Теорема 8. (Больцано–Вейєрштрасса). Будь-яка монотонна обмежена послідовність має границю.
Доведення. Розглянемо множину значень послідовності . Ця множина обмежена, тому вона має точну верхню і нижню межі. Для визначеності вважатимемо, що послідовність хn монотонно зростає.
Позначимо і доведемо, що При всіх n за умовою теореми виконується нерівність Візьмемо довільне За означенням точної верхньої межі можна знайти значення , таке що . Оскільки послідовність монотонно зростає, то при маємо
Із нерівностей випливає: і
Це означає, що ¨
4.1.5. Число е
Розглянемо послідовність чисел . Обчислимо кілька перших значень членів послідовності:
Доведемо, що послідовність хn монотонно зростає. За формулою бінома Ньютона маємо:
(3)
Замінимо в цьому розкладі n на n + 1. Тоді число доданків збільшиться на одиницю.
Далі маємо:
Кожний вираз, що містить n, зростає, тобто .
Доведемо обмеженість послідовності хn.
У формулі (3) значення кожного виразу в дужках менше від одиниці. Отже,
За формулою суми геометричної прогресії маємо:
Звідси
За теоремою Больцано–Вейєрштрасса послідовність має границю.
Означення. Границя послідовності називається числом е.
Позначення:
Число е* — (так зване Неперове число).
4.1.6. Наближене обчислення числа е
У виразі (3) з підрозд. 4.1.5 спрямувавши n до нескінченності, дістанемо:
Обчислимо значення е з точністю до 5 знаків після коми:
4.1.7. Економічна інтерпретація числа е
Початковий вклад у банк становив S0 гривень. Банк виплачує р% річних. Знайти розмір вкладу St через t років.
· Очевидно, що при р% річних розмір вкладу щороку збільшуватиметься в , тобто
Якщо нараховувати відсотки (проценти) за вкладами не один, а n раз на рік, то за того самого приросту р%, за частину року буде нараховано , а розмір вкладу за t років у разі nt нарахувань досягне
.
Вважаючи, що проценти за вкладом нараховуються кожні півроку (n = 2), щомісяця ( ), щодня ( ), щогодини ( ) і т. д. безперервно ( ). Тоді
або
У практичних фінансово-кредитних операціях неперервне нарахування процентів застосовується рідко. Воно є ефективним для аналізу складних фінансових проблем, зокрема в разі обгрунтовування й вибору інвестиційних рішень.
4.1.8. Лема про вкладені відрізки
Розглянемо послідовність відрізків [an, bn], таких що кожний з наступних лежить у попередньому: (рис. 4.2). Послідовність таких відрізків називається послідовністю вкладених відрізків.
Рис. 4.2
Лема.Для послідовності вкладених відрізків [an, bn] за умови існує єдина точка с, яка належить усім відрізкам, і при цьому
.
Доведення. Розглянемо послідовність значень аn. Вона монотонно зростає і обмежена зверху. За теоремою Больцано—Вейєрштрасса існує границя , причому завжди виконується умова . Припущення, що приведе до суперечності. Справді, якщо , то починаючи з деякого номера bn < an. Це суперечить тому, що an — лівий кінець відрізка, bn — правий.
За припущення виконується нерівність .
Додаючи нерівності і , дістаємо:
або
.
Це суперечить умові . Припущення неправильне. Отже, с1 = с. Водночас доведено, що і . Точка с належить всім відрізкам, причому вона єдина.¨
4.1.9. Частинні послідовності
Розглянемо послідовність хn і вилучимо з неї деякі члени. Члени, що залишилися, занумеруємо наново . Нова послідовність називається частинною послідовністю, або підпослідовністю.
Розглянемо послідовність
.
У цій послідовності можна розглянути частинні послідовності: