Двоичная система счисления. Система счисления–это совокупность приемов записи чисел с помощью знаков.
СИСТЕМЫ СЧИСЛЕНИЯ
Система счисления–это совокупность приемов записи чисел с помощью знаков.
Как только люди начали считать, у них появилась потребность в записи чисел. Находки археологов свидетельствуют о том, что первоначально количество предметов отображали равным количеством каких-либо знаков: черточек, точек.
Позже, для облегчения счета, эти знаки стали группировать по три или по пять. Такая система записи чисел называется единичной (унарной), так как любое число в ней образуется путем повторения одного знака, символизирующего единицу. Сами того не осознавая, единичной системой счисления пользуются дети, показывая на пальцах свой возраст.
Единичная система – не самый удобный способ записи чисел. Записывать таким образом большие числа неудобно, да и сами записи при этом получаются очень длинными. С течением времени возникли иные, более удобные, системы счисления.
Для представления чисел используются непозиционные и позиционные системы счисления.
Таблица 1 – Сравнительная характеристика систем счисления
| позиционная | непозиционная |
| значение каждой цифры зависит от ее положения в числе | значение каждой цифры не зависит от ее положения в числе |
| простота выполнения арифметических операций и ограниченное количество символов (цифр), необходимых для записи любых чисел | существует постоянная потребность введения новых знаков для записи больших чисел; невозможно представлять дробные и отрицательные числа; сложно выполнять арифметические операции, т.к. не существует алгоритмов их выполнения |
| Примеры: вавилонская (60 знаков) для измерения времени (в одной минуте 60 секунд), двенадцатеричная (дюжина, в сутках две дюжины часов) | Примеры: египетская, алфавитные системы (греческая, славянская), римская (7 знаков: I (1), V (5), X (10), L (50), C (100), D (500), M (1000)) |
Возможно множество позиционных систем, так как за основание системы счисления можно принять любое число не меньшее двух. Наименование системы счисления соответствует ее основанию (десятичная, двоичная, восьмеричная, шестнадцатеричная и т. д.).
Зная основание системы счисления и номер разряда цифры, любое число можно разложить по степеням основания, например в десятичной системе
.
Здесь:
· 1, 7, 3 – цифры числа,
· 10 – основание системы счисления,
· 2, 1, 0 – ( 
), где 
– номер разряда.
Если число не целое, то у цифр, стоящих после запятой, номер разряда выражается отрицательным числом, начиная с –1.
Например, десятичное число 4718,63 в развернутой форме запишется так:
.
Такая запись называется расширенной или полной. Данное правило распространяется на все остальные системы счисления.
Для указания, к какой системе счисления относится число, внизу пишут индекс, например, 
(число записано в двоичной системе счисления).
Таблица 2 – Позиционные системы счисления
| Система счисления | Алфавит | Основание |
| двоичная | 0, 1 | |
| десятичная | 0, 1, … 9 | |
| восьмеричная | 0,1, ... 7 | |
| шестнадцатеричная | 0, 1, … 9, A, B, C, D, E, F |
Двоичная система счисления
В двоичной системе счисления основание 
. Возможные цифры 0, 1. Двоичное число представляет собой цепочку из нулей и единиц. При этом оно имеет достаточно большое число разрядов. Быстрый рост числа разрядов – самый существенный недостаток двоичной системы счисления.
Записав двоичное число 1001,1 в развернутом виде и произведя вычисления, получим это число, выраженное в десятичной системе счисления:
.