ІІ. Функції багатьох змінних. 1. Означення первісної функції.
I. Інтеграли
1. Означення первісної функції.
Функція називається первісною функції на інтервалі , якщо для будь-кого виконується рівність
2. Властивість первісних функції.
3. Означення невизначеного інтегралу.
Множина всіх первісних функцій для називається невизначеним інтегралом від функції і позначається символом
4. Властивості невизначеного інтегралу.
1. 2. 3. 4.
5. Формула заміни змінної у невизначеному інтегралі.
6. Табличні інтеграли.
7. Означення інтегральної суми.
Сума вигляду називається інтегральною сумоюфункції на відрізку
8. Геометричний зміст інтегральної суми.
Нехай функція f(x) для всіх значень аргументу xÎ[a,b] є додатною. Тоді інтегральна сума представляє собою сумарну площу прямокутників S1,…,Si,…,Sn. Визначений інтеграл у цьому випадку дорівнює площі криволінійної трапеції, обмеженої кривими y=0, x=a, x=b та y=f(x).
9. Визначений інтеграл (означення).
Якщо інтегральна сума має границю, яка не залежить ні від способу розбиття відрізка на частинні відрізки, ні від вибору точок в них, то вона називається визначеним інтеграломвід функції на відрізку і позначається
.
10. Чим відрізняються невизначений і визначений інтеграли.
Невизначений інтеграл – множина функцій, а визначений – число яке отримується в границі інтегральної суми
11. Геометричний зміст визначеного інтегралу.
12. Властивості визначеного інтегралу.
1. 2. 3. 4.
13. Теорема про середнє.
Якщо функція неперервна на відрізку , то існує точка така, що
.
14. Інтеграл зі змінною верхньою межею.
15. Достатня умова інтегровності функції.
Якщо функція неперервна на відрізку , то визначений інтеграл існує.Відзначимо, що неперервність функції є достатньою умовою її інтегрованості.
16. Властивості інтегралу зі змінною верхньою межею.
17. Теорема Ньютона – Лейбніца.
Якщо функція неперервна на відрізку і — яка-небудь її первісна, то має місце формула
.
18. Формула інтегрування частинами.
19. Заміна змінної у визначеному інтегралі.
20. Означення раціонального дробу.
раціональним дробом називається функція, рівна відношенню двох многочленів, тобто
21. Інтегрування раціональних дробів.
1.Якщо дріб неправильний, то подати його у вигляді суми многочлена і правильного дробу;
2.Розклавши знаменник правильного раціонального дробу на множники, подати його у вигляді суми найпростіших раціональних дробів;
3.Проінтегрувати многочлен і отриману суму найпростіших дробів.
22. Інтегрування деяких видів ірраціональностей.
23. Геометричне застосування визначеного інтегралу (площі фігур).
1. площа криволінійної трапеції, розташованої «вище» за вісь абсцис ( ),
2. криволінійна трапеція розташована «нижче» осі , .
3. криволінійна трапеція обмежена кривою заданою параметрично прямими , і віссю ,
24. Обєм тіла обертання.
25. Економічний зміст визначеного інтегралу.
26. Розподіл доходів (крива Лоренца).
27. Невласні інтеграли.
скінченну границю , називають невласним інтеграломі позначають .
28. Невласні інтеграли з нескінченими межами.
29. Невласні інтеграли з необмеженими функціями.
30. Інтегрування тригонометричних функцій.
ІІ. Функції багатьох змінних
1. Функція багатьох змінних.
Відповідність , яка кожній парі чисел ставить у відповідність одне і лише одне число, називається функцією багатьох змінних, визначеною на множині із значеннями в , і записується у вигляді
2. Лінійна функція багатьох змінних.
3. Квадратична функція багатьох змінних.
4. Функції корисності.
5. Виробничі функції.
6. Графік функції двох змінних.
7. Лінія рівня функції двох змінних.
8. Лінія рівня виробничої функції.
9. Лінія рівня функції корисності.
10. Лінія рівня функції витрат.
11. Лінія рівня функції прибутку.
12. Границя функції двох змінних.
називається границею функції при при ,якщо для будь-якого існує таке , що для всіх і задовольняють нерівність виконується нерівність .
13. Неперервність функції.
Функція називається неперервною в точці , якщо вона:
а) визначена в цій точці і деякому її околі;
б) має границю ;
в) ця границя рівна значенню функції в точці , тобто
або .
14. Диференціал функції.
15. Диференційовність функції в точці.
Функція називається диференційовною в точці , якщо її повний приріст в цій точці можна представити у вигляді
16. Достатня умова диференційовності функції.
Якщо функція має неперервні частинні похідні і в точці , то вона диференційовна в цій точці і її повний диференціал виражається формулою
17. Похідна за напрямком.
18. Властивості похідної за напрямом.
19. Означення градієнта функції.
20. Частинні похідні другого порядку функції двох змінних.
Функції від називаються частинними похідними другого порядку, якщо вони позначаються таким чином:
21. Матриця Гессе функції двох змінних.
22. Матриця Гессе функції трьох змінних.
23. Властивості мішаних похідних.
24. Локальні екстремуми функції двох змінних.
25. Необхідна умова екстремуму функції двох змінних.
Якщо в точці диференційовна функція має екстремум, то її частинні похідні в цій точці рівні нулю: , .
26. Означення критичних точок.
Стаціонарні точки і точки, в яких хоча б одна частинна похідна не існує, називаються критичними точками.
27. Достатня умова екстремуму функції двох змінних.
Нехай в стаціонарній точці деякого її околу функція має неперервні частинні похідні до другого порядку включно. Обчислимо в точці значення ,
28. Задача максимізації прибутку.
29. Означення граничної точки множини.
30. Замкнуті і опуклі множини.
31. Найбільше і найменше значення функції.
Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкнутій області . Тоді вона досягає в деяких точках свого найбільшого і найменшого значень. Ці значення досягаються функцією в точках, розташованих усередині області, або в точках, що лежать на межі області.
32. Означення опуклої функції.
33. Означення ввігнутої функції.
34. Умовний екстремум функції багатьох змінних.
35. Функція Лагранжа.
36. Необхідна умова умовного екстремуму.
37. Достатня умова умовного екстремуму.
38. Задача максимізації корисності.