Понятие линейного оператора. Основные свойства

19.1

19.2 Система векторов называется максимальной линейно независимой системой, если она линейно независима и ее нельзя включить в большую линейно независимую систему в качестве подсистемы.

19.3 Все максимальные линейно независимые подсистемы данной системы векторов содержат одно и то же число векторов. Т2 Ранги эквивалентных систем векторов равны.

20.1 Рангом системы векторов называется максимальное число линейно независимых векторов системы.,То есть, если ранг матрицы равен r, то среди миноров матрицы порядка r есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры матрицы более высоких порядков равны нулю., То есть, если ранг матрицы равен r, то среди миноров матрицы порядка r есть хотя бы один, отличный от нуля, а все миноры матрицы более высоких порядков равны нулю.

20.2Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А).

20.3 1).транспозиция любых ее двух строк или столбцов; 2).умножение любой строки (столбца) матрицы на число, отличное от нуля; 3). прибавление к любой строке (столбцу) матрицы другой строки (столб-ца), умноженной на число.

21.1 Ранг матрицы А равен максимальному числу линейно независимых столбцов (или равен рангу системы столбцов матрицы А)

21.2 Строки квадратной матрицы линейно зависимы тогда и только тогда, когда определитель этой матрицы равен нулю.

26 вопрос

Базис. Размерность. Координаты.

Определение 1. Базисом линейного пространства L называется система элементов принадлежащих L, удовлетворяющая двум условиям:

1) система линейно независима.

2) Любой элемент L линейно выражается через базисные (т.е. является линейной комбинацией элементов ):

Примеры. Базис на плоскости (V₂ – 2 неколлинеарных вектора), в пространстве (V₃ – 3 некомпланарных вектора), в пространстве Rⁿ (канонический базис), в пространстве многочленов степени ≤ n - (1,х,х²,…,хⁿ).

Теорема 1. Коэффициенты разложения по базису – единственны.

{Пусть }

Определение 2. Координатами элемента линейного пространства в некотором базисе называются коэффициенты разложения по этому базису.

(В силу т.1 это определение – корректно)

Будем писать: .

В дальнейшем, по умолчанию, будем считать вектор вектором – столбцом, в противном случае будем писать строку координат в явном виде: либо как

Теорема 2. При сложении векторов их координаты складываются:

{ }

Теорема 3. При умножении вектора на число его координаты умножаются на это число:

λа = (λα₁,…,λα_n). { }

Определение 3. Размерностью линейного пространства L (обозначается dimL) называется максимальное число линейно независимых элементов этого пространства.

Если такого числа не существует – пространство называется бесконечномерным.

Теорема 4. Размерность линейного пространства равна числу базисных векторов.

{Пусть базис пространства L Рассмотрим (n + 1) произвольных элементов Разложим каждый из них по базису {e} и запишем столбцы полученных коэффициентов разложения в виде матрицы A_n,n+1. Т.к. rangA_n,n+1 ≤ n, то, хотя бы один из столбцов будет линейной комбинацией остальных элементы a_ţ – линейно зависимы

dimL = n}

Отсюда, в частности, следует, что все базисы одного пространства состоят из одинакового числа векторов.

Примеры. V₂, V₃, Rⁿ.

28 вопрос

Понятие линейного оператора. Основные свойства

1. Определение линейного оператора. Пусть V и W — линейные пространства, размерности которых равны соответственно n и m. Мы будем называть оператором А, действующим из V в W, отображение вида А: V —> W, сопоставляющее каждому элементу х пространства V некоторый элемент у пространства W. При этом будем использовать обозначение у = А (х) или у = Ах.
Определение.Оператор А, действующий из V в W, называется линейным, если для любых элементов x₁ u x₂ пространства V и любого комплексного числа λ выполняются соотношения:
1°. λ( x₁ u x₂) = λx₁+ λx₂ (свойство аддитивности оператора);
2°. А (λх) = λАх (свойство однородности оператора).
Замечание 1. Если пространство W представляет собой комплексную плоскость, то линейный оператор A, действующий из V в W, называется линейной формой или линейным функционалом.
Замечание 2. Если пространство W совпадает с пространством V, то линейный оператор, действующий в этом случае из V в V, называют также линейным преобразованием пространства V.
2. Действия над линейными операторам. Пространство линейных операторов. В множестве всех линейных операторов, действующих из V в W, определим операции суммы таких операторов и умножения оператора на скаляр.
Пусть А и В — два линейных оператора, действующих из V в W. Суммой этих операторов назовем линейный оператор А + В, определяемый равенством

(А + В)х = Ах + Вх. (5.1)

Произведением линейного оператора А на скаляр λ назовем линейный оператор λА, определяемый равенством

(λА)х= λ(Ах). (5.2)

Назовем нулевым оператор, обозначаемый символом О и отображающий все элементы пространства V в нулевой элемент пространства W.
Иными словами, оператор О действует по правилу Ох = 0.
Для каждого оператора А определим противоположный оператор -А посредством соотношения

-А = (-1)А.

Легко проверить справедливость следующего утверждения.
Множество L(V, W) всех линейных операторов, действующих из V в W, с указанными выше операциями суммы и умножения на скаляр и выбранными нулевым оператором и противоположным оператором образует линейное пространство.
3. Свойства множества L (V, V) линейных операторов.Исследуем подробнее линейные операторы, действующие из V в V, т. е. изучим подробнее множество L(V, V).
Назовем тождественным (или единичным) оператором линейный оператор I, действующий по правилу Iх = х (здесь х — любой элемент V).
Введем понятие произведения линейных операторов из множества L(V, V).
Произведением операторов А и В из L(V, V) называется оператор АВ, действующий по правилу

(АВ)х = А(Вх). (5.3)

Отметим, что, вообще говоря, АВ ≠ ВА.
Справедливы следующие свойства линейных операторов из L(V, V):
1°. λ(АВ) = (λА)В;
2°. (А + В)С = АС + ВС;
3°. А(В + С) = АВ + АС;
4°. (АВ)С = А(ВС).
Первое из свойств 1°-4° следует из определения произведения линейного оператора на скаляр (см. 5.2)) и определения произведения операторов (см. 5.3)).
Перейдем к обоснованию свойства 2°. Имеем, согласно (5.1), (5.2) и (5.3),

((А + В)С)х = (А + В)(Сх) = А(Сх) + В(Сх) = (АС)х + (ВС)х = (АС + ВС)х. (5.4)

Сравнивая левую и правую части последних соотношений, мы получаем равенство (А + В)С = АС + ВС. Свойство 2° установлено.
Совершенно аналогично доказывается свойство 3°.
Свойство 4° справедливо, поскольку, согласно определению (см. (5.3)), произведение линейных операторов заключается в их последовательном действии, и поэтому линейные операторы (АВ)С и А(ВС) совпадают и, следовательно, тождественны.
Замечание 1. Свойство 4° позволяет определить произведение АВ...С любого конечного числа операторов из L(V, V) и, в частности, n-ю степень оператора А с помощью формулы

Очевидно, справедливо соотношение A^n+m = AⁿA^m.
Нам понадобится понятие обратного оператора для данного оператора А из L(V, V).
Определение 1. Линейный оператор В из L(V, V) называется обратным для оператора А из L(V, V), если выполняется соотношение
АВ = ВА = I.
Обратный оператор для оператора А обычно обозначается символом А^-1.
Из определения обратного оператора А следует, что для любого х Є V справедливо соотношение А^-1Ах = х.
Таким образом, если А^-1Ах = 0, то х = 0, т.е. если оператор А имеет обратный, то из условия Ах = 0 следует, что х = 0.
Мы будем говорить, что линейный оператор А действует взаимно однозначно из V в V, если любым двум различным элементам x₁ и x₂ отвечают различные элементы y₁ = Ax₁ и у₂ = Аx₂.
Если оператор А действует взаимно однозначно из V в V, то отображение А: V —> V представляет собой отображение V на V, т. е. каждый элемент у Є V представляет собой образ некоторого элемента x Є V:

y = Ах.

Чтобы убедиться в этом, достаточно, очевидно, доказать, что n линейно независимых элементов x₁,x₂,...,x_n пространства V отображаются посредством оператора А в n линейно независимых Ax₁,Ax₂,...,Ax_n элементов этого же пространства.
Итак, пусть x₁,x₂,...,x_n — линейно независимые элементы V.
Если линейная комбинация α₁Ax₁+ α₂Ax₂,...+ α_nAx_n представляет собой нулевой элемент пространства V:

α₁Ax₁+ α₂Ax₂,...+ α_nAx_n = 0,

то из определения линейного оператора (см. п. 1 этого параграфа) следует, что A(α₁x₁+ α₂x₂,...+ α_n x_n) = 0.
Так как оператор А действует из V в V взаимно однозначно, то из последнего соотношения вытекает, что α₁x₁+ α₂x₂,...+ α_n x_n = 0. Но элементы x₁,x₂,...,x_n линейно независимы. Поэтому α₁ = α₂ = ... = α_n = 0. Следовательно, элементы Ax₁,Ax₂,...,Ax_n также линейно независимы.
Отметим следующее утверждение.
Для того чтобы линейный оператор А из L(V, V) имел обратный, необходимо и достаточно, чтобы этот оператор действовал взаимно однозначно из V в V.
Убедимся, что сформулированное условие необходимо. Пусть оператор А имеет обратный, но не действует взаимно однозначно из V в V.
Это означает, что некоторым различным элементам x₁ и x₂, x₂ - x₁ ≠ 0 из V отвечает один и тот же элемент у = Ax₁ = Ах₂. Но тогда А(x₂ - x₁) = 0, и поскольку оператор А имеет обратный, x₁ - x₂ = 0. Но выше было отмечено, что x₂ - x₁ ≠ 0. Полученное противоречие доказывает необходимость условия утверждения.
Докажем достаточность этого условия.
Допустим, что оператор А действует взаимно однозначно из V в V.
Тогда каждому элементу у Є V отвечает элемент х Є V такой, что у = Ах. Поэтому имеется оператор А , обладающий тем свойством, что А^-1у = А (Ах) = х. Легко убедиться, что оператор А линейный. По определению А — обратный оператор для оператора А.

29 вопрос

Матрица линейного оператора

Матрица линейного оператора — матрица, выражающая линейный оператор в некотором базисе. Для того, чтобы ее получить, необходимо подействовать оператором на векторы базиса и координаты полученных векторов (образов базисных векторов) записать в столбцы матрицы.

Матрица оператора аналогична координатам вектора. При этом действие оператора на вектор равносильно умножению матрицы на столбец координат этого вектора в том же базисе.

Выберем базис . Пусть — произвольный вектор. Тогда его можно разложить по этому базису:

,

где — координаты вектора в выбранном базисе.

Здесь и далее предполагается суммирование по немым индексам.

Пусть — произвольный линейный оператор. Подействуем им на обе стороны предыдущего равенства, получим

.

Вектора также разложим в выбранном базисе, получим

,

где — -я координата -го вектора из .

Подставим разложение в предыдущую формулу, получим

.

Выражение , заключённое в скобки, есть ни что иное, как формула умножения матрицы на столбец, и, таким образом, матрица при умножении на столбец даёт в результате координаты вектора , возникшего от действия оператора на вектор , что и требовалось получить.

Комментарий: Если в полученной матрице поменять местами пару столбцов или строк, то мы, вообще говоря, получим уже другую матрицу, соответствующую тому же набору базисных элементов . Иными словами, порядок базисных элементов предполагается жёстко упорядоченным

30 вопрос

Достаточность условия утверждения также доказана.
Введем понятия ядра и образа линейного оператора.
Определение 2.Ядром линейного оператора А называется множество всех тех элементов х пространства V, для которых Ах = 0. Ядро линейного оператора А обозначается символом ker А.
Если ker A = 0, то оператор А действует взаимно однозначно из V в V. Действительно, в этом случае из условия Ах = 0 вытекает х = 0, а это означает, что различным x₁ и x₂ отвечают различные у₁ = Ax₁ и у₂ = Ах₂ (если бы y₁ = у₂, то А(x₂ - x₁) = 0, т. е. x₁ = х₂ и элементы x₁ и x₂ не были бы различны).
Таким образом, согласно доказанному выше утверждению условие ker A = 0 является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Определение 3.Образом линейного оператора А называется множество всех элементов у пространства V, представимых в виде у = Ах. Образ линейного оператора А обозначается символом im A (Символ im следует отличать от символа Im, используемого для обозначения мнимой части комплексного числа).
Замечание 2. Отметим, что если ker А = 0, то im A = V, и наоборот. Поэтому наряду с отмеченным выше условием ker A = 0 условие im A = V также является необходимым и достаточным для того, чтобы оператор А имел обратный.
Замечание 3. Очевидно, ядро ker А и образ im A — линейные подпространства пространства V. Поэтому можно рассматривать размерности dim (ker А) и dim (imA) этих подпространств.
Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.1.Пусть размерность dimV пространства V равна n, и пусть А — линейный оператор из L(V, V). Тогда

dim (im А) + dim (ker A) = n.

Доказательство. Так как ker А представляет собой подпространство V, то можно указать такое подпространство V₁ пространства V, что V₁ будет представлять собой прямую сумму V и ker A. Согласно теореме 2.10 dim V₁ + dim (ker A) = n. Поэтому для доказательства теоремы достаточно убедиться, что dim V₁ = dim (im A).
Пусть dimV₁ = р, dim(im A) = q и y₁,y₂,...,y_q — базис в im A. Так как линейный оператор А действует взаимно однозначно из V₁ в im А, то каждому элементу у из im А можно поставить в соответствие единственный элемент х Є V₁ такой, что Ах = у. Поэтому в V₁ определены элементы x₁,x₂,...,x_q такие, что Ах_k = у_k, к = 1, 2,..., q. Элементы x₁,x₂,...,x_q линейно независимы, ибо если α₁x₁ + α₂x₂+...+ α_qx_q = 0, то A(α₁x₁ + α₂x₂+...+ α_qx_q) = α₁y₁ + α₂y₂+...+ α_qy_q = 0, а так как элементы y₁,y₂,...,y_q линейно независимы, то α₁ = α₂ = ... = α_q = 0, т. е. и x₁,x₂,...,x_q линейно независимы. Таким образом, в V₁ имеется q линейно независимых элементов. Следовательно, р ≥ q (напомним, что р = dim V₁).
Предположим, что р > q. Добавим к линейно независимым элементам x₁,x₂,...,x_q элементы x_q+1,x_q+2,...,x_p так, что x₁,x₂,...,x_p образуют базис в V₁. Так как р > q и q = dim (im A), то элементы Ax₁,Ax₂,...,Ax_p , принадлежащие im A, линейно зависимы, и поэтому существуют не все равные нулю числа λ₁,λ₂,...,λ_p такие, что λ₁Ax₁ + λ₂Ax₂ + ...+ λ_pAx_p = 0. Отсюда следует, что A(λ₁x₁ + λ₂x₂ + ...+ λ_p x_p) = 0. Так как А действует из V₁ в im A взаимно однозначно, то из последнего равенства получаем λ₁x₁ + λ₂x₂ + ...+ λ_p x_p = 0.
Но x₁,x₂,...,x_p — базис в V₁. Поэтому λ₁ = λ₂ = ... = λ_p = 0.
Выше указывалось, что не все λ₁,λ₂,...,λ_p равны нулю. Следовательно, предположение р > q ведет к противоречию. Таким образом, р = q.
Теорема доказана.
Имеет место также следующая теорема, в определенном отношении обратная теореме 5.1.
Теорема 5.2. Пусть V₁ и V₂ — два таких подпространства n-мерного пространства V, что dimV₁ +dimV₂ = dim V. Тогда существует такой линейный оператор А из L(V, V), что V₁= im A и V₂ = ker А.
Доказательство.Пусть dim V₁ = p, dim V₂ = q. Выберем в пространстве V базис е₁, е₂,..., е_n так, чтобы элементы е₁, е₂,..., е_n принадлежали V₂. Далее в пространстве V₁ выберем некоторый базис g₁, g₂,..., g_p.
Определим теперь значения линейного оператора А на базисных векторах е₁, е₂,..., е_n пространства V следующим образом:

Ae₁=g₁, Ae₂ = g₂, ..., Ае_р = g_p,
Ae_p+1 = 0, Ае_р+2 = 0,..., Ае_n = 0.

Далее, если х = x₁e₁ + x₂e₂ + ... + x_pe_p + x_p+1e_p+1 + ... +x_ne_n,
то Ах = x₁g₁ + x₂g₂ + ... + x_pg_p. Очевидно, оператор А линейный и обладает требуемыми свойствами. Теорема доказана.
Введем понятие ранга линейного оператора А.
Назовем рангом линейного оператора А число, обозначаемое символом rang А и равное rang A = dim(im A).
Отметим следующее очевидное следствие из теоремы 5.1 и из замечания 2 этого пункта.
Следствие из теоремы 5.1. Для того чтобы оператор А из L(V, V) имел обратный А^-1 необходимо и достаточно, чтобы rang A = dim V = n.
Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V). Справедлива следующая теорема.
Теорема 5.3. Имеют место следующие соотношения:

rang AB ≤ rang A, rang AB ≤ rang В.

Доказательство.Докажем сначала первое из отмеченных соотношений. Очевидно, im AB im A. Поэтому dim(im AB) ≤ dim(im A), т.е. rang AB ≤ rang А.
Для доказательства второго соотношения воспользуемся следующим очевидным включением (Так как АВ и ВА различные, вообще говоря, операторы, то включение im AB im B может не иметь места, и поэтому для доказательства второго соотношения rang AB ≤ rang В требуются специальные рассуждения): ker В ker AB.
Из этого включения следует, что dim (ker В) ≤ dim (ker AB).
Из последнего неравенства, в свою очередь, следует неравенство dim V — dim (ker AB) ≤ dimV— dim (ker В), а из него, согласно теореме 5.1, получаем dim(im AB) ≤ dim(im B), т.е. rang AB ≤ rang В.
Теорема доказана.
Докажем еще одну теорему о рангах линейных операторов.
Теорема 5.4. Пусть А и В — линейные операторы из L(V, V) и n — размерность V. Тогда rang AB ≥ rang A + rang В - n.
Доказательство. Согласно теореме 5.1

dim (im AB) + dim (ker AB) = n. (5.5)

Так как rang AB = dim(im AB), то из (5.5) получаем

rang AB = n - dim (ker AB). (5.6)

Поскольку, согласно теореме 5.1,

dim (ker A) + dim (ker В) = 2n - (rang A + rang В), (5.7)

то для доказательства теоремы достаточно установить неравенство

dim (ker AB) ≤ dim (ker A) + dim (ker B). (5.8)

Действительно, из этого неравенства и из соотношения (5.6) следует неравенство

rang AB ≥ n — (dim (ker A) + dim (kerВ)),

из которого, согласно (5.7), сразу же вытекает справедливость утверждения теоремы.
Итак, перейдем к обоснованию неравенства (5.8). Пусть

dim (ker В) = q. (5.9)

Согласно теореме 5.3 dim (ker AB) ≥ q. Поэтому справедливо соотношение

dim (ker AB) = p + q, где р > 0. (5.10)

Так как ker В ker AB, то в подпространстве ker AB можно выбрать базис x₁,x₂,...,x_p+q так, что элементы x_p+1,...,x_p+q образуют базис в ker В. При таком выборе x₁,x₂,...,x_p+q элементы Bx₁,Bx₂,...,Bx_p линейно независимы (если линейная комбинация , а это может быть, в силу выбора x₁,x₂,...,x_p, лишь при λ_k, = 0, к = 1, 2,..., р). Поэтому элементы Bx₁,Bx₂,...,Bx_p принадлежат ker А, т.е. р ≤ dim (ker А). Из этого неравенства и соотношений (5.9) и (5.10) вытекает требуемое неравенство (5.8). Теорема доказана.
Следствие из теорем 5.3 и 5.4. Если rang А = n (n — размерность V), то rang AB = rang ВА = rang В.
Указанное следствие вытекает из неравенств

rang AB ≤ rang В (теорема 5.3),

rang AB ≥ rang В (теорема 5.4 при rang А = n).
Из этих неравенств получим, что rang AB = rang В. Аналогично доказывается соотношение rang ВА = rang В.

31 вопрос

Определение 19.3 Ненулевой вектор называется собственным вектором линейного преобразования , соответствующим собственному числу , если .

Совокупность всех собственных чисел линейного преобразования конечномерного линейного пространства называется спектром преобразования .

Вместо слов "собственное число" говорят также собственное значение, характеристическое число или характеристическое значение.

Если -- двумерное или трехмерное линейное пространство, то собственный вектор линейного преобразования -- это такой вектор, что его образ коллинеарен самому вектору. Иными словами, после применения преобразования (в вещественном случае) может измениться длина вектора, а направление или сохранится, или изменится на противоположное, или вектор станет равным нулю (в случае ).

В примере 19.1 любой вектор является собственным вектором линейного преобразования соответствующим собственному числу 2. В примере 19.2 при не кратном преобразование не имеет собственных векторов, так как после применения преобразования длина каждого вектора не меняется и ни один вектор не сохраняет своего направления и не меняет направление на противоположное.

Пример 19.7 Пусть -- двумерное векторное пространство, -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, -- преобразование, переводящее каждый вектор в вектор , симметричный исходному относительно прямой (рис. 19.5). Тогда из векторов рисунка 19.5 собственным вектором преобразования будет вектор , он соответствует собственному числу , и вектор , который соответствует собственному числу . Читатель без труда поймет, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор, лежащий на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, является собственным вектором, соответствующим собственному числу . С помощью формулы Грина найти интеграл . Контур C ограничивает сектор круга радиусом a, лежащий в первом квадранте Геометрические приложения поверхностных интегралов

[an error occurred while processing this directive]

Предложение 19.2 Пусть -- собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу и пусть -- ненулевое число. Тогда -- тоже собственный вектор линейного преобразования , соответствующий собственному числу .

Доказательство.

Пример 19.8 Пусть -- двумерное векторное пространство, -- некоторая прямая, проходящая через начало координат, -- преобразование, переводящее каждый вектор в его проекцию на прямую (рис. 19.6). Очевидно, что любой ненулевой вектор, лежащий на прямой , будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 1, а любой ненулевой вектор на прямой перпендикулярной и проходящей через начало координат, будет собственным вектором, соответствующим собственному числу 0.

Пример 19.9 Пусть -- линейное преобразование примера 19.3. Очевидно, что векторы, являющиеся многочленами нулевой степени, то есть числами, будут собственными векторами, соотвествующими собственному числу 0.

Если в пространстве задан базис, то линейному преобразованию соответствует матрица . Пусть -- собственный вектор преобразования , соответствующий собственному числу , -- координатный столбец вектора . Тогда равенство означает, что .

Определение 19.4 Ненулевая матрица-столбец называется собственным вектором квадратной матрицы , соответствующим собственному числу , если выполнено равенство .

Замечание 19.2 Между собственными числами (собственными векторами) матрицы и линейного преобразования есть некоторое различие. Линейное преобразование вещественного линейного пространства может не иметь собственных векторов и, соответственно, собственных чисел. Матрица же, как увидим дальше, всегда имеет хотя бы одно собственное число, быть может комплексное, и ему соответствует собственный вектор (тоже, быть может, комплексный). Но если рассматривать линейные преобразования -мерных комплексных пространств, то собственные числа преобразований совпадают с собственными числами матриц и собственные векторы преобразований имеют координатными столбцами собственные векторы матриц.