Проверка гипотезы о нормальности распределения

Для определения теоретических частот нормального закона распределения используются таблицы функции

Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru (13)

(Гмурман В. Е. Теория вероятностей и математическая статическая статистика, М., 1972. с. 355). Составим таблицу теоретических значений (табл. 4).

Первые два столбца табл. 4 соответствуют третьему и четвертому столбцам табл. 2. Для каждого Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru определяется нормированное отклонение ti:

Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru , (14)

Т а б л и ц а 4

  Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru   Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru   Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru   Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru   Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru   Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru
           
  Сумма     Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru     -     Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru     Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru     Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru

которое вносится в столб. 3 табл. 4. Затем находят по указанным таблицам значения функции (13) и записывают их в столб. 4. Теоретические частоты пропорциональны плотности нормального распределения (13). Коэффициент пропорциональности Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru определяется так, чтобы сумма теоретических частот равнялась объёму выборки,

т. е. Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru (15)

Тогда теоретические частоты определяются по формуле

Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru . (16)

Для контроля вычислений следует проверить выполнение равенства

Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru .

Так как теоретические частоты определяются по формуле (16) приближенно (рекомендуется находить их с точностью 0,01), то Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru может отличаться от объема выборки на 0,01 – 0,02. В последний столбец вносят значения относительных квадратов отклонений фактических частот от теоретических и находят их сумму

Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru (18)

которая сравнивается с табличным значением Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru , определяемым по уровню значимости a и числу степеней свободы Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru по таблицам распределения Пирсона (Гмурман В. Е., С. 358), где k - фактическое число классовых промежутков; a - уровень значимости.

Если Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru , то гипотеза о нормальности распределения отвергается. При этом вероятность отвергнуть верную гипотезу не превышает α.

Если Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru , то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальности распределения.

Пример (продолжение). Составим табл. 5 по форме табл. 4

Т а б л и ц а 5

Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru
100,5 130,5 160,5 190,5 220,5 250,5 280,5 1 3 8 12 10 5 1 -2,432 -1,660 -0,888 -0,116 0,656 1,428 2,200 0,02074 0,10062 0,26900 0,39628 0,32167 0,14387 0,03546 0,644 3,126 8,356 12,310 9,993 4,469 1,102 0,197 0,050 0,015 0,008 0,000 0,063 0,009
Сумма 40 - 1,28764 40,000 0,342

Коэффициент пропорциональности для нахождения теоретических частот

Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru ,

что позволяет заполнить столб. 5. Расчётное значение критерия Пирсона Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru . Число степеней свободы ¦ = 7 – 3 = 4. Выбираем уровень значимости a = 0,05 и по таблицам распределения Пирсона находим Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru .

Так как Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru = 0,342 < Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru то нет оснований отвергнуть гипотезу о нормальности распределения прочности пряжи Т = 18,5 текс.

По данным столб. 1 и 2 строят на графике полигон частот. Для этого на график наносят точки Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru , которые соединяют ломаной линией. На том же графике строится теоретическая кривая Гаусса. Для этого наносят точки с координатами Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru и дополнительную точку максимума, абсцисса которой равна Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru , а ордината определяется по формуле

Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru

так как для Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru получаем t=0, и Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru Построенные точки соединяют плавной кривой.

Проверка гипотезы о нормальности распределения - student2.ru

Задание. По полученному графику объяснить знак и величину коэффициентов асимметрии и эксцесса.

Наши рекомендации