Перевод целых чисел из одной системы счисления в другую

При переводе чисел из десятичной системы счисления в любую другую необходимо перевести целую и дробную части отдельно, а затем объединить результаты в новое число.

Целая часть переводится путем деления на основание системы счисления до тех пор, пока частное от деления и остатки не станут меньше основания новой системы счисления. Результатом перевода будут являться все остатки и частное, записанные справа налево.

Пример: перевести число 575 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

►Переведем число в двоичную систему счисления:

– 575

– – – – – – – –

Примечание: при делении 575 на 2 (основание системы счисления) получаем частное 287 и остаток 1. Полученное частное снова делим на 2, поскольку оно больше основания системы счисления. При делении 287 на 2 получаем частное 143 и остаток 1. Поскольку частное вновь оказалось больше основания двоичной системы счисления, то продолжаем процесс деления. Завершаем процедуру деления, когда полученное частное и остаток оказываются меньше основания двоичной системы счисления.

Для окончательной записи результата перевода числа в новую систему счисления все полученные остатки и последнее частное записываем справа налево:

.

Аналогично переводится число в восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Перевод в восьмеричную систему счисления:

– 575
	– –

.

Перевод в шестнадцатеричную систему счисления:

– 575
	–

.

Примечание: числу 15 в шестнадцатеричной системе счисления соответствует латинская буква F.◄

Дробная часть переводится путем умножения дробной части исходного числа на основание системы счисления. При этом целая часть полученного произведения заносится в дробный разряд искомого числа, а дробная часть вновь умножается на основание системы счисления.

Пример: перевести число 0,173 в двоичную, восьмеричную и шестнадцатеричную системы счисления.

Решение:

►Перевод в двоичную систему счисления:

	0,
	0,
	1,
	0,
	1,
	1,
	0,
	0,

Результат:

.

Примечание: при переводе дробной части может получаться периодичная дробь. Если такая дробь не появилась, то будем ограничиваться восемью знаками после запятой.

Перевод в восьмеричную систему счисления:

	1,
	3,
	0,
	4,
	4,
	6,
	7,
	2,

Результат:

.

Перевод в шестнадцатеричную систему счисления:

	2,
	12,
	4,
	9,
	11,
	10,
	5,
	14,

Результат:

.◄

Обратный перевод чисел из любой системы счисления в десятичную осуществляется по формуле расширенной записи числа. По этой же формуле осуществляется проверка правильности перевода из десятичной системы в любую другую.

Пример: выполнить проверку перевода числа 575 в двоичную систему счисления, а числа 0,173 – в восьмеричную.

Решение:

►

◄
3 АРИФМЕТИЧЕСКИЕ ОПЕРАЦИИ В ДВОИЧНОЙ СИСТЕМЕ СЧИСЛЕНИЯ

Рассмотрим более подробно арифметические операции в двоичной системе счисления. Арифметика двоичной системы счисления основывается на использовании таблиц сложения, вычитания и умножения цифр. Рассмотрим подробно каждую операцию.

+				-				*

Таблица двоичного сложения предельно проста. Только в одном случае, когда производится сложение 1+1, происходит перенос в старший разряд.

Пример:рассмотрим несколько примеров сложения двоичных чисел:

+ + + + 1 0 0 1		1 1 0 1		1 1 1 1 1		1 0 1 0 0 1 1, 1 1 1
1 0 1 0		1 0 1 1				1 1 0 0 1, 1 1 0
1 0 0 1 1		1 1 0 0 0		1 0 0 0 0 0		1 1 0 1 1 0 1, 1 0 1

При выполнении операции вычитания всегда из большего по абсолютной величине числа вычитается меньшее и ставится соответствующий знак

Операция умножения выполняется с использованием таблицы умножения по обычной схеме, применяемой в десятичной системе счисления с последовательным умножением множимого на очередную цифру множителя.

Пример: рассмотрим пример умножения двоичных чисел:

× 1 1 0 0 1

1 1 0 1

+ 1 1 0 0 1

+ 1 1 0 0 1

1 1 0 0 1

1 0 1 0 0 0 1 0 1

Примечание: умножение сводится к сдвигам множимого и сложениям.