Анализ движения газа в суживающемся сопле

Чтобы выбрать форму канала для истечения газа, необходимо выявить общие закономерности его истечения. Для этого проанализируем два полученных ранее выражения:

Очевидно, для конкретного газа (определенного значения показателя адиабаты k) и заданных площади поперечного сечения канала на выходе f₂, давлении р₁ и удельном объеме на входе в канал u₁ скорость адиабатного истечения w₂ и массовый расход m зависят только от соотношения давлений b, т.е. m = f(b) и w₂ = f(b). Построим графики указанных зависимостей (рис. 2,3).

Рис. 2. Зависимость массового расхода газа через канал от перепада давления на нем	Рис. 3. Зависимость скорости истечения газа через канал от перепада давления на нем

Проанализируем построенные графики. Пусть давление газа на входе в канал остается неизменным (р₁ = const), а на выходе понижается (р₂ ¹ const). В начальный момент, когда р₂ = р₁, массовый расход газа m и скорость истечения газа w₂ равны нулю, так как b = р₂/р₁ = 1. Это ситуацию легко объяснить. Так как р₂ = р₁, то к газу на входе и на выходе приложены одинаковые, но направленные в противоположные стороны усилия. В этом случае нет причин, вызывающих движение газа, поскольку только из-за разности давлений возможно движение газа в канале.

По мере уменьшения давления р₂ < р₁ величина b также уменьшается (b < 1). При этом появляется разность давлений в сечениях на входе и на выходе канала, поэтому массовый расход газа m и скорость истечения газа w₂ увеличиваются. При некотором значении перепада давления в канале b = b_кр, массовый расход газа достигает максимального значения. При дальнейшем понижении давления р₂ на выходе из канала (величина b < b_кр также понижается) массовый расход газа m по соответствующему выражению должен также понижаться. Причем, при р₂ = 0 перепад давления на канале также равен нулю b = 0 и по формуле массовый расход газа m должен быть равен нулю.

Тем не менее, случай, когда р₂ = 0, означает, что газ истекает в абсолютный вакуум, а так как р₁ > 0, то р₁ – р₂ > 0, следовательно, газ должен двигаться от входа в канал к выходу из него. Таким образом, представленное выражение для расчета массового расхода газа не совсем правильно выражает закономерности истечения газов в области b < b_кр. Эти отклонения от логических рассуждений были также обнаружены и в ходе экспериментальных исследований.

Сравнение расчетных значений расходов с реальными значениями m, полученными в опытах, показывает, что в интервале значений b от 1 до некоторого критического значения b_кр, при котором расход газа максимальный, опытные значения m совпадают с расчетными. При дальнейшем уменьшении значений b < b_кр расход газа остается постоянным, равным максимальному значению m = m_max. Реальная кривая зависимости m = f(b) показана на рис. 2 сплошной линией. Аналогично на рис. 3 сплошной линией представлена реальная кривая зависимости w₂ = f(b).

Определим значение b_кр, соответствующее максимальному массовому расходу газа m_max, из соотношения:

.

Из этого соотношения видно, что массовый расход газа зависит только от численного значения выражения, заключенного в скобки:

.

Исследование данной функции на экстремум, позволяет установить, что при функция y = f(b), а, следовательно, и функция m = f(b) достигают максимального значения.

Параметры газа, которые соответствуют максимальному расходу газа m_max, называются критическими. Таким образом, можно записать:

.

Представленная зависимость показывает, что критическое отношение давлений b_кр зависит только от показателя адиабаты k. Критический перепад давлений для различных газов показан ниже:

Газ	k	bкр	Газ	k	bкр
Одноатомный	1,67	0,487	Трехатомный	1,29	0,546
Двухатомный	1,40	0,528	Сухой насыщенный пар	1,135	0,577
Для влажного насыщенного пара k = 1,035 + 0,1х

Подставив, выражение b_кр в формулы для определения массового расхода газа m и скорости истечения газа w₂, получим следующие соотношения:

.

Итак, можно воспользоваться следующей методикой определения m и w₂.

1. По показателю адиабаты газа, определяется b_кр по выражению:

.

2. Определяется реальный перепад давлений на сопле b = р₂/р₁.

3. Сравниваются значения b и b_кр.

4. Если b_кр £ b £ 1, то применяются зависимости:

.

5. Если b < b_кр, то в суживающемся сопле устанавливается критическая скорость истечения газа w₂ = w_кр и имеет место максимальный расход газа m = m_кр, поэтому применяются зависимости:

.

Проанализируем выражение .

Выразим величины р₁ и u₁ через критические параметры газа в выходном сечение сопла р_кр и u_кр. Из уравнения адиабаты следует, что

, но Þ

Þ , а .

Тогда .

Следовательно, .

Из курса физики известно уравнение Лапласа для определения скорости звука, которое записывается следующим образом:

.

Как видно из сравнения полученного нами выражения для w_кр с уравнением Лапласа величина w_кр равна местной скорости звука в выходном сечении сопла: w_кр = а. Почему применяется термин «местная скорость звука»? Поскольку скорость звука зависит от значений р и u, а при адиабатном течении газа его давление и удельный объем изменяются вдоль сопла, то скорость звука в газе будет различной для различных сечений сопла. Именно поэтому для обозначения скорости звука в газе при параметрах, соответствующих данному сечению сопла, применяют выражение «местная скорость звука».

Таким образом, b_кр – это такое отношение противодавления р₂ на выходе из канала к давлению р₁ на входе в канал, при котором скорость течения газа равна местной скорости звука, а расход газа максимальный.

Существенным недостатком суживающихся сопел является то, что в них нельзя получить скорость потока, превышающую местную скорость звука, так как в процессе расширения давление на выходе не может стать меньше критического р_кр. Для повышения скорости потока сверх критической w_кр, т.е. для получения сверхзвуковой скорости потока, необходимо создать соответствующие условия, о которых поговорим в следующем вопросе.