ней принимаются определенные предположения, доказательство которых лежит в их адекватности практике.

В теории Гинзбурга-Ландау была введена волновая функция для всей совокупности сверхпроводящих электронов, устанавливалось их когерентное поведение. Переход в сверхпроводящее состояние рассматривался как фазовый переход второго рода.

На основе сделанных представлений были получены уравнения Гинзбурга-Ландау. Решение этих уравнений позволило описать и предсказать многие свойства сверхпроводников.

В 1957 г. Дж. Бардин, Л. Купери Дж. Шриффер опубликовали теорию (теорию БКШ), раскрывшую микроскопический механизм сверхпроводимости. Основой этой теории является возникновение притяжения между электронами, находящимися вблизи уровня Ферми.

Уже в теории Гинзбурга-Ландау присутствовало положение о коррелированности движения сверхпроводящих электронов, однако причина такого поведения оставалась невыясненной.

Известно, что состояние решетки оказывает влияние на сверхпроводящий переход: изотопы имеют разные температуры перехода. Известно также, что металлы различной проводимости имеют разные характеристики: плохие проводники (например, свинец), как правило, имеют более высокие температуры перехода, тогда как серебро, золото до сих пор не наблюдались в сверхпроводящем состоянии. Эти факты говорят о значении для сверхпроводимости взаимодействия электронов и решетки. В работах Г. Фрейлиха, а также Дж. Бардина и Д. Пайпса по теории электрон-фононного взаимодействия в металлах была установлена возможность притяжения электронов друг к другу за счет их взаимодействия с фононами кристаллической решетки.

Еще в 1956 г. Купер показал, что при наличии между электронами притяжения, даже сколь угодно слабого, нормальное состояние многоэлектронной системы становится неустойчивым из-за процессов спаривания. Электроны с противоположными импульсами (p) и антипараллельными спинами (s) вблизи уровня Ферми ведут себя необычно. Они стремятся иначе, чем остальные электроны, заселить состояния (p, s) и благодаря притяжению объединяются в пары, обладающие меньшей энергией в сравнении с отдельными нормальными электронами. Этот теоретический парадокс получил название эффекта Купера, а образующиеся таким образом электронные пары называют куперовскими парами. Вскоре удалось выяснить, к чему ведет развитие неустойчивости и рассчитать свойства нового состояния электронной системы – сверхпроводящего состояния. Рассмотрим, как же осуществляется притяжение между электронами – одноименно заряженными частицами, которым “предписано” кулоновское отталкивание. Кристаллическая решетка состоит из положительных ионов, которые притягивают электроны. Но и электроны притягивают ионы, смещая их от положения равновесия. Это смещение незначительно вследствие огромной разности масс иона и электрона, но оно существует, как говорят, – решетка поляризуется. Такое смещение зарядов нарушает однородность поля ионов и может быть интерпретировано как появление положительного заряда. Этот заряд притягивает другой электрон, находящийся поблизости. Область поляризации решетки не является неподвижной, она перемещается вместе с электроном, который ее формирует. Если такое взаимодействие становится сильнее кулоновского отталкивания, оно будет превалировать, а электроны – притягиваться. Поскольку скорости электронов в металле являются значительными, существенным является время, за которое может произойти сдвиг. Иными словами, поляризуемость решетки зависит от частоты собственных колебаний атомов.

Взаимодействие электронов через решетку проще всего представить как результат испускания фонона одним электроном и поглощения другим (рис. 1.17).

Рис. 1.17. Испускание фонона одним электроном и поглощение другим

Пусть Т=0 К и фононы решетки в кристалле отсутствуют. Электрон с импульсом испускает фонон, который поглощается вторым электроном ( ). Электроны после взаимодействия получают импульсы и . При этом выполняется закон сохранения импульсов (1.34):

(1.34)

или

, (1.35)

где , – волновые векторы электронов до взаимодействия;

, – волновые векторы электронов после взаимодействия.

Фонон, о котором идет речь, необычный, виртуальный фонон. В отличие от обычного, он не перемещается свободно по решетке, но только от одного электрона к другому. Как мы уже отмечали, обычных фононов при Т=0 К в решетке нет.

Возникает вопрос: все ли электроны притягиваются друг к другу, а если нет, то какие? Вернемся к выражению (1.35). Из него следует, что первый электрон переходит в состояние , а второй – . Эти состояния должны быть свободными. Исходя из распределения Ферми-Дирака, такие состояния находятся только вблизи уровня Ферми, на расстояниях D от него. Толщина слоя составляет 2D и определяется дебаевской энергией ħω_D:

2ΔK ≈k_Ф ħω_D / E_Ф, (1.36)

где Е_Ф – энергия Ферми;

k_Ф – волновой вектор на уровне Ферми.

Для электронов, имеющих энергию вне этого интервала, решетка колеблется слишком медленно и не успевает откликаться на поляризующее действие движущегося электрона.

Концентрация сверхпроводящих электронов уменьшается с ростом температуры, что вызвано уменьшением энергетической щели. Итак, в определенных условиях при низких температурах часть электронов притягивается друг к другу, образуя пары, волновая функция которых представляет суперпозицию волновых функций отдельных электронов. Оценим расстояние между электронами пары. Для типичных значений Е_Ф=10 эВ, k_Ф=10⁸ см^-1 и Т_С=10 К получаем ≈ 10^-4 см. Это означает, что электроны в куперовской паре разнесены на 10³-10⁴ периодов кристаллической решетки. Если допустить, что концентрация таких пар составляет 10²¹ см^-3, то становится очевидным, что в области, занимаемой одной парой, существует большое число других пар. Поскольку пары представляют собой бозоны (спин равен нулю), они размещаются на одном энергетическом уровне. Все это говорит о том, что волновые функции куперовских пар перекрываются.

В теории БКШ была построена волновая функция основного состояния всего коллектива электронов в виде произведения одинаковых парных функций и в соответствии с постулатом Паули. Основное состояние сверхпроводника отличается от основного состояния нормального металла: в результате взаимодействия, объединяющего электроны в пары, часть электронов из состояния над поверхностью Ферми должна перейти в состояние под ней (Е_СП). В результате такого рассеяния часть состояний с энергией 2Е( )>2Е_Ф освободится, а состояние 2Е( )<2Е_Ф будет занятым.

Взаимодействие электронов через обмен фононами в теории БКШ описывается достаточно просто:

(1.37)

где V – положительная величина, характеризующая электрон-электронное притяжение уже с учетом его частичной компенсации кулоновским отталкиванием.

Как показано в теории БКШ, энергия системы за счет электрон-фононного взаимодействия понижается на величину, равную DE. Энергия конденсации равна:

ΔE=E_N – E_S=½N(E_Ф)D²(0), (1.38)

где N(E_Ф) – плотность состояний электронов по поверхности Ферми.

Энергетическая щель при нулевой температуре определяется выражением:

. (1.39)

Произведение V₀N(Е_Ф) является безразмерным. Оно играет роль параметра связи, определяющего интенсивность взаимодействия электронов.

Используя выражение (1.39), можно определить связь между шириной энергетической щели и критической температурой:

D=1,76kТ_С. (1.40)

На основе уравнений теории БКШ можно также получить выражение для связи критических параметров:

Н_С/Т_С=3,5k[pN(Е_Ф)], (1.41)

плотности критического тока:

j_C=eUD/mV_Ф, (1.42)

длины когерентности

(1.43)

и другие важные соотношения.

Бардин, Купер и Шриффер сумели объяснить существование критической температуры, скачок теплоемкости, существование критического тока, квантование магнитного поля и другие свойства сверхпроводников. В частности, исчезновение сопротивления в рамках теории имеет следующую интерпретацию. Куперовские пары – это бозоны, заселяющие один энергетический уровень, образуют сверхтекучий конденсат. При движении в твердом теле конденсат приобретает в высшей степени упорядоченную структуру, соответствующую нулевой энтропии, что достигается установлением во всем объеме строгих фазовых соотношений – фазовой когерентности волновых функций отдельных пар. Поэтому если даже электрон рассеивается (например, на дефекте структуры), то на поведении всего конденсата это не скажется, пока энергия рассеяния не приведет к разрыву электронной пары (2D).